广东惠州惠阳中山中学数学立体几何模拟考一人教

广东省惠州市惠阳中山中学2006年高考数学立体几何模拟考试卷一广东省惠州市惠阳中山中学一、选择题（每小题5分，共50分）1已知是异面直线，给出下列四个命题： 必存在平面，过且与平行； 必存在平面，过且与垂直； 必存在平面，与都垂直； 必存在平面，与的距离相等.其中正确的结论是（ ）A B C D2设、为平面， 、为直线，则的一个充分条件是 ( )ABDCA1D1C1B1PQ图1A、 B、 C、 D、3如图1，在棱长为的正方体中， P、Q是对角线上的点，若，则三棱锥的体积为 （ ）A B C D不确定ABDCA1D1C1B1P图2PAAB1A1PBAB B1A1DPCAB B1A1PDABB1A14如图2所示，在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等，则动点所在曲线的形状为 （ ） 5四面体的棱长中，有两条为，其余全为1时，它的体积是（ ）ABCD以上全不正确6已知铜的单晶体的外形是简单几何体,单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶BCDABCDO图3图4A体有24个顶点,每个顶点处有3条棱,那么单晶铜的三角形晶面和八边形晶面的数目分别是（ ）A6，8 B8，6C8，10 D10，87如图3，在中，、，是垂足，则（射影定理）.类似有命题：三棱锥A-BCD(图4)中，AD平面ABC，AO平面BCD，O为垂足，且O在BCD内，则，上述命题是（ ）A真命题 B假命题C增加“”的条件才是真命题D增加“三棱锥是正三棱锥”的条件才是真命题8平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是，那么这条斜线与平面所成的角是 （ ）A90B60C45D309圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60角，则圆台的内切球的表面积是（ ）。 A BQ CQ DQ10矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）A B C D 二、填空题（每小题5分，共20分）11一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为 .12已知正方体。过点A作截面，使正方体的12条棱所在的直线与截面所成的角都相等，试写出满足这样条件的一个截面 。（注：只需任意写出一个）13小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的影高1.2m, 则树的高度是_ _.（太阳光线可看作为平行光线） 14设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分12分）如图6为某一几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.AQBPDSCR图6 （1）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？ （2）设正方体的棱的中点为，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值。AEBFCDA1B1C1D1图7MH16（本题满分12分）在棱长为的正方体中，E、F分别是AB、BC上的中点，EF交BD于H(如图7).(1)求二面角的正切值；(2)试在棱上找到一点，使平面，并证明你的结论；（3）求点到平面的距离。ABDCEP图 817（本题满分14分）如图8，四棱锥P-ABCD中，PB底面ABCD，CDPD.底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA。（1）求异面直线PA与CD所成的角；（2）求证：PC平面EBD；（3）求二面角A-BE-D的大小.（用反三角函数表示）.18（本小题满分14分）如图9所示,正ABC的边长为，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，满足，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B。ACBDE图 9ADBFECF（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角B-AC-D的大小；（3）当为何值时，异面直线AB与DE所成的角的余弦值为，并说明理由ANBCDA1B1C1D1图 10M19 如图10，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=，AA1=2，M、N分别是BB1、DD1的中点。 （1）求证：平面A1MC1平面B1NC1；（2）求异面直线A1M与B1C所成的角的余弦值；（3）若在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，三棱锥M-A1B1C1的体积为V1，求V1：V的值。20直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是A1C的中点，且交AC于D， (如图11) 。 （I）证明：平面； （II）证明：平面；图11DEA1CBAC1B1（III）求平面与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。参考答案题号10答案DBDC1112，或均可 13 4.2米14锐角三角形 13解： 树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，CE=米，树影长BE=米，树高AB=BE=米。图12DCBA14解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且则，BD=，CD=，BC=,如图12则BD为最长边，根据余弦定理最大角为锐角。所以BCD是锐角三角形。15. 解：（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（如图13），ABCDEHGA1B1C1D1图13 需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.（6分）（2）解法一：设B1E,BC的延长线交于点G,连结GA,在底面内作,垂足为,连结,由三垂线定理知,则为平面与平面所成二面角的平面角（8分）在Rt中,则, 10分，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为12分解法二：以为原点,、所在直线分别为、轴,建立直角坐标系,设棱长为6,则, 8分设向量,满足,于是 10分取,得,又,则 12分16.解：(1)连AC、B1H，则EF/AC，（如图14）ACBD，BDEF。 1分 AEBFCDA1B1C1D1图14MHB1B平面ABCD， B1HEF ， 为二面角B1-EF-B的平面角。 3分 在RtB1BH中，B1B=，BH=， 4分 （2）在棱B1B上取中点，连，EF平面BB1D1D，EF， 6分在正方形BB1C1C中，、F分别，为B1B、BC的中点，B1F 又D1C1平面BCC1B1 B1F，B1F平面，B1F 8分平面。 9分 （3）设与平面交于点，则为点到平面的距离 11分在Rt中， 13分故点到平面的距离为。 14分ABDCEPGFH图1517解法一：（1）PB底面ABCD，CDPD，（如图15）CDBD.在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，BC=6. 2分取BC的中点F，连结PF，则AF/CD.异面直线PA和CD，所成的角就是PA和AF所成的角PAF.在PAF中， 4分（2）连结AC交BD于G，连结EG. 6分 6分 8分（3）PB平面ABCD，ADPB.又ADAB，AD平面EAB.作AHBE，垂足为H，连结DH，则DHBE，AHD是二面角ABED的平面角. 10分 12分， 14分解法二：（1）建立如图16所示的直角坐标系.设BC=,ABDCEPGxyz图16则:,即. 2分,.异面直线CD与AP所成的角为. 4分（2）同解法一.（3）设平面的法向量为9分 由 11分又因为平面ABE的法向量所以. 13分G图 17ADBFEC所以，二面角ABED的大小为 14分18. 解：(1) AB平面DEF。 1分如图17，在ABC中，因为E、F分别是AC、BC上的点，且满足，ABEF， 2分 AB平面DEF，EF平面DEF， AB平面DEF 4分(2)过D作DGAC于G，联结BG， ADCD，BDCD, ADB是二面角A-CD-B的平面角。 5分ADB=900，即BDAD。BD平面ADC，BGAC。BGD是二面角B-AC-D的平面角。7分在RtADC中，AD=，DC=，AC=2，。在RtBDG中，tanBGD=,即二面角B-AC-D的大小为. 9分（3）当时，异面直线AB与DE所成的角的余弦值是 10分证明如下：EFAB，异面直线AB与DE所成的角等于DEF（或其补角）。 ， E为AC的中点，ADC为直角三角形，DE=AC=； 同理：DF=BC=。 12分ANBCDA1B1C1D1图 18MP在等腰DEF中，EF=AB=。cosDEF=. 14分19解：（1）取CC1的中点P，联结MP、NP、D1P(图18)，则A1MPD1为平行四边形 2分 D1PA1M，A1B1C1D1是边长为的正方形，又C1P=，C1PND1也是正方形，C1ND1PC1NA1M 4分又 C1B1A1M， A1M平面B1NC1，又A1M平面A1MC1，平面A1MC1平面B1NC1； 8分（2）由A1DB1C，MA1D就等于A1M与B1C所成的角（或补角）。 10分MA1=，A1D=，MD=, cosMA1D= A1M与B1C所成的角的余弦值是； 12分（3）V= ，VM-A1B1C1=VC-MA1B1=， V1：V = 14分（注意：若用向量法相应给分）20（解法一）（I）证： 三棱柱中， 1分又平面，且平面，平面 4分（II）证：三棱柱中， 中是等腰三角形。 6分 E是等腰底边的中点， 又依条件知 且 由，得平面EDB 9分（III）解：平面，且不平行，故延长，ED后必相交，设交点为E，连接EF，如图19 ，是所求的二面角 10分 依条件易证明，为中点，A为中点，ABDA1EB1CC1F图19，即 12分 又平面EFB， 是所求的二面角的平面角 13分 E为等腰直角三角形底边中点， 故所求的二面角的大小为。 14分（解法二）（）证明