江苏数学一轮第七章第42课数列的综合应用要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 数列与新背景、新定义的综合问题 数列与新背景、新定义的综合问题 (2014 东莞一模)如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1 层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,依次类推. (1) 第n(n2)层的点数为 ; (2) 如果一个六边形点阵共有169个点,那么它一共有 层. (例1) 思维引导思维引导(1) 可将第1,2,3,4,5层的点数一一列出,组成数列,然后判断数列 的特点,猜出结论;(2) 根据(1)的结果求解. 答案答案(1) 6(n-1) (2) 8 解析解析(1) 第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为12,第4层的点数 为18,第5层的点数为24,它们组成数列:1,6,12,18,24,分别记为a1,a2,a3,a4,a5. 因为a3-a2=6,a4-a3=6,a5-a4=6,猜想an-an-1=6(n2), 所以当n2时,由等差数列的通项公式可知an=a2+(n-2)d=6+(n-2)6=6(n-1), 即an=6(n-1)(n2). (2) 由(1)得 ( -1)(66 -6) 2 nn +1=169,解得n=8. 精要点评精要点评(1) 对于数列与新背景、新定义的综合问题,此类问题出题背景广、 新颖,解题的关键是读懂题意,有效地将信息转化,能较好地考查学生分析、 解决问题 的能力和知识的迁移能力.一般以客观题或解答题的形式出现,属于低、中档题. (2) 解决数列与新背景、新定义的综合问题,可通过对新数表、图象、新定义的 分析、探究,将问题转化为等差(比)数列的问题. 根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有 个点. (变式) 答案答案n 2-n+1 解析解析序号n决定了每个图的分支数,而第n个分支有(n-1)个点,中心再加1点, 故有n(n-1)+1=n 2-n+1个点. 数列与函数、不等式等综合问题 数列与函数、不等式等综合问题 若数列an的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,nN N * *. (1) 当实数t为何值时,数列an是等比数列? (2) 在(1) 的结论下,设bn=log3an+1,Tn是数列 1 1 nn b b 的前n项和,求T2 015的值. 思维引导思维引导解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1) 利用前n项和与通项 的关系;(2) 用裂项相消法求数列的前n项和. 解答解答(1) 由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2), 两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2), 所以当n2时,an是等比数列. 要使an是等比数列,则需 2 1 a a = 21t t =3, 从而得出t=1. (2) 由(1)知an=3 n-1,b n=log3an+1=n, 1 1 nn b b = 1 (1)n n = 1 n- 1 1n , T2 015= 1 2 1 bb + 2015 2016 1 bb = 1 1- 2 + 1 1 - 2 3 + 11 - 2015 2016 = 2015 2016. 精要点评精要点评本题以函数为背景,考查数列前n项和与通项的关系、等比数列、对 数知识、裂项求前n项和等问题,内容较综合,但难度一般. (2014 扬州模拟)设函数f(x)= 23 3 x x (x0),数列an满足a1=1,an=f -1 1 n a (n N N * *,n2),求数列a n的通项公式. 解答解答因为an=f -1 1 n a = -1 -1 1 23 1 3 n n a a =an-1+ 2 3(nN N* *,且n2), 所以an-an-1= 2 3(n2). 因为a1=1,所以数列an是以1为首项、 2 3为公差的等差数列, 所以an= 21 3 n . 数列型的实际应用问题 数列型的实际应用问题 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与 第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金 全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1) 用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式; (2) 若公司希望经过n(n3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年 上缴资金d的值(用n表示). 解答解答(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d, a2=a1(1+50%)-d= 3 2a1-d, an+1=an(1+50%)-d= 3 2an-d. (2) 由(1)得 an= 3 2an-1-d = 2 3 2 an-2- 3 2d-d = -2 3 3 - 2 2 n ad -d = = -1 3 2 n a1-d 2-2 333 1? 222 n , 整理得an= -1 3 2 n (3 000-d)-2d -1 3 -1 2 n = -1 3 2 n (3 000-3d)+2d. 由题意知an=4 000, 所以 -1 3 2 n (3 000-3d)+2d=4 000, 解得d= 3 -21000 2 3 -1 2 n n = 1 1000(3 -2) 3 -2 nn nn . 故该企业每年上缴资金d的值为 1 1000(3 -2) 3 -2 nn nn 时,经过n(n3)年企业的剩余资 金为4 000元. 精要点评精要点评与一般应用题类似,审清题意是解决此类问题的前提.本题中出现 了等差数列与等比数列的常见问题,即求通项公式,分清类别是解题的关键.题中还 出现了数列的项的值与某数值的大小比较等,也属常规问题,仅需常规处理即可. (2014北京房山区模拟)2010年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱, 某地区大面积植树造林.如图,在区域(x,y)|x0,y0内植树,第一棵树在点 A1(0,1),第二棵树在点B1(1,1),第三棵树在点C1(1,0),第四棵树在点C2(2,0),接着按 图中箭头方向,每隔一个单位种一棵树,那么第2014棵树所在的点的坐标 是 . (变式) 答案答案(10,44) 解析解析OA1B1C1设为第一个正方形,种植3棵树,依次下去,第二个正方形种植5棵 树,第三个正方形种植7棵树它们构成一个首项为3、 公差为2的等差数列,所以前 n项和Sn=3n+ ( -1) 2 n n 2=n 2+2n,因为S 43=1 935,S44=2 024,所以2 024-2014=10,根据图 象知第2 014棵树所在的点的坐标是(10,44). 1. 已知an为等差数列,若a1+a5+a9=2,则cos(a2+a8)的值为 . 答案答案- 1 2 解析解析a1+a5+a9=3a5=2,则a5= 2 3 ,a2+a8=2a5= 4 3 . 所以cos(a2+a8)=cos 4 3 =- 1 2. 2. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一 天的2倍,则需要的最少天数n= . 答案答案6 3. (2014 盐城模拟)在数列an中,a1=0, 1 1 1- n a - 1 1- n a =1,设bn= 1 1- n a n ,记Sn为数列bn 的前n项和,则S99= . 答案答案 9 10 解析 解析由题意可得,数列 1 1- n a 是以1为首项、1为公差的等差数列, 所以 1 1- n a =n,从而有an= -1n n , 所以bn= 1 1- n a n = 1- 1 n n n = 1 n - 1 1n , 所 以 数 列 bn 的 前 99 项 的 和 S99= 1 1- 2 + 11 - 23 + + 11 - 99100 =1- 1 100 = 9 10. 4. (2014 湖北模拟)在ABC中,三个内角A,B,