新新教案系列高中数学第二章全程优化复习新人教A必修4

平面向量第二章 ! * ! 教!学 札记! 1&两个粒子=!从同一粒子源发射出来$ 在某一时刻$ 以 粒子源为原点$ 它们的位移分别为1 =$&# $1 &$ #& $# 写出此时粒子相对粒子=的位移1( %# 求1在1=方向上的投影& 解# $# 粒子相对于粒子=的位移$ 就是粒子与粒 子=的位移的差向量& .111=&$#$&#$.#& %# 设1与1=的夹角为)$ 则 1 : !) 1-1= 1= $4?.4&# % &# 槡 % % ( ( (& .1在1=方向上的投影是(& $ +&已 知 在 正 方 形# + 7 E中$C是+ 7边 上 任 一 点$ %C #E的平分线交E 7于D$ 求证+ C%E D# C& 用向量法证# 分 析 通过向量法证明几何问题! 关键是把结论向量 化! 并通过向量的运算解决问题& 图%)()$ ( 证明# 如图%)()$ ($ 令%C # D %D #E)$ 设正方形边长为=& - 3: : # C 3: : # +% 3: : + C$. 3: : # C- 3: : # D 3 : : # +% 3: : + C# - 3: : # D 3: : # +- 3: : # D %3 : : + C- 3: : # D$ 即3 : : # C-3 : : # D-: !)3 : : # +- 3 : : # D-: ! ! % 6 # )%3 : : + C 3 : : # D-: !)$ .3 : : # C-=3 : : # D-=-! #)%3 : : + C-=$ .3 : : # C3 : : # D-! #)%3 : : + C$ .3 : : # C3 : : E D%3 : : + C$ .# C+ C%E D & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 全全程程优优化化复复习习 回顾概括 : B B B B B B B B B B B B B B 平面向量 3: : 向 量 的 概 念 零向量! 单位向量! 共线 向量! 3: : : 相等向量 向量 加法! 减法! 3: : B B B B B 数乘 3: : 向量平行的充要条件3 : : B B B B B B B B B : 解 决 图 形 的 平 行 和 比 例 问 题 3: : B B B B B B B B B : BB 向 量 的 初 步 应 用 3: :3: B B B B B B B B B B B B 平面向量基本定理 3: : J B B B B B B A B B B B B B B B B B B B B B 坐标表示 两向量 的数量 3: : B B B B 积 3: : : 两向量的夹角公式 解 决 图 形 的 垂 直 和 角 度 ! 3: : : 长 度 问 题 3: :3: : B B B B B 向量垂直的充要条件 3: : :3: : 两点间的距离公式 专题盘点 专题一!向量的线性运算 向量的线性运算是向量运算的基础$ 要熟练掌握向量运 算的三角形法则! 平行四边形法则以及坐标运算$ 此外$ 对于 向量共线定理也要灵活地加以运用& 例#!已知向量( $!(%不共线& $# 若3 : : # +($(%$3 : : + 7%($-(%$3 : : 7 E($%(%$ 求 证,#!+!E三点共线( %# 若向量 2 ( $(%与($ 2 ( %共线$ 求实数2的值& $# 证明#3 : : + E3 : : + 7% 3: : 7 E($(%#( 3: : # +$ 所以 3: : # +与 3: : + E共线$ 即#!+!E三点共线& %# 解# 2 ( $(%# 与($ 2 ( %# 共线$ 所以存在实数($ 使 2 ( $(%($ 2 ( %# $ 即2(#($% ( 2 $#(%.& 因为( $(%不 共 线$ 所 以 由 平 面 向 量 基 本 定 理 可 知 2(+$ ( 2 $5+ / $ 所以2$& 点 拨 &$ 证#%+%E三点共线! 即证3 : : # +与 3: : + E共线 &%$ 由向量共线充要条件! 设待定系数(! 使 2 ( $(% (&($ 2 ( %$ ! 从而求解2的值& 例%!已知!$%# $%# $ 若( !%与%! &平行$ 求实数(的值& 解法# 向量( !