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文档简介

问题：一只猫观察到一老鼠洞共有三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个出口？【回答】：从顾及到老鼠三个出口时的情况，猫都能迅速出击，这只猫应蹲在到三个出口距离相等的点，这点为由三个出口为顶点构成三角形的外心。评析：上述回答错误。“回答”中只考虑猫到三个出口距离相等，而没有考虑猫到三个洞口的距离最短。请看下图，显然不应该是ABC的外心O。从猫最省力地顾及到三个出口考虑，设三个出口为A、B、C，（1）、当ABC为等边三角形时，猫应该蹲在ABC的外心O点（此时外心与费马点重合）；（2）、当ABC中三个内角都小于1200时，猫应该蹲在到三个出口距离之和最短的点，即猫应该蹲在费马点。（3）、当ABC中有一个内角大于或等于1200时，猫应该蹲在钝角的顶点上。关于费马点：1、费马点定义：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。2、如何求一个三角形的费马点：当一个三角形的最大角小于1200时，以每一个边向形外做等边三角形，连结该等边三角形的顶点和该边的对角顶点，三条连线的交点P就是费马点。3、点P是ABC的费马点，则点P到三个顶点A、B、C的距离之和最短。（1）、由下图说明，费马点对边的张角为1200。 （2）、PA+PB+PC=BB 将APC以点C为旋转中心旋转600与BDC重合，连结PD，则PDC为等边三角形，所以CPD=600又BPC=1200，因此B、P、D三点在同一直线上，又APC=1200，所以B、P、D、B四点在同一直线上，故PA+PB+PC=BB。（3）、PA+PB+PC最短 在ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将AMC以点C为旋转中心旋转600与BGC重合，连结BM、GM、BG(同上)，则BBBG+GM+MB
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