江苏启东数学大一轮讲义六解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题pdf

137 专题六 解析几何 专题六 解析几何 第第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题讲 圆锥曲线中的热点问题 总序总序 17 考情解读 (1)本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景， 考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大(2)求轨迹方程也是高考的热点与 重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法， 往往出现在解答题的第问中 热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题 例 1 (2013 浙江)如图，点 P(0，1)是椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点， C1的长轴是圆 C2：x2y24 的直径l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线， 其中 l1交圆 C2于 A，B 两点，l2交椭圆 C1于另一点 D. (1)求椭圆 C1的方程； (2)求ABD 面积取最大值时直线 l1的方程 思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆 C2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线 l1的斜率为 k，将ABD 的面 积表示为关于 k 的函数 解 (1)由题意得 b1， a2. 所以椭圆 C1的方程为x 2 4y 21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为 k， 则直线 l1的方程为 ykx1.又圆 C2：x2y24，故点 O 到直线 l1的距离 d 1 k21， 所以 AB2 4d22 4k23 k21 .又 l2l1，故直线 l2的方程为 xkyk0. 由 xkyk0， x24y24. 消去 y，整理得(4k2)x28kx0，故 x0 8k 4k2. 所以 PD8 k21 4k2 .设ABD 的面积为 S，则 S1 2AB PD 84k23 4k2 32 4k 23 4k2313， 所以 S 32 4k23 13 4k23 32 24k23 13 4k23 16 13 13 ，当且仅当 k 10 2 时取等号 所以所求直线 l1的方程为 y 10 2 x1. 思维升华 求最值及参数范围的方法有两种：根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的 138 函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；由题目条件和结论建立目标 函数，进而转化为求函数的值域 已知椭圆 C 的左，右焦点分别为 F1，F2，椭圆的离心率为1 2，且椭圆经过点 P(1， 3 2) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)线段 PQ 是椭圆过点 F2的弦，且PF2 F2Q ，求PF1Q 内切圆面积最大时实数 的值 解 (1)ec a 1 2，P(1， 3 2)满足 1 a2 3 2 2 b2 1，又 a2b2c2，a24，b23， 椭圆标准方程为x 2 4 y2 31. (2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合，当直线 PQ 与 x 轴垂直时，PQ3，F1F22，SPF1Q3； 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时，设直线 PQ：yk(x1)，k0 代入椭圆 C 的标准方程， 整理，得(34k2)y26ky9k20，0，y1y2 6k 34k2，y1 y2 9k2 34k2. SPF1Q1 2F1F2|y1y2|12 k2k4 34k22， 令 t34k2，t3，k2t3 4 ，SPF1Q331 t 1 3 24 3，00， 直线 l 的方程为 yk(x1)，即直线 l 过定点(1,0) 思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证 明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的 (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到 了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m) 已知椭圆 C 的中点在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于1 2，它 的一个顶点恰好是抛物线 x28 3y 的焦点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(2,3)，Q(2，3)在椭圆上，点 A、B 是椭圆上不同的两个动点， 且满足APQBPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由 解 (1)设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，则 b2 3.由 c a 1 2，a 2c2b2，得 a4， 椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 121. (2)当APQBPQ 时，PA、PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k， 则 PB 的斜率为k，PA 的直线方程为 y3k(x2)，由 y3kx2， x2 16 y2 121， 整理得(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480，x1282k3k 34k2 ， 同理 PB 的直线方程为 y3k(x2)，可得 x228k2k3 34k2 8k2k3 34k2 . x1x216k 212 34k2 ，x1x2 48k 34k2，kAB y1y2 x1x2 kx123kx223 x1x2 kx 1x24k x1x2 1 2， 直线 AB 的斜率为定值1 2. 热点三 圆锥曲线中的探索性问题 例 3 已知椭圆 C1、抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，C1的中心和 C2的顶点均为原点 O，从每条曲线上各取 140 两个点，将其坐标记录于下表中： x 3 2 4 2 y 2 3 0 4 2 2 (1)求 C1，C2的标准方程； (2)是否存在直线 l 满足条件： 过 C2的焦点 F； 与 C1交于不同的两点 M， N， 且满足OM ON ？