浅议数学知识之间的相互联系

高中教学教 与学 浅议 数学知识 之 间的相 互联系 张宪华 ( 山东省平 邑县第一 中学 ， 2 7 3 3 0 0 ) 现行高中教材在原有教材 内容的基础上 增 添了逻辑 、 概率 、 向量 、 线性 规划 、 导数等 内 容 ， 新增添 的 内容 如何 与中学原 有知识 及能 力培养更好地结 合在一 起 ， 将 是摆在 高 中学 生及高中数学 教师 面前 的重 要 问题 本文 就 这 些 知识 之 间 的联 系与 组 合作 初 步 的探讨 一 、集 合 、 逻 辑 与概 率 集合的概念及其理论 ， 是近代 、 现代数学 的一个重要基础 一方 面 ， 许多重要 的数学分 支都建立在集合理论的基础上 ； 另一方面 ， 集 合论及其所反 映 的数 学思 想 ， 在越来 越广 泛 的领域 中得到应用 在高 中数学 中， 集合的初 步知 识 与简 易 逻 辑 知 识 ， 与 其 它 内容 有 着 密 切联系 ， 它们是学 习和使用数 学语言的基础 ， 是高中数学学 习的起 点 在学 习其它 概念 时 要注意运用集合 的语言 、 逻辑的知识 概率作 为 新增 添 内容在 中学 知 识 结 构 上 是相 对 独 立 的 ， 所以学生掌握有 些 困难 ， 但有 些概念如果 和集合 、 逻辑 联系在一起 则 比较 容易 例 如 ： 集合 中的补集 、 逻辑 中的非 P、 概率 中的对立 事件可 以相 互联 系 ， 从而 可 以加 深各概 念 的 理 解 二 、 线 性 规 划 与 几 何 概 率 例 1 两 人 相 约 7 点到 8点在某地会面 ， 先 到者 等 候 另 一 人 2 0分 钟 ， 过时就离 去 ， 试求这 两人能会面的概率 图 1 解 以 1 7 ， Y分别 表 示 两 人 到达 时刻 ， 则 会面的充要条件为 I Y I 2 0 ， 即 Y一 2 0 0且 XY+2 0 0 这是一个几何概率 1 4 2 o o 3 年 问题 ， 可能的结果全体是边 长为 6 0的正方形 里 的点 ， 能会 面 的点 的 区域 用 阴影 标 出 ( 如 图 1 ) ， 所求概率为 = 6 0 2- 广 4 02 = 5 三 、 平面 向量与 不 等式 例 2 已知 X 1 ， X 2 ， Y 1 ， Y 2 是实数 ， 求证 ： I 1 2 +Y t Y 2 I z + + i 证 明 设 向 量 a = ( z1 ， Y 1 ) ， 向量 b = ( 2 ， Y 2 ) ，a与 b的夹 角 为 ， 则 a b = I a I I b I C O S I a I I b I 由向量的坐标运算 ， 有 a b = Xl X2 4 -Yl Y2 ； 口I ： X +Y ， I b I = z i +Y i ， 1 l 2 +Y l Y 2 l ， + ， + 其 中不 等式 I口b I I口 I I b I 叫柯西 一苏瓦兹不等式 ， 当且仅当 口与b平行 时 ， 不等式取等号 四 、 平 面 向量 与 三角 函数 在两角和 与差的三 角函数 中 ， 最 基本 的 公 式 c o s ( a+J 9 )= o 0 s a o 0 s J 9 一s i n a s i n J 9 是 利 用单位圆和两点 间 的距 离公 式证 明 的， 过 程 比较繁 利用 向量 的知识 ， 则简捷、 明快 证 明 在直 角坐 标 系 z a 内作单位圆0， 并 作 角 a， J 9 ， 使 角 a的始 边 为 O x， 终 边 交 o 0 于 点 P1 ， 使 角 J 9 的始 边 为 O x， 终边 交 o 0 子 点 P 2 ， 则 点 Pl P2 的坐标 是 P1 ( s口 ， s i n口 ) ， - 图 2 维普资讯 第 5朝 P z ( c o s卢， s i n卢 ) 又向量 ， 一o p ；夹角为 a一卢 ， O P1 OP 2 = I O P1 1 I oP 2 I C O S ( 一卢 ) 。 O P1 C P2= C O S o l e o s 卢+s i n a s i n卢， + + 1 0Pl I ： 1 OP2 1 ： 1， C O S ( a一卢 )= C O S o l e o s 卢+s i n a s i n卢 五 、 空 间 向量 与立 体 几何 例 3( 2 0 0 0年全国高考题 ) 如图 3 ， 已知 平行六面体 A B C D Al Bl Cl Dl 的底 面四边 形 AB C D 是 菱 形 ， 且 C1 C B ： C1 C D = BCD = 6 0。 ( 1 ) 证 明 ： C1 C上 B D； ( 2 ) 假定 c D=2 ， C l C=昔， 记面 C l B D 为 a， 面 C B D为J 9 ， 求二面角 aB D一卢的平 面角的余弦 ； ( 3 ) N C D l 的值 为 多 少时 ， 能使 Al C 上 平 面 Cl B D?