新新学案系列高中数学3.1直线的倾斜角与斜率学案pdf新人教A必修2

直线与方程第三章 学 习 札记 第 三 章 直线与方程 直 直线线的的倾倾斜斜角角与与斜斜率率 倾斜角与斜率 学习目标 明确倾斜角的取值范围； 在直角坐标系中能够找出 直线的倾斜角， 会求直线的倾斜角 理解斜率的概念， 明确倾斜角与斜率之间的函数关 系， 已知一些特殊的斜率（ 或倾斜角） ， 求出相应的倾斜角（ 或 斜率） 熟练掌握斜率公式， 会求经过两点的直线的斜率； 能 利用两点的斜率公式解决三点共线问题 情境创设 意大利中部的比萨城内， 有一座造型古朴而秀巧的钟 塔， 是罗马式建筑的艺术， 这就是堪称世界建筑史奇迹的比 萨斜塔每年约有 万游客来到塔下， 无不对它那“ 斜而不 倒” 的塔身表示忧虑和焦急， 同时为自己能亲眼目睹这一由 缺陷而造成的奇迹庆幸万分， 那么经过 多年的风雨沧 桑， 比萨斜塔的倾斜度又是如何呢？ 我国的运载火箭技术已经达到了世界领先水平， 你听 说过“ 计算机扫描法” 吗？它是测试火箭性能的一种重要方 法， 这种方法的关键是直线斜率的选取， 可见， 斜率是刻画直 线的一个非常重要的量， 从本节开始， 我们将一起探究直线 斜率的有关问题 图 交通工程上一般用“ 坡度” 来描述 一段道路对于水平方向的倾斜程度如 图所示， 沿着这条道路从点前 进到点， 在 水 平 方 向 前 进 的 距 离 为 ， 竖直方向上升的高度为 （ 如果是 下降， 则 的值为负实数） ， 则坡度 上升高度 水平距离 坡度 表示这条道路是上坡， 值越大上坡越陡， 如果 太大， 车辆就爬不上去， 容易出事故； 表示是平路；表 示下坡， 越大说明下坡越陡，太大也容易出事故 如果在过 的竖直平面上建立直角坐标系， 使 方向 为轴正方向， 竖直向上的方向为轴正方向设、的坐标 分别是（ ，） 、（，） ， 则水平距离为， 上升高度为 ， 此时， 坡度为多少？如何设计道路的坡度， 才能避免事 故发生？ 合作探究 探究一 直线的倾斜角 画一画： 请在如图所示的图形中画出直线向上 的方向与轴正方向所成的角 图 提升总结： 当直线与轴相交时， 我们取轴作为基 准， 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角当直线与轴平行或重合时， 我们规定它的倾 斜角为 ， 即直线的倾斜角的取值范围是 温馨提示： 直线倾斜角的分类（ 如图） ： （） ， 直线与轴平行或重合； （） ， 直线向右上方延伸； （） ， 直线轴； （） ， 直线向左上方延伸 （ ） （ ） （ ）（ ） 图 例 如图所示， 能表示直线的倾斜角的是 新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 （ 填上所有正确图形的序号） 图 跟踪练习 判断下列命题是否正确 （） 直线的倾斜角的取值范围是 ； （） 坐标平面内的任何一条直线都有唯一的倾斜角； （） 平行于轴或与轴重合的直线没有倾斜角 探究二 直线的斜率 在日常生活中， 你知道如何表示山坡面的倾斜程度吗？ 日常生活中， 我们常用“ 升高量与前进量的比” 表示倾斜 面的“ 坡度” （ 倾斜程度） ， 升 高 前进 图 即坡度（ 比）升高量 前进量， 如图 如果设山坡面与水平面所成的角的 大小为， 由直角三角形中的三角函数 知识可知， 升高量 前进量坡度 类比坡度的概念， 我们可以得到直线的斜率的概念我 们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率， 通 常用表示， 即 注意： 倾斜角是 的直线没有斜率 温馨提示： 倾斜角与斜率之间的关系： 直线情况平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 逐渐增大逐渐减小 图 例 如图， 直线的倾斜角 ， 直线， 求、的斜率 分 析 由题目可获取以下主要信息： （） ； （） 且 解答本题可先利用三角形外角等于 与它不相邻的两内角的和， 求得 ， 再利用斜率公式 即可求得其斜率 跟踪练习 若直线的斜率为， 则直线的倾斜角为（ ） 探究三 两点的斜率公式及其应用 想一想： 如何由直线上的两点的坐标计算直线的斜率？ 