若存在， 求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 解 (1)设抛物线 C2：y22px(p0)，则有y 2 x 2p(x0)，据此验证四个点知(3，2 3)，(4，4)在 C2上， 易求得 C2的标准方程为 y24x.设椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)， 把点(2,0)，( 2， 2 2 )代入得 4 a21 2 a2 1 2b21 ，解得 a24 b21 ，所以 C1的标准方程为x 2 4y 21. (2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk(x1)，与 C1的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2) 由 x2 4y 21 ykx1 消去 y 并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0， 于是 x1x2 8k2 14k2，x1x2 4k21 14k2 . 所以 y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k24k 21 14k2 8k2 14k21 3k2 14k2. 由OM ON ，即OM ON 0，得 x1x2y1y20.(*)将代入(*)式，得4k 21 14k2 3k2 14k2 k24 14k20， 解得 k 2，所以存在直线 l 满足条件，且直线 l 的方程为 2xy20 或 2xy20. 思维升华 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型解决问题的一般策略是 先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于 “存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概 念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的 思想分析问题和解决问题的能力 如图，抛物线 C：y22px 的焦点为 F，抛物线上一定点 Q(1,2) (1)求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程 (2)过焦点 F 的直线(不经过 Q 点)与抛物线交于 A，B 两点，与准线 l 交于点 M，记 QA，QB，QM 的斜率分别为 k1，k2，k3，问是否存在常数 ，使得 k1k2k3成立， 若存在 ，求出 的值；若不存在，说明理由 解 (1)把 Q(1,2)代入 y22px，得 2p4，所以抛物线方程为 y24x，准线 l 的方程：x1. 141 (2)由条件可设直线 AB 的方程为 yk(x1)，k0.由抛物线准线 l：x1，可知 M(1，2k) 又 Q(1,2)，所以 k322k 11 k1，即 k3k1. 把直线 AB 的方程 yk(x1)，代入抛物线方程 y24x，并整理，可得 k2x22(k22)xk20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，知 x1x22k 24 k2 ，x1x21. 又 Q(1,2)，则 k12y 1 1x1，k2 2y2 1x2.因为 A，F，B 共线，所以 kAFkBFk，即 y1 x11 y2 x21k. 所以 k1k22y 1 1x1 2y2 1x2 y1 x11 y2 x21 2x1x22 x1x2x1x212k 22k 24 k2 2 12k 24 k2 1 2k2， 即 k1k22k2.又 k3k1，可得 k1k22k3.即存在常数 2，使得 k1k2k3成立 真题感悟 (2014 北京)已知椭圆 C：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，试判断直线 AB 与圆 x2y22 的位置关系，并证明你的结论 解 (1)由题意，得椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 21，所以 a 24，b22，从而 c2a2b22. 因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 . (2)直线 AB 与圆 x2y22 相切证明如下：设点 A，B 的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中 x00. 因为 OAOB，所以OA OB 0，即 tx02y00，解得 t2y 0 x0 . 当 x0t 时，y0t 2 2，代入椭圆 C 的方程，得 t 2，故直线 AB 的方程为 x 2， 圆心 O 到直线 AB 的距离 d 2.此时直线 AB 与圆 x2y22 相切 当 x0t 时，直线 AB 的方程为 y2y 02 x0t(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00. 圆心 O 到直线 AB 的距离 d |2x0ty0| y022x0t2.又 x 2 02y204，t2y 0 x0 ， 故 d 2x02y 2 0 x0 x20y204y 2 0 x20 4 4x20 x0 x408x2016 2x20 2.此时直线 AB 与圆 x2y22 相切 押题精练 142 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，其左、右焦点分别是 F1、F2，过点 F1的直线 l 交椭圆 C 于 E、G 两点，且EGF2的周长为 4 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、B，设 P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP (O 为坐标 原点)，当|PA PB|0，得 k21 2. x1x2 8k2 12k2，x1x2 8k22 12k2， OA OB tOP ，(x1x2，y1y2)t(x，y)， xx 1x2 t 8k2 t12k2，y y1y2 t 1 tk(x1x2)4k 4k t12k2. 点 P 在椭圆 C 上， 8k22 t12k222 4k2 t12k222，16k 2t2(12k2) |PA PB|2 5 3 ， 1k2|x1x2|2 5 3 ，(1k2)(x1x2)24x1x21 4. 1 4k 21 2. 