%与%!&平行$ 则存在唯一实数 2$ 使( !%2%!&#& -( !%($%#%$%#()$%(%&# $ %!&%$%#&$%#$ &$&# $ .()$%(%$ &$&#& . ()5$ &2$ %(%&56&2 / $ 解得 2 $ % $ ($ 5 6 7& 即实数(的值为$& 解法%#-( !%($ %#%$%# ()$%(%&# $ %!&%$%#&$%#$ &$&# $ ( !%与%!&平行$ .()# -&#%(%&# -$ &5+$ 解得($& 点 拨 解法$运用了) 向量与非零向量!共线E存在 唯一实数2! 使得 2 ! * 解法%运用了向量共线的坐标表 达式( !&$!$ 与&$%!%$ 共线E$!%$%!$+& 例&!已知3 : : * #!$3 : : * +$3 : : * 7#$3 : : * E$3 : : * C($ 设 $ 如果!#$%$(!%# $ 那么为何值时$7!E! C三点在一条直线上 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . 新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! * ! 教 学 札记 解# 由题意知3 : : 7 E$#%!$ 3: : 7 C(#!%#!#!% & 要使7!E!C三点在一条直线上$ 则存在实数($ 使3 : : 7 C 3: : ( 7 E$ 即 #!% ( !%( & 整理得$ ?(#!%(#.& &若!与共线$ 则可为任意实数( 若!与不共线$ 则 ?(+$ %(+ / $ 解得 ) ( $ ( ( 5 6 7 & 综上$ !$共线时$ 则可为任意实数(!$不共线时$ ) ( $ 可使7!E!C三点在一条直线上& 点 拨 用!% 表示其他向量& 基向量思想$ ! 引入实数( & 分析法$ ! 列方程组求解& 方程组思想$ ! 引入实数(对解题 方向起到关键性过渡作用& 专题二!向量的数量积运算 平面向量的数量积运算是本章的核心$ 其运算及性质涵 盖向量的长度! 夹角$ 不等式是联系向量与数量的桥梁$ 应用 非常广泛& $&利用数量积可以求长度$ 可以判断直线与直线的位置 关系$ 如夹角及向量是否垂直等( %&通过向量的坐标运算可以将代数 中 的 有 关 函 数! 不等式等 知 识 融 合 在 一 起$ 需 要 我 们 把 相 关 知 识 融 会 贯通& 例!在1* # +中$3 : : * #!$3 : : * +$* E是# +边上的 高$ 若3 : : #E2 3: : # +$ 则实数2等于!# ! /* !# -! ! % 0* !# -! ! % !2* !# -! ! 3* !# -! ! 解 析- 3: : #E2 3: : # +!. 3: : * E 3: : * #2&3 : : * + 3: : * #$ !3 : : * E 2 3: : * +%&$62$3 : : * #&$62$!% 2 & 又-* E是# +边上的高!. 3: : * E&3 : : * + 3: : * #$+! .# &$62$!% 2 + & !$+! 整理可得2&!$ % & !$ ! 即2& !$ ! ! % &故选0& !答案#0 点 拨 合理地对有关向量进行线性运算! 并在此基础上 利用向量垂直的性质是本题成功解决的关键&在此过程中我 们还看到基底在解决问题的过程中使我们有了方向感& 例)!设!$ !%$ 求 !%的值& 解法#- !%$.1! %$ % !-%& %1& 又!$.!-$ $ 故 !% !%# 槡 % 1! %) !-%槡 % 1?)4 $ 槡 ?$槡% & 解法%# 设!$ !$# $%$!%#& -! $ .$ % $%! % $ % %! % %$& -!%$%$%$!$%!%# $ . !% $%$%# % !$%!%# 槡 %& .$%!$!% $ & . !% $%$%# % !$%!%# 槡 % 1$ % $%1! % $%$ % %! % %)$%!$!% 槡 # !1?$?)4 槡 $ 槡% & 点 拨 解法$运用了将模平方的方法! 并且注意到了整 体代换 解法%运用了向量的坐标法! 显得较烦琐! 但在解题 过程中! 如能根据!$! 而去设!&: !$! #$ ! &: !%! #%$ ! 