高中数学第一章数列2.1等差数列(二)课件北师大版必修5.ppt

第一章数列,2.1等差数列(二),1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一等差数列通项公式的推广,已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?,答案,设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d，变形得a1am(m1)d，则ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.,思考2,由思考1可得d，d，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？,答案,等差数列通项公式可变形为andn(a1d)，其图像为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d.,梳理,等差数列an中，若公差为d，则anam(nm)d，当nm时，d.,知识点二等差数列的性质,利用1100299.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2.,思考,还记得高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？,答案,梳理,在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则amap.特别地，若mn2p，则anam2ap.,an,aq,知识点三由等差数列衍生的新数列,(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)dd2d.anan2是公差为2d的等差数列.,思考,若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？,答案,梳理,若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有,题型探究,例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式.,解答,类型一等差数列推广通项公式的应用,因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1.,灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.,反思与感悟,跟踪训练1数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nN)，若b32，b1012，则a8等于A.0B.3C.8D.11,答案,解析,bn为等差数列，设公差为d，则d2，bnb3(n3)d2n8.a8(a8a7)(a7a6)(a6a5)(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)a1b7b6b1a1(b7b1)(b6b2)(b5b3)b4a17b4a17033.,类型二等差数列与一次函数的关系,例2已知数列an的通项公式anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？,取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列.由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.,解答,反思与感悟,判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)从递推公式上看，an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)从任意连续三项关系上看，2an1anan2(nN)an是等差数列；(3)从通项公式代数特点上看，anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如：其中某连续三项不成等差数列；存在nN，an1an的结果不等于同一个常数等.,跟踪训练2若数列an满足a115,3an13an2，则使akak10的k值为_.,答案,解析,23,类型三等差数列性质的应用,例3已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式.,解答,方法一因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.,方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5，由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(a1d)5(52d)45，即(a1d)(52d)9，,解，组成的方程组，得a11，d2或a111，d2，an12(n1)2n3或an112(n1)2n13.,引申探究1.在例3中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN，是否有amanapaqaras?,解答,设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.,2.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.,a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.,答案,解析,20,反思与感悟,解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.,跟踪训练3在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值.,解答,方法一(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列.a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.,方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33.a14d11，,a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.,当堂训练,1.等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于A.3B.6C.4D.3,答案,解析,1,2,3,由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.,答案,解析,1,2,3,2.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于A.32B.32C.35D.35,由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.,1,2,3,答案,解析,3.等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于A.3B.3C.D.,规律与方法,1.在等差数列an中，当mn时，d，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.2.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.,3.等差数列an