山东济南章丘区高三数学期中

山东省济南市章丘区2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、单选题1.已知集合 ,则 （ ） A.B.C.D.2.设 ,则 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题“ ”的否定为（ ） A.B.C.D.4.设 为非零实数,复数 ,则 的最小值为（ ） A.B.C.D.5.函数f(x)=x2+ 的图象大致为( ) A.B.C.D.6.若 ,则（ ） A.B.C.D.7.在平行四边形 中, 与 交于点 ,则 在 方向上的投影为（ ） A.B.C.D.8.已知函数 ,则“ ”是“ 在 上单调递增”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9. ,则 的取值范围为（ ） A.B.C.D.10.已知定义在 上的函数 满足 ,且 在 上单调递增,则（ ） A.B.C.D.二、多选题11.将曲线 上每个点的横坐标伸长为原来的 倍(纵坐标不变),得到 的图象,则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线 对称B. 在 上的值域为 C. 的图象关于点 对称D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到12.已知函数 ,若 ,且 ,则下列结论正确的是（ ） A.B.C.D.13.定义在 上的函数 的导函数为 ,且 对 恒成立.下列结论正确的是（ ） A.B.若 ,则 C.D.若 ,则 三、填空题14.若向量 与 互相垂直,且 ,则 _ 15.若函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，则 _ 16.已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 的解析式为_不等式 的解集为_ 17. 分别为 内角 的对边.已知 （1） _ （2）若 ,则 _ 四、解答题。18. 分别为 内角 的对边.已知 . （1）若 的面积为 ,求 ; （2）若 ,求 的周长. 19.已知 . （1）若 ,求 ; （2）若向量 中存在互相垂直的两个向量,求 的值. 20.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 . （1）已知地震等级划分为里氏 级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于 级的为“小地震”,介于 级到 级之间的为“有感地震”,大于 级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约 焦耳，试确定该次地震的类型; （2）2008年汶川地震为里氏 级,2011年日本地震为里氏 级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取 ) 21.已知函数 （1）化简 ,并求 的最小正周期; （2）若 ,求 ; （3）求 的单调递增区间. 22.已知二次函数 . （1）若 是 的两个不同零点,是否存在实数 ,使 成立?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由. （2）设 ,函数 ,存在 个零点. (i)求 的取值范围;(ii)设 分别是这 个零点中的最小值与最大值,求 的最大值.23.已知函数 . （1）讨论 的单调性; （2）用 表示 中的最大值，若函数 只有一个零点,求 的取值范围. 答案解析部分一、单选题 1.【答案】 C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解:因为 所以 ,故答案为：C.【分析】先由二次不等式的解法求 再利用集合交集的运算可得 ，得解.2.【答案】 D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：由题意知 ,即 ，故 在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：D.【分析】先由已知条件求得 ，再确定 在复平面内对应的点位于的象限即可.3.【答案】 C 【考点】命题的否定 【解析】【解答】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零， 即命题“ ”的否定为“ ”，故答案为：C.【分析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.4.【答案】 B 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，复数代数形式的混合运算，复数求模 【解析】【解答】解：因为 ,所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立,故 的最小值为3.故答案为：B.【分析】由复数的乘法运算得 ，再结合复数模的运算得 ，即可求得复数模的最小值.5.【答案】 B 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】【解答】f( x)=( x)2+ =x2+ =f(x), f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D；又 时， ,排除A,故答案为：B.【分析】利用奇偶性排除C、D；利用 时， ,排除A,从而可得结论.6.【答案】 D 【考点】两角和与差的正切公式，二倍角的正切公式 【解析】【解答】解： ， ，即ABC不符合题意，D符合题意，故答案为：D.【分析】先由 ，再由两角差的正切公式求出 ，再利用正切的二倍角公式求出 即可得解.7.【答案】 B 【考点】向量的投影 【解析】【解答】解：因为 , 所以 .又 ， ，所以 ，故 在 方向上的投影为 .故答案为：B.【分析】由平面向量的线性运算得 ，又 ， ，则可得 在 方向上的投影为 ，得解.8.【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：若 在 上单调递增，则 ,即 在 上恒成立. 又 在 上单调递增,则 ，所以 .故“ ”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由 在 上单调递增，等价于 在 上恒成立，再求得 ，再判断“ ”与“ ”的充分必要性即可.9.【答案】 B 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】因为 , 所以 ，当且仅当 即 时等号成立.又 ，则 等价于 ,解得： ，则 的取值范围为 ，故答案为：B.【分析】先由重要不等式求得 的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得 的最大值为 ，再求解即可.10.