则可简化解题过程& 例*!设两个向量($与(%满足($%$ (%$($与 (%的夹角为) + ,$ 若向量% ($%.(%与($% (%的夹角为钝角$ 求实数的取值范围& 分 析 本题主要考查向量的夹角公式! 向量!与的夹 角)为钝角的充要条件为: !)$+! 且!与不共线! 结合已 知条件! 列出算式求解& 解# 由已知($-(%($ (% : !) + , $ .% ($%.(%# -($% (%#% ( % $% %.# ($-(% . ( % % %$ ( %.& -)为钝角$.% %$ ( %.$+$ 解得.$ $ %& 又由% ($%.(%2 ($% (%# 2$+# $ . %2$ .5 2 / & .$ 求证,D LDE C& 证明# 如图%)$& -# D8# +$&$# L8L 7$ . 3: : # D $ & 3: : # +$3 : : # L $ & 3: : # 7$ . 3: : D L 3: : # L 3: : # D $ & 3 : : # 7 3: : # +# $ & 3: : + 7& 同理可得3 : : E C $ % 3 : : # 7 3: : # +# $ % 3: : + 7& . 3: : D L $ % 3: : E C$. 3: : D LD 3: : E C$ 即D LDE C& 例,!已知圆7, $# % !# %&及点# $# $ 0是圆7上的任意一点$ 点1在线段0#的延长线上$ 且 3: : 0#% 3: : #1$ 求点1的轨迹方程& 解# 设0$+$ !+# $1$!# $ 由 3: : 0#% 3: : #1$ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 得 平面向量第二章 ! * #! 教!学 札记! $6$+$ $6!+#%$!$# $ 所以 $+6%$ !+6%! / & 代入圆7, $# % !# %&中$ 得$% ! %$& 所以所求轨迹方程为$ % ! %$& 点 拨 本题是向量方法在解析几何中的应用! 应认真体 会向量与解析几何的联系& 专题四!方程的思想 在比较复杂的几何图形中$ 有的向量不容易直接观察出 来$ 我们往往需要先观察图形$ 利用几何性质得出一些线段 长度的比例关系$ 再分析所求向量与基底的关系$ 列出方程 组# $ 通过解方程的办法解出所求向量& 图%)% 例-!如图%)%$*!#!+三点不 共线$3 : : * 7% 3: : * #$3 : : * E 3: : * +$C是直线 #E和+ 7的交点$ 设 3: : * #!$3 : : * +& $# 试用! 表示向量3 : : * C( %# 设线段# +!* C!7 E的中点分 别为R!0!1$ 试 说 明R!0!1三 点 共线& 解# $#-+!C! 7三点共线$ . 3: : * C$-3 : : * 7%$6$#3 : : * +%$ !%$6$#& 同理$ 由#!C!E三点共线$ 可得 3: : * C ! ! %$6!#$ 比较&得$% $!$ $6$6! / # $ 解得 $ % ( $ ! & ( 5 6 7 $ . 3: : * C & (!% (& %#- 3: : * R !% % $3 : : *0 $ % 3: : * C& !% $ + $3 : : *1 $ % 3 : : * 7% 3: : * E#% !% % $3 : : 01 3: : *1 3: : *0 !%) ( $3 : : 0R3 : : * R 3: : *0 !% $ + $. 3: : 01) 3: : 0R$.R!0!1三点共线& 点 拨 &$ 把3 : : * #!3 : : * +作为基向量! 由于C是直线 #E和+ 7的交点! 可得到+%C%7三点共线和#%C%E三点 共线! 利用向量共线定理列方程! 可用!% 表示向量 3: : * C& &%$ 利用向量共线的充要条件可证& 专题五!整体思想 向量可以用坐标表示$ 如果把一切向量运算都用坐标来 解决$ 可能会增大运算量$ 这时$ 我们可以把所要研究的向量 看成一个整体进行计算$ 这要方便得多& 例# .!设向量!$%# $ $(#& $# 若3 : : # +!%$3 : : + 7%!%-$3 : : 7 E!# $ 求证,#! +!E三点共线( %# 试确定实数($ 使( !%和!