福建省闽侯县2018届高三数学上学期期中试题理（PDF） (3)

页1第 福建省闽侯第六中学福建省闽侯第六中学 20182018 届高三上学期期中数学（理）考试试题届高三上学期期中数学（理）考试试题 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 1 |( )1 2 x Ax， 2 |280Bx xx，则AB （） A | 20xx B |24xxC |04xxD |2x x 2.若复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点关于y轴对称， 且 1 2zi， 则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点在 （） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3.对于直线,m n和平面, ，下列条件中能得出的是（） A,/ / ,/ /mn mnB,mnm n C/ / ,mn nmD/ / ,mn mn 4.执行下图的程序框图，如果输入1x ，则输出t的值为（） A6B 8C.10D12 5.已知 n a为等差数列， 48 336aa，则 n a的前 9 项和 9 S （） A9B 17C.36D81 6.已知函数 2 ( )2f xxx ，则函数()yfx的图象为（） 7.已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数3,3.5xy，则由该观测数据算得的线性回归 方程可能是（） 页2第 A 0.42.3yxB22.4yxC. 29.5yx D0.44.4yx 8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 （） A64B 64 3 C.16D16 3 9.D是ABC所在平面内一点，( ,)ADABACR ， 则01，01是点D在ABC 内部（不含边界）的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要 10.命题 0 :0, 4 px ， 00 sin2cos2xxa是假命题，则实数a的取值范围是（） A1a B2a C.1a D2a 11. 数列 n a满足 11 1,(1)(1) nn ananan n ，且 2 cos 3 nn n ba ，记 n S为数列 n b的前n 项和，则 24 S() A.294B.174C.470D.304 12.已知函数 lnf xaxe x与 2 ln x g x xe x 的图象有三个不同的公共点,其中e为自然对数的底数, 则实数a的取值范围为() A.ae B.1a C.aeD.3a 或1a 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.将 3 本不同的数学书和 2 本不同的语文书在书架上排成一行， 若 2 本语文书相邻排放， 则不同的排放方 案共有种 （用数字作答） 14.设 12 ,F F分别是双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，点( , )M a b，若 12 30MFF ， 则双曲线C的离心率为 页3第 15.已知函数 2 32 (22) ,0 ( ) (33),0 xax x f x xaxax x ，若曲线( )yf x在点( ,( ) iii P xf x（1,2,3i ，其中 123 ,x xx互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是 16.若数列 n a满足： 12 0,3aa，且 1 (1)(1)1 nn nanan * (,2)nNn，数列 n b满足 1 1 8 11 () 11 n nnn baa ，则数列 n b的最大项为第项 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 已知, ,a b c分别为ABC三个内角, ,A B C的对边， 3 cossin 3 baCaC （1）求A； （2）若2,4abc，求ABC的面积 18. （本小题满分 12 分） 甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为 2 3 ， 乙胜的概率为 1 3 ，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束） （1）求甲获得比赛胜利的概率； （2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望 19. （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABBC， 1 2AA ，2 2AC ，M是 1 CC的中点，P是AM 的中点，点Q在线段 1 BC上，且 1 1 3 BQQC （1）证明：/ /PQ平面ABC； （2）若直线 1 BA与平面ABM成角的正弦值为 2 15 15 ，求BAC的大小 20. （本小题满分 12 分） 页4第 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 e ，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的 三角形周长为42 2 （1）求椭圆C的方程； （2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线ym和椭圆C交于,A B两点，且直线,DA DB与y轴分别 交于,P Q两点，试探究 12 PFF和 12 QFF之间的等量关系并加以证明 21. （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln()f xxkx kR （1）当1k 时，求函数( )f x的极值点； （2）当0k 时，若( )0( ,) b f xaa bR x 恒成立，试求 1 1 a eb 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 1 1 a eb 取最大值时，设 1 ( )() a F bm mR b ，并设函数( )F x有两个 零点 12 ,x x，求证： 2 12 x xe 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD分别交,AE AB于点,F D，45ADF （1）求证：CD为ACB的平分线； （2）若ABAC，求 AC BC 的值 页5第 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为 4sin，从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线 1 C （1）求 1 C的极坐标方程； （2）已知曲线l的参数方程为 cos sin xt yt （0，t为参数，且0t ） ，l与C交于点A，l与 1 C交 于点B，且|3AB ，求a的值 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知, ,a b c均为正实数，且 222 111 1 abc （1）证明： 111 3 abc ； （2）求证： 222 444 1 abc bca 页6第 试卷答案试卷答案 一选择题 1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.B10.D11.D12.B 二填空题 13.4814.215.