湖南邵阳邵东第一中学高二数学下学期第一次月考理PDF

1 邵东一中邵东一中 2019 年年上学期高二第一次月考上学期高二第一次月考 理科数学试题理科数学试题 范围：数学 2-2,2-3,4-4(极坐标)时间：120 分钟总分：150 分 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分）分） 1i 是虚数单位，则|z|（） A2BC4D 2在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的直角坐标为若以圆点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，则点 P 的极坐标可以是（） A(1,) 3 B 5 (2,) 3 C(2,) 3 D 4 (2,) 3 3由曲线 y，直线 yx，x4 所围成的封闭图形的面积为（） A64ln2B4ln2C24ln2D2+4ln2 4中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、 虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个， 三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪 个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（） A30 种B50 种C60 种D72 种 5在 2 2 ()nx x （nN*）的展开式中，若二项式系数最大的项是第六项，则展开式 中常数项是（） A180B120C90D45 6如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不 相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱已知起始柱上套有 n 个圆盘， 较大的圆盘都在较小的圆盘下面现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每 次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不 能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另 一根柱上为一次移动，若将 n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上 最少需要移动的次数记为 p（n） ，则 p（4）（） A33B31C17D15 7如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆，将一颗豆子 随机地扔到正方形 MNPQ 内，用 A 表示事件“豆子落在圆 O 内” ，B 表 示事件“豆子落在扇形 OEF（阴影部分）内” ，则 P（B|A）（） 2 ABCD 8“真人秀”热潮在我国愈演愈烈，为了了解学生是否喜欢某“真人秀”节目，在某 中学随机调查了 110 名学生，得到如下列联表： 男女总计 喜欢402060 不喜欢203050 总计6050110 附表： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 ()P Kk0.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 参照附表，得到的正确结论是（） A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关” B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关” C有 99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关” D有 99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关” 9用数学归纳法证明 11125 ( ). 123124 f n nnn （nN+）过程中，设计 nk（kN+）时，不等式 25 ( ) 24 f k 成立，则需证当 nk+1 时， 25 ( +1) 24 f k也成 立，则 f（k+1）f（k）（） A.B.C.D. 10若函数的值域为，则实数的取值范围为（） A.B.C.D. 11已知在正三角形 ABC 中，若 D 是 BC 边的中点，G 是三角形 ABC 的重心，则AG GD 2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体 ABCD 中，若三角形 BCD 的 重心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于（ ） A.1B.2C.3D.4 12设函数 f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f (x)，且有 2f（x）+xf (x)x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）4f（2）0 的解集为（） A.（2019,2017）B.（2019,2018）C.（2021,2019）D.（2020,2019） 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .） 13设随机变量 XN（1，2） ，且 P（X2），则 P（0X1） _ 14公司的广告费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示 y 对 x 呈线性相关关系 x24568 y3040605070 根据表中提供的数据得到回归方程 x中的 7，预测广告费支出 10 万元时，销 售额约为万元 15若 7234567 01234567 xaa xa xa xa xa xa xa x（1-2 ）， 则 1234567 234567=aaaaaaa_. 16已知直线与函数|cos|yx的图象恰有四个公共点， ，则_ 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知曲线 的极坐标方程为，直线 ：，直线 ： .以极点 为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求直线 ， 及曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，直线 与曲线 交于 ， 两点，求的面积. 18. 已知如图所示三角形数表中，假设第n行的 第二个数为), 2( * Nnnan （1）依次写出第六行的所有数字； （2）归纳出 nn aa与 1 的关系式并求出 n a的通项 公式； （3）设1 nnb a求证： 32 bb2b n 19. 为调查人们在购物时的支付习惯， 某超市对随机抽取的 600 名顾客的支付方式进行 了统计，数据如下表所示： 支付方式微信支付宝购物卡现金 人数200150150100 4 现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替 概率. （1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率； （2）记 X 为三人中使用支付宝支付的人数，求 X 的分布列及数学期望. 