%( 共线& $# 证明#- 3: : # +!%$3 : : + 7%!%-$3 : : 7 E!# $ . 3: : + E3 : : + 7% 3: : 7 E%!%-%!#(!%# ( 3: : # +& . 3: : # +!3 : : + E共线&又它们有公共点$ .#!+!E三点共线& %# 解#-( !%与!%( 共线$ .存在实数2$ 使( !%2!%( #& 又! 是两不共线的非零向量$ .(2 2 ( $5+& .( %$5+$ .($& 点 拨 &$ 本题把!% 当成整体! 利用坐标判断!%不共 线 &%$ 把( !%与!%( 分别当做两个向量! 研究其共线 条件& 直击高考 考情分析 向量作为高中数学的工具性知识$ 在高中数学中占有重 要的地位$ 常常应用于解析几何! 物理中$ 此外$ 它还可以与 函数! 三角函数! 数列! 不等式等内容联系起来$ 在近几年高 考中已经成为热点&预计在将来的高考中所占的比重会比较 小$ 选择题! 填空题! 解答题都可能涉及$ 选择题或填空题将 侧重于考查向量基本概念! 向量运算关系$ 解答题将侧重于 考查向量与其他知识的交汇点$ 综合性较强& 考题回放 例#!% + $ +-辽宁# 平面上*$#$+三点不共线$ 设3 : : * # !$3 : : * +$ 则1* # +的面积等于!# /* ! % % !-# 槡 % 0* ! % % !-# 槡 % 2* $ % ! % % !-# 槡 % 3* $ % ! % % !-# 槡 % 图%) 解 析 如图%)所示! ,1* # + $ % ! ! #1!2 $ % ! $6&: !1!2 $ 槡 % $ % ! $6 ! ! # 槡 % $ % ! ! % %& !$ % ! % 槡 % $ % ! % %& !$ 槡 %! 故选2& !答案# 2 例%!% + $ +-安徽# 设向量!$+# $ $ % $ # $ % $ 则下列结论中正确的是!# /* !0* !-槡 % % 2*!与垂直3*!D 解 析!&$!+$ ! $ % ! # $ % !. !$! $ &?槡 $ & 槡 % % !. /错误-!$4$ % %+4 $ % $ % ! . 0错 误-! $ % ! # $ % !.&!$ $ % 3 $ % $ %3 $ % +!. 2正确-$4 $ % +4 $ % $ % /+! . 3错误& !答案#2 例&!% + $ +-重庆# 若向量!$?# $%$# $ !-+$ 则实数?的值为!# /* %!0* %!2* %!3* ) 解 析 由!+! 得4%?3&$+!.?) & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! * $! 教 学 札记 答案#3 例!% + $ +-重庆# 已知向量!$ 满足!-+$! $%$ 则 % !# 槡 /* +0* % %2* &3* - 解 析 %! %& %!$ %& ! %& !% % &4$6&4+?&5-!. %!槡% %& !答案#0 例)!% + $ +-广东# 若向量!$# $%$(# $# $ $# $ 满足条件-!# -# +$ 则$!# /& )0& (2& &3& 解 析-!&$! $ !&%!($ !.-!&-!-$&%!($ &)!$&又-&-!$ # +!.&)!$ &!$ -?$ + & .$& & !答案#2 例*!% + $ +-四川# 设点0是线段+ 7的中点$ 点#在 直 线+ 7外$3 : : + 7 % $ )$3 : : # +%3 : : # 7 3: : # + 3: : # 7$ 则3 : : #0!# /* -0* &2* %3* $ 解 析- 3: : + 7 %$ ) !. 3 : : + 7&又3 : : # + 3: : # 73 : : 7 + &!.3 : : # +%3 : : # 7& -0为+ 7中点!. 3: : #0 $ % &3 : : # +% 3: : # 7$ !.3 : : #0 $ %3 : : # +%3 : : # 7%& !答案#2 例+!% + $ +-湖南# 在 = 1# + 7中$%71 + ,$# 7 &$ 则 3: : # +- 3: : # 7等于!