探究： 在 直 线上 取 两 点（ ，） ，（，） ， 且 ， 如图， 设直线的倾斜角为（为锐角） ， 过点 作轴的平行线， 过点作轴的垂线， 两线相交于点 引导学生写出点的坐标（，）易知：， ，在 中， （） ， （，） ）（， 图 （） ， （，） ）（， 图 议一议： 若为钝角， 引导学生作出相应的图形， 如图 ， ， （ ） 在 中， 于是可得 提升总结： 经过两点（ ，） 、（，） （） 的 直线斜率公式为 （ ） 例 已知（，） 、（，） 、， （） 三点在同一直 线上， 求的值 分 析 由于直线上任意两点的斜率相等， 因此三点、 、共线、中任意两点的斜率相等（ 如 ） 跟踪练习 如果过点（，） 和（，） 的直线的斜率等于， 那么的值为（ ） 或 或 若直线过点（，） ，（，） ， 求直线的斜率并判 断直线的倾斜角是锐角还是钝角？ 反思感悟 直线的倾斜角的取值范围是 直线的两个斜率公式是 和 （） 倾斜角为 的直线没有斜率 研究直线问题应善于从斜率的角度去考虑， 即要考虑 斜率存在、 不存在两种情况， 做到既对又全 直线与方程第三章 学 习 札记 两条直线平行与垂直的判定 学习目标 熟练掌握两条直线平行或垂直的等价条件 能根据两条直线的斜率判定两者平行或垂直 注意斜率不存在的情形， 养成分类讨论的好习惯 情境创设 过山车能带给你飞翔的感觉让你前一秒仰望高空， 下一秒却俯视地面但它不会等待你去欣赏美景， 相反会立 即从一百多米的高空开始抛落， 带来一次又一次的动 人 心 魄之旅过山车的铁轨是两条永远平行的起伏的轨道， 它 们靠着一根根巨大的且垂直于地面的钢柱支撑着， 你能 感受到过山车图形中的平行与垂直吗？ 两条直线的平行与垂直是两种重要的位置关系， 在平 面几何中我们曾经学习过两条直线平行与垂直的判定方法， 那么在直角坐标系中如何来判断两条直线平行与垂直呢？ 它们和斜率之间有何联系呢？ 合作探究 探究一 两直线平行的判定 图 想一想： 初中的平面几何中是 如何判定两条直线平行的呢？ 通过初中几何的学习， 大家都 知道： 在平面内， 两条直线同时与第 三条直线相交， 如果同位角相等， 那 么这两条直线平行反过来也成立 议一议： 在平面直角坐标系中， 如何判定两条直线平行呢？ 现在， 我们将两条直线 、放 到同一个平面直角坐标系中去， 如图， 设直线 的倾 斜角为 ， 斜率为， 直线的倾斜角为， 斜率为， 若 ， 则有， 从而 ， 即反过来， 若 ， 则与的倾斜角与相等由于， 可得 因此， 若， 则 提升总结： 对于两条不重合的直线 、， 其斜率分别为 、， 有 温馨提示： 公式成立的前提条件是两条直线的斜率存在 且直线不重合 思考： 若把条件“ 不重合” 去掉， “” 还成立吗？ 探究： 不再成立， 若 ，的斜率分别为， 则有“ ” 但 事实上， 或，重合 思考： 若把条件“ 都有斜率” 去掉， “” 还成立吗？ 探究： 不再成立， 若 ，是两条不重合的直线， 则有“ ” 但 事实上， 或，均不存在 例 已知四边形 的四个顶点分别为（，） ， （，） ，（，） ，（，） ， 试判断四边形 的形状 分 析 考察四边形对边的斜率， 应用过两点的斜率公式 及两直线平行的判定条件 跟踪练习 已知直线的倾斜角为 ， 直线过点（，） ， （，） ， 若， 则 探究二 两直线垂直的判定 想一想： 若两直线的斜率存在且不重合， 当 时， 有 ， 则当时，与会有何关系呢？ 