湖北荆门外高数学一轮检测不等式选讲8182选修45pdf

选修选修 45不等式选讲不等式选讲 课时作业课时作业 81绝对值不等式绝对值不等式 一、填空题 1若不存在实数 x 使|x3|x1|a 成立，则实数 a 的取值集 合是_ 解析：|x3|x1|的几何意义为数轴上的点到 3 和 1 的距离之 和，所以函数 y|x3|x1|的最小值为 2，实数 a 的取值集合是 a|a2 答案：a|a2 2设关于 x 的不等式|x|x1|a(aR)若 a2，则不等式的 解集为_；若不等式的解集为，则 a 的取值范围是_ 解析：a2 时，不等式|x|x1|2 化为 x0， x1x2 或 0x1， x1x2 或 x1， xx12， 解得1 2x0 或 0x1 或 1x 3 2，即 1 2x 3 2，故不等式的解集 为 1 2， 3 2 . 因为|x|x1|x(x1)|1，所以若不等式|x| |x1|a 的解集为，则 a 的取值范围是 a1. 答案： 1 2， 3 2(，1 3(2014湖南卷)若关于 x 的不等式|ax2|3 的解集为x| 5 3x 1 3，则 a_. 解析：由题可得 |5 3a2|3 |1 3a2|3 a3，故填3. 答案：3 4设函数 f(x)|2x1|x3，则 f(2)_；若 f(x)5， 则 x 的取值范围是_ 解析：f(2)|2(2)1|(2)36， f(x)|2x1|x3 3x2，x1 2， 4x，x1 2， 则 x1 2， 3x25 或 x1 2， 4x5， 解得 x1,1 答案：61,1 5不等式| 2x1 x |3 的解集是_ 解析：不等式可化为32x1 x 3， 即 00 x1 5， x0 x1 5. 答案：(，1)(1 5，) 6 (2014重庆卷)若不等式|2x1|x2|a21 2a2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 解析：|2x1|x2| 3x1，x1 2 3x，2x1 2 3x1，x2 当 x1 2时，|2x1|x2|取得最小值 5 2，从而 a 2a 22 5 2，解 得1a1 2. 答案：1，1 2 7已知不等式|x1|a 成立的一个充分条件是 0x4，则实数 a 的取值范围为_ 解析：|x1|a 得 1axa1， |x1|a 成立的一个充分条件是 0x0； (2)若 g(x)|x3|m，f(x)1x2， 即 x11x2或 x11x2得 x1 或 x2； 由 x11 或 x1 或 x0. (2)原不等式等价于|x1|x3|m 的解集非空 令 h(x)|x1|x3|，即 h(x)min4. 11(2014辽宁卷)设函数 f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1. 记 f(x)1 的解集为 M，g(x)4 的解集为 N. (1)求 M； (2)当 xMN 时，证明：x2f(x)xf(x)21 4. 解：(1)f(x) 3x3，x1， 1x，x，1 ， 当 x1 时，由 f(x)3x31 得 x4 3，故 1x 4 3； 当 x1 时，由 f(x)1x1 得 x0，故 0x1. 所以 f(x)1 的解集为 Mx|0x4 3 (2)由 g(x)16x28x14 得 16(x1 4) 24，解得1 4x 3 4. 因此 Nx|1 4x 3 4，故 MNx|0x 3 4 当 xMN 时，f(x)1x，于是 x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x) xf(x)x(1x)1 4(x 1 2) 21 4. 1已知函数 f(x)|2xa|a，aR，g(x)|2x1|. (1)若当 g(x)5 时，恒有 f(x)6，求 a 的最大值； (2)若当 xR 时，恒有 f(x)g(x)3，求 a 的取值范围 解：(1)g(x)5|2x1|552x152x3； f(x)6|2xa|6aa62xa6aa3x3. 依题意有 a32，a1.故 a 的最大值为 1. (2)f(x)g(x)|2xa|2x1|a|2xa2x1|a|a1| a， 当且仅当(2xa)(2x1)0 时等号成立 解不等式|a1|a3，得 a 的取值范围是2，) 2已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)1，且当 xa 2， 1 2)时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围 解：(1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x 30. 设函数 y|2x1|2x2|x3， 则 y 5x，x1. 其图象如图所示从图象可知，当且仅当 x(0,2)时，y0.