(-1，2)16.6 三解答题 17.解：()cossinbaCaC 3 3 CACABsinsin 3 3 cossinsin.2 分 CACACACAsinsin 3 3 cossinsincoscossin.4 分 即CACAsinsin 3 3 sincos 又0sinCAAsin 3 3 cos 即3tanA 3 A.6 分 ()Abccbacos2 222 bccbbccb3)(2 2222 .8 分 bccb2 416)( 2 cbcb，即 又由题意知4cb， 4cb.(当2cb时等式成立.).10 分 3 3 sin22 2 1 ABC S.12 分 18.解： （）设比赛局数分别为 3,4,5 时,甲获胜分别为事件 123 ,A AA， 则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得： 3 1 28 ()( ) 327 P A ， 23 23 218 ()( ) 3327 P AC, 23 34 2116 ()( ) 3381 P AC 2 （ ），.3 分 所以由互斥事件的概率加法公式可得， 甲获胜的概率为 123 881664 = ()+ ()+ ()=+= 27278181 P P AP AP A.6 分 （）由题意可知，X的取值为 3,4,5， 则 33 2191 (3)( ) +( )= 33273 P X ， 2323 33 211210 (4)( )+( ) 333327 P XCC, 222 4 218 (5)( )( ) 3327 P XC.9 分 所以，X的分布列为 X345 P1 3 10 27 8 27 页7第 X的数学期望 1108107 =3+4+5= 3272727 E X（ ）.12 分 19.证明：()取中点MC，记为点D,连结QDPD, 中点为中点，为MCDMAP PD/AC 又 1 3 1 DCCD , 1 1 3 BQQC , QD/BC 又DQDPD PQD平面/平面ABC.4 分 又PQDPQ平面 PQ/平面ABC.6 分 （） 1 ,BBBABC两两互相垂直， 建立如图所示空间直角坐标系Bxyz， 设,BCa BAb则各点的坐标分别为： 1 ( ,0,0), (0, ,0),(0, ,2),( ,0,1)C aAbAbM a， 1 (0, ,2),(0, ,0),( ,0,1)BAbBAbBMa .8 分 设平面ABM的法向量为( , , )nx y z ，则 0 0 n BA n BM , 0 0 by axz ， 取1x ，则可得平面ABM的一组法向量(1,0,)na ， 1 22 22 15 cos, 15 41 a n BA ba ，.10 分 又因为 22 8ab， 422 4120,2aaa或6（舍）. 页8第 即 6 , 2 1 22 2 sin,2 BACBACa.12 分 20.解： 2 2 a c e，ca2 22422222 2121 cccaFFMFMF 22ac，.3 分 椭圆方程为1 24 22 yx .4 分 （）90 2121 FQFFPF，.5 分 证明如下： 设),(),( 1100 yxDyxB，则),( 00 yxA , 直线BD方程为)( 1 10 10 1 xx xx yy yy ， 令0x，则 10 1010 xx xyyx y )0( 10 1010 xx xyyx Q ， 同理)0( 10 1010 xx xyyx P ，.7 分 21F PF和 21F QF均为锐角， )( tan 10 101010 1010 21 xxc xyyx c xx xyyx FPF )( tan 10 1010 21 xxc xyyx FQF )()()( tantan 2 1 2 0 2 2 1 2 0 2 1 2 0 10 1010 10 1010 2121 xxc xyyx xxc xyyx xxc xyyx FQFFPF 1 )(2 2 1 ) 2 2() 2 2( 2 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 0 xx xx xx x x x x .10 分 21F PF与 21F QF互余, 90 2121 FQFFPF.12 分 页9第 21.解：（）1k 时， 1 ( )ln( )101f xxxfxx x ，( )f x在(0,1)单调递增， 在(1,) 单调递减，故函数( )f x有唯一的极大值点1x ，无极小值点.2 分 （）0k 时，( )ln bb f xaxa xx ，设( )ln,(0) b g xxa x x ， 则 22 1 ( ) bxb g x xxx . 当0b 时，则( )0g x，所以( )g x在(0,)单调递增，又0 x 且0 x 时，( )g x 与题意矛盾， 舍. 当0b 时，则( )0g xxb，所以( )g x在( ,)b 单调递增，(0, )b单调递减， 所以 min ( )( )ln1g xg bba ，.5 分 所以 11 ln101ln11 aa baabebeb ， 故 1 1 a eb 的最大值为 1.7 分 （）由（）知，当 1 1 a eb 取最大值 1 时， 1 ln 1ln( ),(0) a b ebabF bm b b ， 记 ln ( ),(0) x F xm x x .9 分 方法一：( )0ln0F xxmx，设( )lnh xxmx，则 1 ( )h xm x ， 若0m，则( )0h x恒成立，所以函数( )h x在(0,)单调递增，与题意不符，舍. 若0m ，则 1 ( )0h xx m ，( )h x在 1 (0,) m 单调递增，在 1 (,) m 单调递减，所以若函数( )F x有 两个零点，则只需 1 ()0h m ，解得 1 0m e . 不妨设 12 xx，则 12 1 0 xx m ， 设 111 ( )()(),(0)G xhxhxx mmm ，则 11 ( )()(),G xhxhx mm 化简可得 32 22 2 ( )0 1 m x G x m x ，所以函数( )G x在 1 (0,) m 单调递增， 11 ( )(0)()()0G xGhh mm 1 0 x m 时， 11 ()()hxhx mm ， 112 2 ()()()hxh xh x m ，又因为 12 21 ,(,+x x mm ），且 函数( )h x在 1 (,) m 单调递减， 12 2 xx m ， 1212 2 2xxmxmx m ，即 12 lnln2xx， 所以 2 12 x xe成立.12 分 页10第 方法二：不妨设 12 xx，由题意 11 22 ln ln xmx xmx ， 则 2 21 121221 121 ln ln(),ln() x xx x xm xxm xxm xxx ， 欲证 2 12 xxe，只需证明： 12 ln()2xx，只需证明： 12 ()2m xx，即证： 122 211 () ln2 xxx xxx ， 即证 2 12 2 1 1 1 ln2 1 x xx x x x ，设 2 1 1 x t x ，则只需证明： 1 ln2 1 t t t ， 也就是证明： 1 ln20 1 t t t .10 分 记 1 ( )ln2,(1) 1 t u tt