# /& $ )!0& -!2& -!3& $ ) 图%)& 解 析 如 图%)&!3 : : # + 3: : # 7&3 : : # 7% 3: : 7 +$ 3: : # 7 3: : # 7 %3 : : 7 + 3: : # 7& %+5$ )& !答案#3 例,!% + $ +-陕西# 已知向量!%$ $# $?# $#$%# $ 若!%#D#$ 则?!& 解 析-!&%!$ ! &$!?$ !.!%&$!?$& -&!%$D#!#&$!%$ !.%6&$ &?$+& .?$& !答案#$ 例-!% + $ +-天津# 如图%)($ 在1# + 7中$#E0 # +$3 : : + 7槡 3: : + E$3 : : #E$ 则 3: : # 7- 3: : #E!& 图%)( ! 图%) 解 析 如图%)! 设+ E=! 则+ 7槡 =! 作7 C0+ # 交+ #的延长线于C! 可知%E# 7%# 7 C&在 = 1# + E 中! ! #+ $ + E $ = &在 = 1+ C 7中!7 C+ 7! #+ 槡= $ = 槡! .: ! %E# 7: ! %# 7 C槡 # 7& . 3: : #E 3: : # 73 : : #E3 : : # 7 : !%E# 7#E# 7 槡 # 7槡 & !答案#槡 本章检测 时间1 +分钟$ 满分$ % +分# 一$ 选择题 每小题(分$ 共( +分# $&% + + - 安 徽# 若 3: : # +%$&# $3 : : # 7$# $ 则 3: : + 7 !# !/*$#0*$# 2*$.#3*$.# 解 析3 : : + 73 : : # 7 3: : # +&$!$&%!&$&$!$& 答案#0 %&若平面向量!$满足!%$!%平行于$轴$ %$# $ 则!# /*$#0*$# 2*$#3*$# 或$# 解 析- !%$!%平 行 于$轴! 故!% &$! +$ 或&$!+$ !.!&$!+$&%!$&$!$ 或 !&$!+$&%!$&!$& !答案#3 &若!$&# $ 则与其垂直的单位向量为!# /* & ( $ # ( 或 & ( $ # ( 0* & ( $ # ( 或 & ( $ # ( 2* ( $ # & ( 或 ( $ # & ( 3* ( $ # & ( 或 ( $ # & ( 解 析 代入验证即可& !答案#/ &若!%$($!-$ 则!%等于!# /* % !0* (!槡 2* % !槡3* ( 解 析!% %& !%$ % ! % !% % ! .!% 槡 % & !答案#2 (&% + + 1-浙江# 已知向量!$%# $%$#&若向 量#满足 #%!#D$#0!%# $ 则#!# /* . 1 $ # . 0* . $ # . 1 2* . $ # . 1 3* . 1 $ # . 解 析 设#&$! !$ ! 则#%!&$%$!%$& 又& #%!$D!.%&!%$%&$%$+& 又#0& !%$ !.&$!$ &!$!+& 由&得$. 1 ! ! . & !答案# 3 )&已知3槡% %$4$3!4的夹角为 ! & $ 则以! (3%4$34为邻边的平行四边形的一条对角线 长为!# 槡 /* $ (0* $ (2* $ &3* $ ) 解 析!% (3% 4%34 )34 ) 3 % 4 % ) 3 4 : ! 槡& 槡% 1 .6. %$ (! 所以选/& !答案# & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &/ 平面向量第二章 ! * %! 教!学 札记! .&已知两个非零向量!?$?%$# 与?$?$# 互相垂直$ 则实数?!# /* $0* $ % 或$ 2* $ % 或$ 3* $ % 解 析 由!0得?&?$%&?%$ &?$+! .%?%?$5+! 解得?$或? $ %& -/.!.? $ % ! 选3& !答案#3 -&已知点#$%# $ 若向量 3: : # +与!%$# 同向$3 : : # + 槡 %$ $ 则点+的坐标为!# /*($&#!0*&$(#!2*($&#!3*($&# 解 析 设+& $!$ ! 则 & $ %& !%$槡 % 槡 %$ ! &$%&!%$+ / ! 解得 $(! ! / & 或 $! ! / - & 舍去$& !答案#/ 1&已知 向 量!#$ 如 果!-!-#$ 且!/.$ 那 么!# /*#0* 2 # 2*#03*$#在!