所以原 不等式的解集是x|00，m a b，n ab，则 m 与 n 的大小关系是 _ 解析：ab0，m a b0，n ab0. m2n2(ab2 ab)(ab) 2b2 ab2 b( b a)0， m2n2，从而 m0，y0，yx. 答案： 3已知 a、b、c、d 均为正数，且 a2b24，cd1，则(a2c2 b2d2)(b2c2a2d2)的最小值为_ 解析：(a2c2b2d2)(b2c2a2d2)(a2c2b2d2)(a2d2b2c2)(a2cd b2cd)2(a2b2)24216. 答案：16 4若 a，b 均为正实数，且 ab，M a b b a，N a b，则 M、N 的大小关系为_ 解析：ab， a b b2 a， b a a2 b， a b b b a a2 a2 b， a b b a a b.即 MN. 答案：MN 5若直线 3x4y2，则 x2y2的最小值为_，最小值点 为_ 解析：由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2， 得 25(x2y2)4，所以 x2y2 4 25. 当且仅当x 3 y 4时等号成立，为求最小值点， 需解方程组 3x4y2， x 3 y 4. x 6 25， y 8 25. 因此，当 x 6 25，y 8 25时，x 2y2取得最小值，最小值为4 25，最 小值点为 6 25， 8 25 . 答案： 4 25 6 25， 8 25 6记 S 1 210 1 2101 1 2102 1 2111，则 S 与 1 的大小关系 是_ 解析： 1 2101 1 210， 1 2102 1 210， 1 2111 1 2102101 1 210， S 1 210 1 2101 1 2102 1 2111 1 210 1 210 1 2101. 答案：S1 7若 x2y4z1，则 x2y2z2的最小值是_ 解析：1x2y4z x2y2z2 1416， x2y2z2 1 21，当且仅当 x y 2 z 4， 即 x 1 21，y 2 21，z 4 21时 x 2y2z2的最小值为1 21. 答案： 1 21 8以下三个命题：若|ab|1，则|a|b|1；若 a、bR， 则|ab|2|a|ab|；若|x|3，则|x y| 2 3，其中正确命题的序 号是_ 解析：|a|b|ab|1，所以|a|b|1； |ab|ab|(ab)(ab)|2a|， 所以|ab|2|a|ab|； |x|3，所以 1 |y|x2xy. 解法 2：当 xy0； 又 x，y 是不全为零的实数， 当 xy0 时，2x2y2x2xy. 综上，2x2y2x2xy. (2)证明：当 abc 时，取得等号 3. 作差比较： 1 a2 1 b2 1 c2 2a3b3c3 abc 3 a 2b2c2 a2 a 2b2c2 b2 a 2b2c2 c2 2a 3b3c3 abc 3 a2 1 b2 1 c2b2 1 a2 1 c2c2 1 a2 1 b22 a2 bc b2 ac c2 ab a2 1 b 1 c 2b2 1 c 1 a 2c2 1 a 1 b 20. 1 a2 1 b2 1 c2 2a3b3c3 abc 3. 11已知 f(x)|x1|x1|，不等式 f(x)4 的解集为 M. (1)求 M； (2)当 a，bM 时，证明：2|ab|4ab|. 解：(1)f(x)4，即|x1|x1|4， 当 x1 时，x11x2， 2x1； 当1x1 时，x11x4，得 24，恒成立， 1x1； 当 x1 时，x1x14，得 x2，1x2. 综上，Mx|2x2 (2)证明：当 a，bM 时，2a2，2b2， 即 a20， (4a2)(4b2)0，即 164a24b2a2b20， 也就是 4a24b216a2b2， 4a28ab4b2168aba2b2， 即(2a2b)2(4ab)2，即 2|ab|4ab|. 1设不等式2|x1|x2|0 的解集为 M，a，bM. (1)证明：| 1 3a 1 6b|1 4； (2)比较|14ab|与 2|ab|的大小，并说明理由 解：(1)证明：记 f(x)|x1|x2| 3，x2， 2x1，2x1， 3，x1. 由22x10，解得1 2x 1 2， 则 M 1 2， 1 2 . 所以| 1 3a 1 6b|1 3|a| 1 6|b| 1 3 1 2 1 6 1 2 1 4. (2)由(1)得 a24|ab|2，故|14ab|2|ab|. 2已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为 1,1 (1)求 m 的值； (2)若 a，b，c 大于 0，且1 a 1 2b 1 3cm，求证：a2b3c9. 解：(1)f(x2)m|x|， f(x2)0 等价于|x|m. 由|x|m 有解，得 m0