图 如 图 ， 设 两 条 直 线 与 的倾斜角分别为与（， ）当时， 这 时 ， 由三角形任一外角等于与其不 相邻两内角之和， 得 设 、的斜率分别为、， 且 ， 由 （ ） ， 得 议一议： 当、 满足何条件时？ 结合上面的内容想一想， 反过来， 当两直线的斜率存在， 且时， 必有 提升总结： 如果两条直线都有斜率， 且两直线互相垂直， 那么它们的斜率之积等于； 反之， 如果它们的斜率之积等 于， 那么它们互相垂直， 即 温馨提示： 用斜率来判断直线垂直时， 应注意前提条件 是两直线的斜率都存在 思考： 若把条件“ 斜率都存在” 去掉， “” 还成立吗？ 探究： 不成立 对于任意两条直线 ， ， 但 例如： 是平行于轴的直线，是平行于轴的直 线， 有 ， 但不成立 例 已知 的三个顶点的坐标分别为（，） ， （，） ，（，） ， 试分别求此三角形的高所在直线的斜率 分 析 （）、是平面直角坐标系中的定点； （）、是 的三个顶点 解答本题可先结合图形， 再根据 三边所在直线 的斜率情况确定三条边的高所在直线的斜率 新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 跟踪练习 已知直线的倾斜角为 ， 直线， 则直线 的斜率为 探究三 两直线平行与垂直的应用 想一想： 如何判定两直线的平行与垂直？ 议一议： 在判定两直线平行与垂直时， 应注意什么问题？ 提升总结： 若两直线的斜率都存在且不重合， （） ； （） 否则， 要考虑斜率不存在的情形， 可通过图形来进行验证 例 已知（，） ，（，） ，（，） ， 求点的坐标， 使 四边形 为直角梯形（ 、按逆时针方向排列） 分 析 根据直角梯形的定义求解 跟踪练习 下列说法正确的是（ ） 若直线， 则与斜率相等 若直线， 则 若直线、的斜率不存在， 则 若两条直线的斜率不相等， 则两直线不平行 已知 的三个顶点坐标为（ ，） ，（，） ， （，） ， 设 边上的高为， 求点坐标 反思感悟 两条直线平行的条件是什么？使用时应注意哪些问题？ （ ） 设和是两条不重合的直线， 则 （） 注意 的前提是： 和是两条不重合的直线； 和的斜率都存在 两个前提条件少了任何一个都会导致结论有误 两条直线垂直的条件是什么？使用时应注意哪些问题？ （） 或一条直线的斜率为， 另一条直 线的斜率不存在； （） 注意 的前提是：与都有斜 率， 若忽略此前提条件， 容易导致错误结论 在证明两直线平行时， 要区分平行与重合， 必须强调 不共线才能确定平行， 因为斜 率 相 等 也 可 能 推 出 两 直 线 重合 在判断或证明两直线的位置关系时， 若点的坐标中含 有字母参数， 要注意对字母参数分类讨论 直 直线线的的方方程程 直线的点斜式方程 学习目标 能够根据确定直线的几何元素， 推导出直线的点斜式 方程 要注意点斜式方程适用的范围 掌握点斜式方程的特例 斜截式方程 能够熟练地运用两种方程和待定系数法求直线的 方程 情境创设 在直角坐标系 中， 直 线 上 的 一 个 点 和 倾 斜 角 只 要 确 定， 直线便被确定了， 同样直线上的一个点和斜率只要确 定， 直线便被确定了， 那么直线上的任意点的坐标（， ） 和斜率之间有何关系呢？它们之间能否用一个式子联系 起来呢？ 合作探究 探究一 直线的点斜式方程 想一想： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中， 如 何 才 能 确 定 一 条 直线？ 在上两节 课 中， 学 习 了 直 线 的 几 何 要 素 倾 斜 角 和斜率， 已知直线上的一点和直线的倾斜角（ 斜率） 可 以 确定一条直线 议一议： 已知一条直线过定点且其斜率存在， 能否获取 该直线的方程？ 图 探究： 如图所示， 直线 经过点（， ） ， 且斜率为， 设 点（， ）