【答案】 A 【考点】函数单调性的性质，图形的对称性 【解析】【解答】解：依题意可得, 的图象关于直线 对称. 因为 ,则 ，又 在 上单调递增,所以 .故答案为：A.【分析】由已知可得 的图象关于直线 对称.因为 ，又 在 上单调递增,即可得解.二、多选题 11.【答案】 B,D 【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ,对于A，令 ，解得 （ ），即函数的对称轴方程为 （ ），即A不符合题意；对于B，因为 ，所以 ，即 ，即 在 上的值域为 ，即B符合题意；对于C，令 ，解得 ，即 的图象关于点 对称，则 的图象关于点 对称，C不符合题意.对于D,由 的图象向右平移 个单位长度,得到 的图象,D符合题意.故答案为：BD.【分析】由三角恒等变换可得 ，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解.12.【答案】 B,C,D 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】【解答】画出函数 的大致图象如下图， 得出 ,则 ,A不符合题意,B符合题意;由图可知 ,C符合题意;因为 ,所以 ,D符合题意.则结论正确的是BCD，故答案为：BCD.【分析】先作出 的图像，再观察图像可得 ，再结合 ，求解即可.13.【答案】 C,D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：设函数 ， 则 因为 ,所以 ,故 在 上单调递减,从而 ,整理得 ， ,A不符合题意,C符合题意.当 时,若 ,因为 在 上单调递减,所以 即 ,即 .D符合题意,从而B不正确.故答案为：CD.【分析】先构造函数 ，再利用导数可得 在 上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解.三、填空题 14.【答案】【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解：因为向量 与 互相垂直,可得 ，又 ， 则 ，故答案为： .【分析】由向量模的运算 ，再将已知条件代入运算即可.15.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【解析】【解答】解：因为 ， 所以 由已知有 即 ，故答案为： .【分析】先求原函数的导函数 再利用导数的几何意义可得 得解.16.【答案】；【考点】函数单调性的性质，奇函数 【解析】【解答】解：设 ，则 ，由函数为奇函数，可得 ， 则 ，又 ，则 ，当 时， ,所以 ;当 时,设 ，则函数 为增函数，又 ，即 的解集为 ，即 的解集为 .综上 的解集为 .故答案为： .【分析】先由函数为奇函数，结合 时, ,求函数解析式即可；再分 时， 时求解不等式即可得解.17.【答案】 （1）3（2）【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】（1）解：由 ,得 , 而 ,所以 ，即 ,故 .（2）因为 ,所以 ,则 ,所以 ，从而 ，由正弦定理得 ,则 ，【分析】(1)由余弦定理可得 ，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得 ，再由正弦定理可得 ，得解.四、解答题。 18.【答案】 （1）解:由 ,得 . 因为 的面积为 ,所以 .（2）解：因为 ,可得 由余弦定理得 ,所以 ，故 的周长为 .【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】(1)由已知 ，结合正弦定理可得 ，再结合三角形的面积公式 ，将已知条件代入运算即可；(2)由 ，结合余弦定理得 ,得解.19.【答案】 （1）解： ， 由 ,得 ，又 （2）解： ， 若 ,则 ,即 ,方程无解.若 ，则 ,解得 .若 ，则 ,解得 .综上, 或 .【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【分析】(1)由 ，利用平面向量的坐标运算可得 ，再由向量的夹角公式可得 ，得解；(2)分别讨论若 , ， ，再求解即可.20.【答案】 （1）解：当某次地震释放能量约 焦耳时, ， 代入 ,得 .因为 ,所以该次地震为“破坏性地震”.（2）解：设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为 . 由题意知, ，即 ,所以 取 ,得 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的 倍.【考点】函数模型的选择与应用 【解析】【分析】(1)先阅读题意，再计算 ，即可得解；(2)结合地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 ，再求出 ，再求解即可.21.【答案】 （1）解：因为 ， 所以最小正周期 .（2）解：因为 ,所以 ， 所以 ；（3）解：设 ,因为函数 在 上为减函数， 所以要求 的单调递增区间，即求 ( ，且 )的单调递减区间,所以 的单调递增区间为 和 .【考点】函数的单调性及单调区间，二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法 【解析】【分析】(1)由二倍角的正、余弦公式可得 ，得解；(2)由（1）得 ，所以 ，得解；(3) 设 ,因为函数 在 上为减函数，所以要求 的单调递增区间，即求 ( ，且 )的单调递减区间,再求解即可.22.【答案】 （1）解：依题意可知, .假设存在实数 ,使 成立. 因为 有两个不同零点，.所以 ,解得 .由韦达定理得 所以 解得 ,而 ,故不存在.（2）解：因为 ,设 ,则 , 当 时, ;当 时, .(i)作出函数 的图象，如图所示,所以 .(ii)设直线 与此图象的最左边和最右边的交点分别为 .由 ,得 由 ,得 所以 因为 ，所以当 时， 取得最大值 .故 的最大值为 .【考点】二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数零点的判定定理 【解析】【分析】(1) .假设存在实数 满足题意，由韦达定理可得： ，解得 ,又 ，即 ，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数 的图象，观察图像即可求出 的取值范围；(ii)设直线 与此图象的最左边和最右边的交点分别为 .即 ，因为 ，代入运算可得解.23.【答案】 （1）解：函数 的定义域为 ,且 . 当 时, 对 恒成立,所以 在 上单调递增.当 时,令 ,得 ,当 时, ;当 时, .所以 在 上单调递减,在 上单调递增，.（2）解：当 时, ,从而 ,所以 在 上无零点， 当 时, ,若 ,所以 是 的零点; 若 ,所以 不是 的零点.当 时, ,所以 在 上的零点个数只需要考虑 在 上的零点个数. 在 上的零点个数 在 上实根的个数 在 上实根的个数. 令函数 ,则