20已知定义在R上的函数 32 ( )2f xaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是 5，最小值是11. （）求函数( )f x的解析式； （）若 1 , 1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围. 21为评估 M 设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径（单位 mm）后，整理得到如下表： 直径7879818283848586878889909193合计 件数11356193318442121100 经计算，样本的平均值85，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值 （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X， 并根据以下不等式进行评判（p 表示相应事件的频率） ： p（X+）0.6826； p（2X+2）0.9544；p（3 X+3）0.9974评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲； 仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等 级为丁试判断 M 设备的性能等级 （2）将直径小于等于2的零件或直径大于等于+2的零件认定为是“次品” ，将 直径小于等于3的零件或直径大于等于+3的零件认定为是 “突变品” ， 从样本的 “次品”中随意抽取 2 件零件，求其中“突变品”个数的数学期望 22已知函数 f（x）ax+x2xlna（a0，a1） （）若 ae，求函数 f（x）的单调区间； （）若存在 12 , 1,1x x ,使得 12 |()()|1f xf xe，试求 a 的取值范围 5 邵东一中邵东一中 2019 年年上学期高二第一次月考上学期高二第一次月考 理科数学试题理科数学试题参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题小题每小题每小题 5 分，共分，共 60 分分） 题号题号123456789101112 答案答案BDABADBCCBCC 1i 是虚数单位，则|z|（） A2BC4D 【解答】解：，则|z| 2在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的直角坐标为若以圆点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，则点 P 的极坐标可以是（） ABCD 【解答】解：P 的直角坐标为2， tan，在第三象限，点 P 的极坐标为（2，） 3由曲线 y，直线 yx，x4 所围成的封闭图形的面积为（） A64ln2B4ln2C24ln2D2+4ln2 【解答】解：如图所示，由曲线 y与直线 yx 联 立，解得 x2 或 x2； 所求图形的面积为 S（x）dx（x2 4lnx）64ln2 4中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年 份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、 羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选 一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都 喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（） A30 种B50 种C60 种D72 种 【解答】解：甲同学选择牛，乙有 2 种，丙有 10 种，选法有 121020 种 甲同学选择马，乙有 3 种，丙有 10 种，选法有 131030 种， 所以总共有 20+3050 种故选：B 5在（）n（nN*）的展开式中，若二项式系数最大的项是第六项，则展开式 6 中常数项（） A180B120C90D45 【解答】在（）n（nN*）的展开式中，若二项式系数最大的项是第六项， 则 n10，则（）n（）10的通项公式为 Tr+12r， 令 50，求得 r2，可得展开式中常数项为22180，故选：A 6如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不 相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱已知起始柱上套有 n 个圆 盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则 如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱 上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘 从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动，若将 n 个 圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为 p（n） ，则 p（4）（） A33B31C17D15 【解答】解：设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为 p（n） ， 则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记 为 p（n1） ，则有 P（n）2P（n1）+1，则有 P（n）+12P（n1）+1， 又 P（1）1， 即是以 P（1）+12 为首项，2 为公比的等比数列， 由等比数列通项公式可得：P（n）+12n，所以 P（n）2n1， 即 P（4）24115，故选：D 7如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆，将一 颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内， 用 A 表示事件 “豆子落在 圆 O 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 OEF（阴影部分）内” ， 则 P（B|A）（） ABCD 【解答】解：如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆， 将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内，用 A 表示事件“豆子落在圆 O 内” ，B 表 示事件“豆子落在扇形 OEF（阴影部分）内” ，则 P（A），P（AB） 7 ，P（B|A）故选：B 8“真人秀”热潮在我国愈演愈烈，为了了解学生是否喜欢某“真人秀”节目，在某 中学随机调查了 110 名学生，得到如下列联表： 男女总计 喜欢402060 不喜欢203050 总计6050110 由 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 附表： 2 0 ()P Kk0.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 参照附表，得到的正确结论是 A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关” B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关” C有 99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关” D有 99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关” 【解答】由题中数据可得 2 K 的观测值7.86635k ， 所以 99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”故选 C 9用数学归纳法证明 11125 ( ). 123124 f n nnn （nN+）过程中，设计 nk（kN+）时，不等式 25 ( ) 24 f k 成立，则需证当 nk+1 时， 25 ( +1) 24 f k也成 立，则 f（k+1）f（k）（） A.B.C.D. 【解答】解：， f（k+1）f（k） 10若函数的值域为，则实数的取值范围为（） A.B.C.D. 【解答】当时，又对称轴为 8 ， 当时， 值域为且时， 当时， 令，解得在上单调递增，在上单调递减 又当时， 本题正确选项：B 11已知在正三角形 ABC 中，若 D 是 BC 边的中点，G 是三角形 ABC 的重心，则 AG GD2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体 ABCD 中，若三角形 BCD 的重心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于（ ） A.1B.2C.3D.4 【解答】 ： 选 C.