湖北荆门外高数学一轮测试8第八章文pdf

第八章单元质量检测第八章单元质量检测 时间：120 分钟分值：150 分 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1已知两条直线 yax2 和 3x(a2)y10 互相平行，则 a 等于() A1 或3B1 或 3 C1 或 3D1 或3 解析：因为直线 yax2 的斜率存在且为 a，所以(a2)0， 所以 3x(a2)y10 的斜截式方程为 y 3 a2x 1 a2，由两直线 平行，得 3 a2a 且 1 a22，解得 a1 或 a3. 答案：A 2双曲线x 2 2 y 2 1 1 的焦点坐标是() A(1,0)，(1,0)B(0,1)，(0，1) C( 3，0)，( 3，0)D(0， 3)，(0， 3) 解析：c2a2b2213，所以 c 3.由焦点在 x 轴上所以 焦点坐标为( 3，0)，( 3，0) 答案：C 3在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x4y50 与圆 x2y24 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长等于() A3 3B2 3 C. 3D1 解析： 圆心到直线的距离 d |5| 32421， 弦 AB 的长 l2 r 2d2 2 412 3. 答案：B 4已知圆 C 经过 A(5,2)，B(1,4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程是() A(x2)2y213B(x2)2y217 C(x1)2y240D(x1)2y220 解析：设圆心坐标为 C(a,0)，则|AC|BC|，即 a5222 a1242，解得 a1，所以半径 r 11242 202 5，所 以圆 C 的方程是(x1)2y220. 答案：D 5方程 mx2y21 所表示的所有可能的曲线是() A椭圆、双曲线、圆 B椭圆、双曲线、抛物线 C两条直线、椭圆、圆、双曲线 D两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析：当 m1 时，方程为 x2y21 表示圆； 当 m0 且 m1 时，方程表示椭圆； 当 m0 时，方程表示两条直线 答案：C 6若椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，则双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为() Ay1 2x By2x Cy4xDy1 4x 解析：由题意 a2b2 a 3 2 ，所以 a24b2. 故双曲线的方程可化为 x2 4b2 y2 b21， 故其渐近线方程为 y1 2x. 答案：A 7 抛物线 y212x 的准线与双曲线x 2 9 y 2 3 1 的两渐近线围成的 三角形的面积为() A. 3B2 3 C2D3 3 解析：抛物线 y212x 的准线为 x3，双曲线x 2 9 y 2 3 1 的两渐 近线为 y 3 3 x 和 y 3 3 x，令 x3，解得 y1 3，y2 3， 所以三角形底为 3( 3)2 3，高为 3，所以三角形的面积为 1 22 333 3，故选 D. 答案：D 8 已知抛物线 y28x 的焦点 F 到双曲线 C： y2 a2 x2 b21(a0， b0) 渐近线的距离为4 5 5 ，点 P 是抛物线 y28x 上的一动点，P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0， c)的距离与到直线 x2 的距离之和的最小值为 3， 则该双曲线的方程为() A.y 2 2 x 2 3 1By2x 2 4 1 C.y 2 4 x21D.y 2 3 x 2 2 1 解析：由题意得，抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)， 双曲线 C： y2 a2 x2 b21(a0， b0)的一条渐近线的方程为 axby0， 抛物线 y28x 的焦点 F 到双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0)渐近 线的距离为4 5 5 ， 2a a2b2 4 5 5 ，a2b. P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0， c)的距离与到直线 x2 的距离 之和的最小值为 3， |FF1|3，c249，c 5， c2a2b2，a2b，a2，b1. 双曲线的方程为y 2 4 x21，故选 C. 答案：C 9过点 P(1,1)作直线与双曲线 x2y 2 2 1 交于 A，B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样的直线() A存在一条，且方程为 2xy10 B存在无数条 C存在两条，方程为 2x(y1)0 D不存在 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22，y1y22， 则 x211 2y 2 11，x221 2y 2 21， 两式相减得(x1x2)(x1x2)1 2(y 1y2)(y1y2)0， 所以 x1x21 2(y 1y2)，即 kAB2， 故所求直线方程为 y12(x1)，即 2xy10. 联立 y2x1， x21 2y 21 可得 2x24x30，但此方程没有实数解， 故这样的直线不存在 答案：D 10已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆 在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨 迹方程为() A. x2 64 y2 481 B. x2 48 y2 641 C.x 2 48 y2 641 D. x2 64 y2 481 解析： 设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)16， M 的轨迹是以 C1、C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求 的轨迹方程为 x2 64 y2 481. 答案：D 11已知 0 4，则双曲线 C 1： x2 cos2 y2 sin21 与 C 2： y2 sin2 x2 sin2tan21 的( ) A实轴长相等B虚轴长相等 C焦距相等D离心率相等 解析：对于双曲线 C1： x2 cos2 y2 sin21，a 2 1cos2，b21sin2， c211； 对于双曲线 C2： y2 sin2 x2 sin2tan21，a 2 2sin2，b22sin2tan2， c22sin2sin2tan2sin2(1tan2) sin2 1sin 2 cos2 sin 2 cos2tan 2. 