江苏数学一轮第九章第49课平面的性质与空间直线的位置关系要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 多点共线与多线共点的证明 多点共线与多线共点的证明 如图,已知ABC的各顶点均在平面外,直线AB,AC,BC分别交平面于点 P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线. (例1) 思维引导思维引导根据公理2,选择恰当的两个平面,只要证明R,Q,P三点都是某两个 平面的公共点,即可证明三点在这两个平面的交线上. 证明证明设ABC确定了一个平面,因为点RBC,所以R. 又R,所以R在平面和平面的交线上. 同理,点P,Q也在平面和平面的交线上. 而平面和平面的交线只有一条, 故P,Q,R三点共线. 精要点评精要点评(1) 证明点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证明有关的点 都是这两个平面的公共点;先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在这条 直线上. (2) 公理的正确运用,严密的逻辑推理过程,文字、符号、图形语言的转化是解 立体几何题的基本要求,也是高考考查的重点. 已知E,F,G,H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD各边 AB,AD,BC,CD上的点,且直线EF和GH交于点P,求证:B,D,P在同一条直线上. (变式) 证明证明因为PEF,而EAB,FAD, 所以EF平面ABD, 所以P平面ABD; 同理,P平面BDC. 所以点P在平面ABD与平面BDC的交线上. 又因为平面ABD平面BDC=BD, 所以PBD,即B,D,P在同一条直线上. 点线共面的证明 点线共面的证明 已知直线l与三条平行直线a,b,c都相交,求证:l与a,b,c共面. 思维引导思维引导先由两平行直线确定一个平面,再确定另一个平面,最后说明两平 面重合且直线l在三平行直线所确定的平面内即可. (例2) 证明证明如图,因为ab,所以直线a,b可确定一个平面. 因为bc,所以直线b,c可确定一个平面. 因为Aa,Bb,Cc,且A,B,Cl, 所以l,l,所以存在两条相交直线b,l既在平面内又在平面内, 所以由公理3及推论知,平面,必重合, 所以直线l与直线a,b,c共面. 精要点评精要点评证明几条线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证 其他的点(或线)在这个平面内;先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面, 然后证明这些平面重合. 求证:若不交于同一个点的四条直线两两相交,则这四条直线共面. 证明证明若三直线l1,l2,l3交于一点A(如图(1),则由点A与l4确定一个平面,A ,B,AB,l1, 同理可得l2,l3, 所以l1,l2,l3,l4四线共面. 图(1) 图(2)(变式) 若四直线无三线共点,设两直线l1,l2交于一点A(如图(2),则l1,l2确定一个平面 ,则B,Cl3. 同理,l4, 所以l1,l2,l3,l4四线共面. 求异面直线所成的角 求异面直线所成的角 (2014 全国卷)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,求异面直线CE与BD所成 角的余弦值. (例3) 解答解答设AD的中点为F,连接EF,CF,则EFBD,所以异面直线CE与BD所成的角是 FEC或其补角. 设正四面体ABCD的棱长为2a,则EF=a,CE=CF= 3a, 由余弦定理可得cosCEF= 222 - 2? EFEC CF EF EC = 3 6 . 故异面直线CE与BD所成角的余弦值为 3 6 . (2014通城模拟)已知四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为 5,底面ABCD是边 长为2的正方形,求CD与PA所成角的余弦值. 解答解答在正方形ABCD中,CDAB,所以PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成 的角. 在PAB中,PA=PB= 5,AB=2, 所以cosPAB= 222 - 2? PAAB PB PA AB = 54-5 252 = 5 5 , 故CD与PA所成角的余弦值为 5 5 . 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB 的中点,F为AA1的中点. (范题赏析) (1) 求证:C1,O,M三点共线; (2) 求证:E,C,D1,F四点共面; (3) 求证:CE,D1F,DA三线共点. 规范答题规范答题(1) 因为C1,O,M平面BDC1,点C1,O,M平面A1ACC1,由公理3知点 C1,O,M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,(3分) 所以C1,O,M三点共线.(4分) (2) 连接A1B,CD1. 因为E,F分别是AB,A1A的中点,所以EFA1B.(6分) 因为A1BCD1,所以EFCD1, 所以E,C,D1,F四点共面.(8分) (3) 由(2)可知,E,C,D1,F四点共面. 又EF= 1 2A1B,所以D1F,CE为相交直线,设交点为P, (10分) 则PD1F平面ADD1A1,PCE平面ADCB.(12分) 又平面ADD1A1平面ADCB=AD,所以PAD, 所以CE,D1F,DA三线共点.(14分) 1. 如果a,b是异面直线,b,c也是异面直线,那么直线a与c的位置是 . 答案答案平行、相交或异面 解析解析事实上,直线a与c的位置关系是不确定的. 2. 若lm=,则直线l与m的位置关系是 . 答案答案平行或异面 3. (2014南安模拟)下列图形中不一定是平面图形的是 .(填序号) 三角形; 四边相等的四边形; 梯形; 平行四边形. 答案答案 解析解析根据确定平面的公理以及推论知中的图形是平面图形,根据空间四边 形知四边相等的四边形不一定是平面图形.注意在立体几何中的四边形不一定是平 面图形,也可构成几何体即三棱锥. 4. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别是AB,BC的中点,E1,F1分别是A1B1,B1C1 的中点,求证:EFE1F1. (第4题) 证明证明连接AC,则在三角形ABC中, 因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EFAC. 同理,在A1B1C1中,E1F1A1C1. 又因为A