请给出证 明 分 析 以 C D = 口， C B ： 6， C El= c为 基c图 底 ， 利 用 向量 解决 该 题非 常 简单 ( 1 ) 证明设 ：口 ， 商： 6 ， ： c ，则 ( 口， 6 )=6 0 。 ， ( 口， c )=6 0 。 ， ( 6， c )=6 0 。 ， 。BD= 口 一 6 。 B D c： ( 口一 6 ) c = I口 l l c I c 0 s 6 0。 一 I 6 I I c I c 0 s 6 0 。 。 底 面 AB C D 是 菱形 ，I 口 I = I 6 I ， 。 BDc = 0 。 BD 上 c， 。 C1 C上 BD ( 2 ) 略 ( 3 ) 设 当 = 时 ， 能 使 上 平 面 C l B D 由( 1 ) 知， 商上 平面A c 】 。 Al Cc 平 面 ACl ， BD 上 AC1 当 = 0 ， 即 Al C上 cl D 时 ， 高中数 学教 与学 Al C 上 平 面 Cl B D - A1 C =一( 口+ 6+c ) ， C1 D ： 口一c ， t 6 t I口 I I c 1 ， =一 ( 口+ 6+ c )( 口一 c ) ： 一 口 + 1口 I t c I c 0 8 6 0 。 一 I 6 I I口 1 c o s 6 0。 + I 1 I c I o 0 s 6 0 *一 I c l l a I o 0 s 6 0 。+ c 2 =一 ( 1 ) c 又 。 。 0 ， 当 = 1 ， 即 C C l： C D 时 ， = 0 ， Al C 上 cl D， Al c 上 平 面 Cl B D 六 、 平面 向量 与解 析几 何 例 4( 2 0 0 1 年全 国高考题 ) 设抛物线 y = 2 p ： r ( 0 ) 的 焦点 为 F， 经 过 点 F 的直线 交抛物线于 A、 B两点 ， 点 C在抛物线的准线 上 ， 且 B C 平 行 轴 ， 证 明 直线 AC 经 过 原 点 0 证 明 设 c ( 一 号 ， - ) ，则 B ( 蓦 ， 。 ) ， 、 Z 。 一 ， 、 Z ， 设 A ( 蓦 ， z ) ， 由 于 A 、F 、B 三 点 共 线 ， 则存在 R ， 廊= 赢 ， 即 ( 号 1 2 p ， 一 y 1 ) = ( 筹 一 号 ) ， 于是 有 号 一 = ( 筹 2 ) ， 于 是 有 2 2 户 2 户 【 一 Y l ：2 y 2 ， 消去 ， 得 3 q y 2：一 P 于 是 l：一 Y2， ： ( 一 号 ， - ) = ( 一 号 ， 一 Y 2 ) 一 萎 ) ：一 ， 至 故 三 点 A ， 0， C共 线 ， 直线 AC经过 原 点 o 七 、 导 数 与 函数 例 5( 2 0 0 0年天津 、 江西 、 山西高考题 ) 用 总 长 为 1 4 8 r r l 的钢 条 做一 个 长方 体 的框 1 5 维普资讯 南中 5I 学赦 与学 。解题思路 与方法。 异面 直线所 成 角的 一种 求法 熊星飞 ( 江西省宜丰 中学 ， 3 3 6 3 0 0 ) 立体几何 中， 两异面直线 所成 角的计算 问题 ， 历来是高考的重点 ， 也是学生学 习的难 点 从教学 中发现 ， 把 异面直线 所成 的角 ( 空 间角) 通过平移转化成相交直线所成 的角 ( 平 面角 ) ， 这是解 决 问题 的关 键 ， 学 生往往感 到 比较困难 ， 有 的即使 已转化 成平 面角仍 然求 不出 对于这个 问题 ， 除了用常规 方法 ( 即把 空间角转化成平面角 ， 再解 三角形)外 ， 还 可 以用其它方法 ， 本文介 绍一种 利用 异面 直线 中一条异面直线及其射影与 另一条异面直线 之间所成角 的关系 ， 求异 面直线 所成角 的方 法 先 看下 面的结 论 ： 设 O A是平面M 的一斜线 ， O A在平面M 内的射影是 O B， O C是平面 M 的任 意一条经 过点0的直线 ， O A与O B所成的角为a， O B与 OC所成的角为 ( 如图 1 ) ， 则 O A 与 OC所成 的角 满 足 ： C O S ： C O S o t C 0 8 p 证 明 如图 1 ， 过点 2 0 0 3 年 南 D 厂7。，f_=_7 由 三 垂 线 定 理 知 ： 兰 c 0C I AD 一 在 Rt A0B中 ， 图 o0s a= OB R t B OD 中， o 0 s ： 面O D ：( E R t Z X A OD 中 ， o 0 s = O D 架 ， 如果所 制做 的窗 口的底 面的一 边 比另 一 边长0 5 1 T I 那 么高 为多 少时 容器 的容积 最 大? 并求出它的最大容积 解 设容器底面短边长为 1 1 1 ， 则另一 边长为( - t- 0 5 ) m， 高为 鱼 ： 3 2 2 叶 由 3 22 x0， z0 ， 得 0 3 2 1 6 设容器的容积为 Y m3 ， 则有 = ( +0 5 ) ( 3 22 x) = 一 2x - t-2 2