方向上的投影相等 解 析 由数量积及投影的定义知3正确& !答案#3 $ +&已知!% : !)$% ! #)# $) ! % $ #! $ +$# $ 则 向量!与的夹角$为!# /* %! )0* ! % %) 2*) ! % 3*) 解 析-!%! $!% ! #)!. : !$ ! ! ! #): ! ! % 6#)& -) ! % ! #! ! . ! %$ ! % )$!.$ %! )&选/&!答案#/ 二$ 填空题 每小题&分$ 共% +分# $ $&% + + 1-天津# 若等边1# + 7的边长为 槡 % $ 平面内 一 点0满 足 3: : 70 $ ) 3: : 7 +% % 3: : 7 #$则 3: : 0#- 3: : 0+!& 图%). 解 析 如图%).所示& 3: : 0 #3 : : 0 +& 3: : 7 #3 : : 7 0$ & 3: : 7 +3 : : 7 0$ 3: : 7 # $ ) 3: : 7 + % 3: : # 7 # 3: : 7 + $ ) 3: : 7 + % 3: : # 7 # $ 3: : 7 # $ ) 3: : # 7 + ( ) 3: : 7 + % 3: : # 7 # ( $ - 3: : 7 #3 : : 7 + % 1 3: : 7 # %( )3 : : 7 + %$ 1 3: : 7 + 3: : 7 # . $ - 3: : 7 #3 : : 7 + % 1 3: : 7 # %( )3 : : 7 + % . $ -3&槡 % $ %3$ % % 1 &槡 % $ %( )&槡 % $ % %& !答案#% 图%)- $ %&% + + -江西# 如图%)-$ 正六边 形# + 7 E C D中$有 下 列 四 个 命题, /*3 : : # 7% 3: : # D%3 : : + 7( 0*3 : : #E%3 : : # +%3 : : # D( 2*3 : : # 7- 3: : #E 3: : #E- 3: : # +( 3*3 : : #E- 3: : # D#3 : : C D 3: : #E3 : : # D- 3: : C D#& 其中真命题的代号是!& 写出所有真命题的 代号# 解 析 在正六边形# + 7 E C D中! 3: : C E 3: : # +!3 : : + 7 $ % 3: : #E3 : : D C! . 3: : # D 3: : 7 E 3: : #E3 : : # 7 3: : #E 3: : # +3 : : + 7 3: : #E 3: : # + $ % 3: : #E $ % 3: : #E 3: : # +! 3: : # 7 3: : # +%3 : : + 7 3: : # +% $ % 3: : #E! . 3: : # 7% 3: : # D 3: : # +% $ % 3: : #E% $ % 3: : #E 3: : # + 3: : #E %3 : : + 7! 故/正确& % 3: : # +% 3: : # D% 3: : # +% $ % 3: : #E 3: : # # + 3: : #E! 故0 正确& -3 : : #E% 3 : : # +! 且13 : : # +!3 : : #E2 ! ! . 3: : #E 3: : # +3 : : #E3 : : # + : ! 3 : : # + %& 又3 : : # 7 3: : #E 3: : # +% $ % 3: : #3 : : #E #E 3: : # + 3: : #E% $ % 3: : #E %3 : : # + % 3 : : # + % 3 : : # + %! . 3: : #E 3: : # +/3 : : # 7 3: : #E! 故2错误& - &3 : : #E 3: : # D$3 : : C D 3: : #E $ % 3: : #E 3: : #12 # + $ % 3: : # #E $ % 3: : #E %3 : : #E 3: : # # + $ % 3: : # #E 3 : : # + % % 3: : #E! 3: : #E&3 : : # D3 : : C D$ 3: : #E $ % 3: : #E 3: : # # + $ % 3: : #12 #E 3: : #E $ & 3: : #E %$ % 3: : # + 3: : # #E3 : : # + % % 3: : #E! .