由题意知，O为正四面体的外接球和内切球的球心.设正四面体的高为h， 由等体积法可求得内切球的半径为 1 4h，外接球的半径为 3 4h，所以 AO OM3.故选：C 12设函数 f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）4f（2）0 的解集为 （） A （2019，2017）B （2019，2018） C （2021，2019）D （2020，2019） 【解答】解：由 2f（x）+xf（x）x2， （x0） ，得：2xf（x）+x2f（x）x3， 即x2f（x）x30，令 F（x）x2f（x） ，则当 x0 时，得 F（x）0，即 F（x） 在（，0）上是减函数，F（x+2019）（x+2019）2f（x+2019） ，F（2）4f （2） ，即不等式等价为 F（x+2019）F（2）0， F（x）在（，0）是减函数，由 F（x+2019）F（2）得，x+20192， 即 x2021，又 x+20190，解得：x2019，故2021x2019，故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .） 11设随机变量 XN（1，2） ，且 P（X2），则 P（0X1） 【解答】解：由随机变量 XN（1，2） ，可得1，又 P（X2）， P（0X1）故答案为： 13某公司的广告费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显 示 y 对 x 呈线性相关关系 9 x24568 y3040605070 根据表中提供的数据得到回归方程 x中的 7，预测广告费支出 10 万元时， 销售额约为85万元 （参考公式： ） 【解答】解： （2+4+5+6+8）5， （37+40+60+50+70）50， 这组数据的样本中心点是（5，50） ，b7，y7x+a， 把样本中心点代入得 a15，线性回归方程是 y7x+15， 当 x10 时，y85，故答案为：85 15.若 7234567 01234567 xaa xa xa xa xa xa xa x（1-2 ），则 1234567 234567=aaaaaaa_. 解：对已知条件两边同时求导数，再令 x=1 可得答案为14。 16已知直线与函数的图象恰有四个公共点， ，则_ 16【详解】直线 yk(x+2)过定点（2,0） ，如下图所示， 由图可知，直线与余弦函数图象在 x4处相切，且，即 a(x4+2)cos，所以， k又， 即直线的斜率为： k， 因此 k， 即22.故答案为：2. 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (10 分)已知曲线 的极坐标方程为，直线 ：，直 线 ：.以极点 为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求直线 ， 及曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，直线 与曲线 交于 ， 两点，求的面积. 【解答】 （1）直线 的直角坐标方程为：直线 的直角坐标方程为： 10 ，且 曲线 的直角坐标方程为：即 （2）曲线 的极坐标方程为： 当时，当时， 18. （12 分）假设第n行的第二个数为 ), 2( * Nnnan （1）依次写出第六行的所有数字； （2）归纳出 nn aa与 1 的关系式并求出 n a的通项公式； （3）设1 nnb a求证： 32 bb2b n 【解答】 ： （1）第六行的所有 6 个数字分别是 6，16，25，25，16，6； （2）依题意)2( 1 nnaa nn ，2 2 a )3(1 1 nnaa nn 2 23 aa )(.)()( 134232 nnn aaaaaaaa (2)(1) 223 .(1)2 2 nn n ， 所以)3(1 2 1 2 1 2 nnnan； 当 n=2 时，212 2 1 2 2 1 2 2 a,也满足上述等式 所以)2(1 2 1 2 1 2 nnnan （3）因为1, nn a b 所以) 1 1 1 (2 2 2 2 22 nnnnnn bn 2) 2 1 1 (2) 1 1 1 (.) 3 1 2 1 () 2 1 1 1 (2. 432 nn bbbb n 19.（12 分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的 600 名顾客的支付 方式进行了统计，数据如下表所示： 支付方式微信支付宝购物卡现金 人数200150150100 现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替 概率. 11 （1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率； （2）记 X 为三人中使用支付宝支付的人数，求 X 的分布列及数学期望. 【解答】(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为 ，设 Y 为三人中使用微信支付的人数，Z 为使用现金支付的人数， 事件 A 为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”， 则 P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1 且 z=0)= = (2)由题意可知,故所求分布列为 X0123 P E(X)= 20.（12 分）已知定义在R上的函数 32 ( )2f xaxaxb）（0a在区间2,1上的 最大值是 5，最小值是11. （）求函数( )f x的解析式； （）若 1 , 1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围. 【解答】 ： （） 322 ( )2,( )34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx 令 ( ) fx=0,得 12 4 0,2,1 3 xx 因为0a，所以可得下表： x 2,000,1 ( ) fx+0- ( )f x极大 因此)0(f必为最大值,50 ）（f因此5b，( 2)165, (1)5,(1)( 2)fafaff ， 即11516)2(af，1a，. 52( 23 xxxf） （ ） xxxf43)( 2 ， 0(txxf）等 价 于043 2 txxx，令 xxxttg43)( 2 ，则问题就是0)(gt在 1 , 1t上恒成立时，求实数x的取 值范围，为此只需 0) 1 0) 1( （g g ，即 0 053 2 2 xx xx ，解得10 x，所以所求实 数x的取值范围是0，1. 21 （12 分）为评估 M 设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽 取 100 件零件作为样本，测量其直径（单位 mm）后，整理得到如下表： 12 直径7879 81 8283848586878889909193合计 件数11356193318442121100 经计算，样本的平均值85，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值 （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X， 并根据以下不等式进行评判（p 表示相应事件的频率） ： p（X+）0.6826； p（2X+2）0.9544；p（3 X+3）0.9974评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲； 仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等 级为丁试判断 M 设备的性能等级 （2）将直径小于等于2的零件或直径大于等于+2的零件认定为是“次品” ，将 直径小于等于3的零件或直径大于等于+3的零件认定为是 “突变品” ， 从样本的 “次品”中随意抽取 2 件零件，求其中“突变品”个数的数学期望 【解答】解：