湖南师大附中高三摸底考试数学理

书书书 高三摸底考试? 附中版? 理科数学参考答案? ? 湖南师大附中? ? ? ?届高三摸底考试 数学? 理科? 参考答案 一? 选择题 题?号 ? ? ? ? 答?案 ? ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ?或?槡 ? ?槡? ? ? 故选? ? ? ? ? ? 解析? 设复数? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? 结合题意有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理可得? ? ? ? ? ? ? 即复数?对应点的轨迹是圆?故选? ? ? ? ? 解析? 因为? ? ? 所以? ? ?因为? ? ? ? 所以? ? ? 因为? ? ? 所以? ? ? 所以? 故选? ? ? ? 解析? 对于? 双曲线 ? ? ? ? ? ? ?的渐近线方程应是? ? ? ? 故?错? 对于? 双曲线的焦点为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? 从而离心率? ? 所以?正确? 对于? ? ? ? ?的中点坐标? ? ? ? 均不满足其渐近线方程? 所以?正确?故选? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由题意可知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ?槡 ? ? ? ? ? 解析? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此时? ? ?不满足条件? 即? ? ?满足条件? ? ? ?不满足条件? 故条件为? ? ? 故选? ? ? ? 解析? 依题意有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作出可行域? 易求得?的最大值和最小值分别为?和? ? 选? ? ? ? ? 解析? 由题设可得? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? 高三摸底考试? 附中版? 理科数学参考答案? ? ? ? ? ? ? 解析?函数? ? ? ? ? ? ? 的图象与过原点的直线恰有四个交点? ?直线与函数? ? ? ? ? ? 在区间 ? ? ? ?内的图象相切? 在区间 ? ? ? ?上? 的解析式为 ? ? ? ? 故由题意切点坐标为? ? ? ? ?切线斜率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由点斜式得切线方程为? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ?直线过原点? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选? ? ? ? ? ? 解析? 在正方体? ? ? ? 中? 每条棱在平面?的正投影的长度都相等?每条棱所在直线与 平面?所成的角都相等?棱? ? ? ? ?所在直线与平面?所成的角都相等? 易知三棱锥? ?是正 三棱锥? 直线? ? ? ? ?与平面? ?所成的角都相等?过顶点?作平面?平面? ? 则直线? ? ? ? ?与平面?所成的角都相等?同理? 过顶点?分别作平面?与平面? ? 平面? ? 平面? ?平 行? 直线? ? ? ? ?与平面?所成的角都相等?所以这样的平面?可以作?个? 故选? 二? 填空题 ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 求导函数可得 ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?切点为? ? ? ? ? ?曲线? ? ? ? ? ? ? ? ?在点? ? 处的切线方程是? ? ? ? ? ? 故答案为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由题意得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? 解析? 过?点作准线的垂线? 垂足为? 则由抛物线的定义可得? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? ? 在? ?中由正弦定理可知? ? ? 所以? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 设?的倾斜角为? 则? ? ? ? ? 当?取得最大值时? ? ? ?最小? 此时直线?与抛物线相切? 设直线?的方程为? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 即? ? ? ? 则? ? ?槡 ? ? 高三摸底考试? 附中版? 理科数学参考答案? ? 则?的最大值为 ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? 解析? 由题意可知? 进行两次操作后? 可得如下情况? 当? ? ? ? ? ? ? ? ? 其出现的概率为? ? ? ? ? ? ? 当? ? ? ? ? ? ? ? 其出现的概率为? ? ? ? ? ? ? 当? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其出现的概率为? ? ? ? ? ? ? 当? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其出现的概率为? ? ? ? ? ? ? ?甲获胜的概率为? ? 即? ?的概率为? ? 则满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理得? ? ?或? ? ? ? 三? 解答题 ? ? ? 解析? ? 由正弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 由? 知? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 由余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当?时等号成立? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当?时等号成立? ? ? ? ?的最大值为? 槡 ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? 解析? ? 如图? 由题意? 得? ? ?槡? ? 且? ? ? ? ? ? ?底面? ? ? ? ? ? 又? ? ? ?平面? ? ? ? ?平面? ? ?平面? ? ?平面? ? ? ? ?分? ? ? 如图? 以?为原点? 取? ?中点? 以? ? ? ?所在直线为?轴建立空 间直角坐标系? 则? ? ? ? ? ? 设? ? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设平面? ? ?的法向量为? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? 高三摸底考试? 附中版? 理科数学参考答案? ? 又? ? ? 且? ? ? 所以? ?平面? ? ? 故平面? ? ?的法向量为? ? ? ? ? ? ? 设二面角? ?的平面角为? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? 解析? ? 这? ?名学生测试成绩的平均分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将? ? ? ? ? ? ? ? ?变形为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设第一组学生的测试成绩分别为? ? ? ? 第二组学生的测试成绩分别为? ? ? ? ? ? 则 第一组的方差为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二组的方差为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 这? ?名学生的方差为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? 槡槡? ? ? ? ? ? ? 综上? 这? ?名学生测试成绩的平均分为? ? 标准差为? ? ?分? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? ? 得?的估计值为? ? ? ? ?的估计值? ? ? 由? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 从而? 在全校? ? ? ?名学生中? ? 不合格? 的有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 人? ? 而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故该校学生? 体能达标? 预测合格? ? ?分? ? ? ? ? 解析? ? 因为?离心率为槡 ? ? 所以? ? ? ? ? 从而?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 代入? ? ? 解得? ? ? 因此? ? ? 所以椭圆?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 由题设知?的坐标分别为? ? ? ? ?因此直线?的斜率为? ? 设直线?的方程为? ? ? ? 高三摸底考试? 附中版? 理科数学参考答案? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? 不妨设? ? ? ? 于是? ? ? ? ? 设直线? ? ? ?的斜率分别为? 则要证直线? ? ?与?轴围成的三角形是等腰三角形? 只需证? ? ? ? ?分? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则只需证? ? ? ? ? ? ? ? ? 而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以直线? ? ? ?与?轴围成的三角形是等腰三角形? ? ? ?分? ? ? ? ? 解析? ? 的定义域为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? 从而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? 从而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 的单调递减区间为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 单调递增区间为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故? 时? ? ? ? ? ?恒成立? 所以? 在? 上单调递增? 不妨设? ? 注意到? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? 令? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 在? 上单调递增? 从而? ? 即? ? ? 所以? 在? 上单调递减? 于 是? ? ? ? 即? ? 又? ? ? 所以? ? 于是? ? ? ? 而? ? 在? 上单调递增? 所以? 即? ? ? ? ? ?分? ? ? ? 解析? ? 设? ? ? ? ? ? ? 则由? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去? 得? ? ? ? ? ? ? ? 此即为点? 的轨迹方程? ?分? 高三摸底考试? 附中版? 理科数学参考答案? ? ? ? 曲线?的普通方程为? ? ? ? ? 直线?的普通方程? ? ? ? ? ? ? 设?为直线?的倾斜角? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则直线?的参数方程可设为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? ? 代入曲线?的普通方程? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故可设点? ?对应的参数为? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?