&3 : : #E 3: : # D$3 : : C D 3: : #E&3 : : # D 3: : C D$ ! 故3正确& ! 答案#/!0!3 $ &% + $ +-湖北改编# 已知1# + 7和点0满足 3: : 0#% 3: : 0+% 3: : 07.&若存在实数?使得 3: : # +% 3: : # 7 3: : ?#0 成立$ 则?!& 解 析- 3: : 0#% 3: : 0+% 3: : 07.!.点0是1# + 7的重 心& . 3: : # +%3 : : # 7 3: : #0& .?& !答案# $ &% + + -陕西# 关于平面向量!$#$ 有下列三个命题, &若!-!-#$ 则#(若!$(# $%$ )# $!D$ 则(非零向量!和满足! !$ 则!与!%的夹角为) + , $ 其中真命题的 序号为!& 写出所有真命题的序号# 解 析&!#! 有! : !1 !2! # : !1!#2 ! 得不到#! 错误& !&$!($ !&%!)$ ! -!D!. 2 ! ! 得(&正确& (设!?&?#+$ ! 则有& !$ %!% !% %?%! .%!? % & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! * &! 教 学 札记 !&!%$! % !?%? % % ?% % ! & !%$ % ! % !% %?%?%?% ?%! .: !1!%2 !&!%$ ! !% %? % ?槡? 槡 %& .1!%2 + , & . (错误& !答案# $ (&% + $ +-全国&改编#1# + 7中$ 点E在边# +上$ 7 E平分%# 7 +&若3 : : 7 +!$3 : : 7 #$!$%$ 则3 : : 7 E!& 图%)1 解 析 如图%)1所示!%$ 5%! . 7 + 7 # + E E# $ % ! . 3: : + E $ 3: : + # $ &3 : : 7 # 3: : 7 +$ $ & !$ ! . 3: : 7 E3 : : 7 +% 3: : + E!% $ & !$ % !% $ & ! 答案# % !% $ 三$ 解答题 共( +分# $ )&$ +分# 已知平面上三个向量!#的模均为$ 它们 相互之间的夹角均为$ % + , & $# 求证, !#0#( %# 若( !%#$ (# $ 求(的取值范围& $# 证明#-向量! !#的模均为$ 且它们之间的夹 角均为$ % + ,$ .!-#$4$4: !$ % + , $ % $ -#$4$4: !$ % + , $ % $ !-$4$4: !$ % + , $ % $ .!# -#!-#-#+$.!#0#& %# 解#-( !%#$.( !%# %#$& .( % ! % % # % ( !-%( !-#%-#$& -!-#!-# $ % $ .( % (#+$.($+或(#%& $ .&$ +分# 在平面直角坐标系中$*为坐标原点$ 已知向 量!$%# $ 又 点#-$ +# $+/$# $7(! #)$ #+) ! # % & $# 若3 : : # +0!$ 且3 : : # +槡( 3 : : * #$ 求向量 3: : * +( %# 若向量3 : : # 7与向量!共线$ 当(#&且! #)取最大 值&时$ 求3 : : * #-3 : : * 7的值& 解# $#3 : : # +/-$#& - 3: : # +0!$.-6/%+& -槡( 3 : : * #3 : : # +$ .(4) &5/-# % %( %$ 解得-& . 3: : * +% &$-# 或 3: : * +-$-#& %#3 : : # 7(! #)-$#& - 3: : # 7与!共线$ .%(! #)%$ )& .! #) %(! # % )% $ ) ! #) %(! #)&# ( % % % ( & -(#&$.$# & ( #+$.当! #)& ( 时$ ! #)取最 大值为 % ( &由 % ( &$ 得(-$ 此时)! ) $3 : : * 7&$-# $ . 3: : * #-3 : : * 7-$+# -&$-# %& 图%)$ + $ -&$ +分# 如图%)$ +所示