16k2t2(12k2)，t2 16k2 12k28 8 12k2，又 3 212k 22，8 3t 28 8 12k24， 2t2 6 3 或2 6 3 0)渐近线的距离为 4 5 5 ，点 P 是抛物线 y28x 上的一动点，P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0，c)的距离与到直线 x2 的距离之和的最小值为 3，则 该双曲线的方程为_ 答案 y2 4x 21 解析 由题意得，抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)， 双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的一条渐近线的方程为 axby0， 抛物线 y28x 的焦点 F 到双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0)渐近线的距离为 4 5 5 ， 2a a2b2 4 5 5 ，a2b. P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0，c)的距离与到直线 x2 的距离之和的最小值为 3， FF13，c249，c 5，c2a2b2，a2b， a2，b1.双曲线的方程为y 2 4x 21. 4若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y2 31 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值 为_ 答案 6 解析 设 P(x0，y0)，则x 2 0 4 y20 31，即 y 2 033x 2 0 4 ，又因为 F(1,0)， 所以OP FP x 0 (x01)y201 4x 2 0x031 4(x02) 22， 又 x02,2，即OP FP 2,6，所以(OP FP ) max6. 5设 M(x0，y0)为抛物线 C：x28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物 线的准线相交，则 y0的取值范围是_ 答案 (2，) 解析 依题意得 F(0,2)，准线方程为 y2， 又以 F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线的准线相交，且 FM|y02|， FM4，即|y02|4，又 y00，y02. 144 6已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左，右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点 P 满足 a sinPF1F2 c sinPF2F1，则该双曲线的离心率的取值范围为_ 答案 (1， 21) 解析 根据正弦定理得 PF2 sinPF1F2 PF1 sinPF2F1， 所以由 a sinPF1F2 c sinPF2F1可得 a PF2 c PF1，即 PF1 PF2 c ae，所以 PF1ePF2. 因为 e1，所以 PF1PF2，点 P 在双曲线的右支上 又 PF1PF2ePF2PF2PF2(e1)2a，解得 PF2 2a e1，因为 PF2ca， 所以 2a e1ca，即 2 e1e1，即(e1) 22，解得 1 20 且 m5.直线 ykx1 恒过(0,1)点， 要使直线与椭圆总有公共点，应有0 2 5 12 m1，即 m1，m 的取值范围是 m1 且 m5. 8在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q 作抛物线 x24y 的切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 恒过定点 _ 答案 (0,2) 解析 设 Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为 y1 4x 2，则 y1 2x， 则在点 A 处的切线方程为 yy11 2x1(xx1)，化简得，y 1 2x1xy1， 同理，在点 B 处的切线方程为 y1 2x2xy2.又点 Q(t，2)的坐标满足这两个方程， 代入得：21 2x1ty1，2 1 2x2ty2，则说明 A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2 1 2xty， 即直线 AB 的方程为：y21 2tx，因此直线 AB 恒过定点(0,2) 9(2014 辽宁)已知椭圆 C：x 2 9 y2 41，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C的焦点的对称点分别为A， B， 线段MN的中点在C上， 则ANBN_. 答案 12 解析 椭圆x 2 9 y2 41 中，a3. 如图，设 MN 的中点为 D，则 DF1DF22a6. D，F1，F2分别为 MN，AM，BM 的中点，BN2DF2， AN2DF1，ANBN2(DF1DF2)12. 10已知直线 ya 交抛物线 yx2于 A，B 两点若该抛物线上存在点 C，使得ACB 为直角，则 a 的取 值范围为_ 答案 1，) 解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2(ya)2a，由 yx2 x2ya2a， 145 得 y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知 a0， a10， 解得 a1. 二、解答题 11.如图所示，椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，x 轴被曲线 C2：yx2 b 截得的线段长等于 C1的短轴长C2与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直 线 l 与 C2相交于点 A，B，直线 MA，MB 分别与 C1相交于点 D，E. (1)求 C1，C2的方程； (2)求证：MAMB； (3)记MAB，MDE 的面积分别为 S1，S2，若S 1 S2，求 的取值范围 (1)解 由题意，知c a 2 2 ，所以 a22b2.又 2 b2b，得 b1. 所以曲线 C2的方程为 yx21，椭圆 C1的方程为x 2 2y 21. (2)证明 设直线 AB：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知 M(0，1) 则 ykx， yx21 x2kx10， MA MB (x1，y11) (x2，y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210，所以 MAMB. (3)解 设直线 MA：yk1x1，MB：yk2x1，k1k21，M(0，1)， 由 yk1x1， yx21， 解得 x0， y1 或 xk1， yk211， 所以 A(k1，k211) 同理，可得 B(k2，k221)故 S11 2MA MB 1 2 1k21 1k22|k1|k2|. 由 yk1x1， x2 2y 21， 解得 x0， y1 或 x 4k1 12k21， y2k 2 11 12k21， 所以 D( 4k1 12k21， 2k211 12k21) 同理， 可得 E( 4k2 12k22， 2k221 12k22) 故 S21 2MD ME 1 2 1k21 1k22 |16k1k2| 12k2112k22， S1 S2 12k2112k22 16 52 1 k21k 2 1 16 9