只有当k 4(kZ)时， a 2 1a 2 2或 b21b 2 2或 c21c22， 而 00)的离心率 e 3 2 ，原点 到过点 A(a,0)，B(0，b)的直线的距离为4 5 5 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 ykx1(k0)交椭圆 C 于不同的两点 E，F，且 E，F 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值 解：(1)因为c a 3 2 ，a2b2c2，故 a2b， 因为原点到直线 AB：x a y b1 的距离 d ab a2b2 4 5 5 ，解得 a 4，b2， 故所求椭圆方程为x 2 16 y2 4 1. (2)由题意 ykx1， x2 16 y2 4 1 得(14k2)x28kx120， 易得0，设 E(x1，y1)，F(x2，y2)， EF 的中点是 M(xM，yM)， 则 xMx1x2 2 4k 14k2，y MkxM1 1 14k2， 所以 kBMyM2 xM 1 k， 又因为 k0，所以 k21 8，所以 k 2 4 . 19(12 分)过点 Q(2， 21)作圆 O：x2y2r2(r0)的切线，切 点为 D，且|QD|4. (1)求 r 的值； (2)设 P 是圆 O 上位于第一象限内的任意一点，过点 P 作圆 O 的 切线 l，且 l 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，设OM OA OB ，求|OM | 的最小值(O 为坐标原点) 解：(1)圆 O：x2y2r2(r0)的圆心为 O(0,0)， 于是|QO|2(2)2( 21)225， 由题设知，QDO 是以 D 为直角顶点的直角三角形， 故有 r|OD| |QO|2|QD|2 25423. (2)设直线 l 的方程为x a y b1(a0，b0)，即 bxayab0，则 A(a,0)，B(0，b)，OM (a，b)， |OM | a2b2. 直线 l 与圆 O 相切， |ab| a2b23a 2b29(a2b2) a2b2 2 2， a2b236，|OM |6， 当且仅当 ab32时取到“” |OM |取得最小值为 6. 20(12 分)设椭圆 E：x 2 a2 y2 1a21 的焦点在 x 轴上 (1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程 (2)设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆 E 上的第一象限 内的点， 直线 F2P 交 y 轴于点 Q， 并且 F1PF1Q， 证明： 当 a 变化时， 点 P 在某定直线上 解：(1)因为焦距为 1，所以 2a211 4，解得 a 25 8，从而椭圆 E 的方程为8x 2 5 8y 2 3 1. (2)设 P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c 2a21，由题设知 x0c， 则直线 F1P 的斜率 kF1P y0 x0c， 直线 F 2P 的斜率 kF2P y0 x0c， 故直线 F2P 的方程为 y y0 x0c(xc)，当 x0 时，y cy0 cx0，即点 Q 的坐标为 0， cy0 cx0，因此直线 F1Q 的斜率 kF1Q y0 cx0.由于 F 1P F1Q，所以 kF1PkF1Q y0 x0c y0 cx01，化简得 y 2 0x20(2a21) ，将代入椭圆 E 的方程，由于点 P(x0，y0)在第一象限，解得 x0 a2，y01a2，即点 P 在定直线 xy1 上 21(12 分)如图，已知点 E(m,0)(m0)为抛物线 y24x 内一个定 点，过 E 作斜率分别为 k1，k2的两条直线交抛物线于点 A，B，C，D， 且 M，N 分别是 AB，CD 的中点 (1)若 m1，k1k21，求EMN 面积的最小值； (2)若 k1k21，求证：直线 MN 过定点 解：(1)当 m1 时，E 为抛物线 y24x 的焦点， k1k21，ABCD. 设直线 AB 的方程为 yk1(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 yk1x1， y24x， 得 k1y24y4k10， y1y2 4 k1，y 1y24. M x1x2 2 ，y1y2 2，M 2 k211， 2 k1， 同理，点 N(2k211，2k1)， S EMN 1 2 |EM|EN| 1 2 2 k21 2 2 k1 2 2k2122k12 2k21 1 k2122 224，当且仅当 k 2 1 1 k21，即 k 11 时，EMN 的面积取得最小值 4. (2)设直线 AB 的方程为 yk1(xm)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 yk1xm， y24x 得 k1y24y4k1m0， y1y2 4 k1，y 1y24m， M x1x2 2 ，y1y2 2，M 2 k21m， 2 k1， 同理，点 N 2 k22m， 2 k2，kMN k1k2 k1k2k 1k2. 直线 MN 的方程为 y 2 k1k 1k2x 2 k21m，即 yk1k2(xm)2， 直线 MN 恒过定点(m,2) 22 (12 分)(2014山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ， 直线yx被椭圆C截得的线段长为4 10 5 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶 点)点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点 设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明：存在常数使得 k1k2，并求出的值； 求OMN 面积的最大值 解：(1)由题意知 a2b2 a 3 2 ，可得 a24b2. 椭圆 C 的方程可简化为 x24y2a2. 将 yx 代入可得 x 5a 5 ， 因此 22 5a 5 4 10 5 ，可得 a2.因此 b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)设 A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则 B(x1，y1) 因为直线 AB 的斜率 kABy1 x1， 又 ABAD，所以直线 AD 的斜率 kx1 y1. 设直线 AD 的方程为 ykxm，由题意知 k0，m0. 由 ykxm， x2 4 y21 可得(14k2)x28mkx4m240. 所以 x1x2 8mk 14k2， 因此 y1y2k(x1x2)2m 2m 14k2. 由题意知 x1x2，所以 k1y1y2 x1x2 1 4k y1 4x1. 所以直线 BD 的方程为 yy1 y1 4