高中数学备课参考数学通报问题解答0108pdf

数学问题解答 2001年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1321 实数a , b , cR ,满足不等式| b + c | 2| a | , | c + a |2| b | , | a + b |2| c | ,求 证: a = b = c. (江西南昌大学附中 宋庆 黄伟民 330029) 证明 ( b + c) 2 4a2, 4a2-b2- c2-2bc0, 同理可得4b2- c2-a2-2ca0, 4c2-a2-b2-2ab0, 以上三式相加,可得 2a2+2b2+2c2-2bc -2ca -2ab0, ( a - b) 2 + ( b - c) 2 + ( c - a) 2 0, ( a - b) 2 + ( b - c) 2 + ( c - a) 2 =0, a -b = b - c = c -a =0, a = b = c. 1322 锐角 ABC,A、 B、 C的对边长分别 为a、b、c.延长AB到Q ,使BQ = a、 延长BA到P 使PA = b;延长BC到H使CH = b、 延长CB到 G使BG = c;延长CA到M使MA = c、 延长AC到 N使CN = a.直线GQ、HN、MP交成 ABC.记 ABC与 ABC 的面积分别为 与 , 1)求证: 25; 2)用a , b , c表示 . (山东章丘市 井镇中心中学 250220) 解 如图,显然, ABC? HNC? GBQ ?AMP且AGH、 BMN、 CPQ为底边长a + b + c ,底角分别为 A、 B、 C的等腰三角形.易 得 SAGH= 1 4 ( a + b + c) 2tgA , SBMN= 1 4 ( a + b + c) 2tgB , SCPQ= 1 4 ( a + b + c) 2tgC. 从而 SABC= SAGH+ SBMN+ SCPQ-2SABC = 1 4 ( a + b + c) 2(tgA + tgB +tgC) - 2SABC = 1 4 ( a + b + c) 2tgA tgBtgC - 2SABC 即 = 1 4 ( a + b + c) 2tgA tgBtgC -2(3) 11 由(3)式及熟知的三角不等式 ( a + b + c) 2 12 3 tgAtgBtgC3 3 得 1 4 12 33 3-2=25 所以 25. 21 易得tgA = 4 b2+ c2-a2 , tgB = 4 c2+ a2-b2 , tgC = 4 a2+ b2- c2 . 从而由(3)式得 = 1 4 ( a + b + c) 2 64 3 ( a 2 + b2- c2 ) ( b 2 + c2- a2 ) (c 2 + a2- b2) -2, 进而 = 16 2( a + b + c)2 ( a 2 + b2- c2 ) ( b 2 + c2- a2 ) (c 2 + a2- b2) -2 由海伦公式,得 16 2 = ( a + b + c) ( a + b - c) ( b + c - a) ( c + a - b) 于是 = ( a + b - c) ( b + c -a) ( c + a -b) ( a + b + c) 3 ( a 2 + b2- c2 ) ( b 2 + c2-a2 ) ( c 2 + a2-b2) -2. 1323 三棱锥D - ABC中, AD = a , BD = b , AB = CD = c ,且 DAB +BAC +DAC =180, DBA +ABC +DBC =180.求异面直线AD 与BC所成的角. 642001年 第8期 数学通报 (湖北省黄石二中 杨志明 435000) 图1 解 将三棱锥D - ABC侧面沿各条侧棱剪开 后展在底面所在的平面上. 如图1所示 D1AB +BAC +D2AC =180 D1、A、D2三点共 线 D1BA +ABC +D3BC =180 D1、B、D3三点共线 AD1= AD2, BD1= BD3 AB是 D1D2D3的中位线 D2D3=2AB =2c 而 CD2= CD3= c CD2+ CD3= D2D3 D2、C、D3三点共线 ABD1? BCD3? ACD2 AD = BC = a , BD = AC = b , 又 AB = CD = c 三棱锥D - ABC是等腰三棱锥. 将等腰三棱锥D - ABC放入如图2所示的长 方体中,设长方体的长、 宽、 高分别为x、y、z ,则 图2 x2+ y2= a2 (1) y2+ z2= b2 (2) z2+ x2= c2 (3) (1) + (2) + (3)得 x2+ y2+ z2= 1 2 ( a 2 + b2+ c2)(4) (4) - (1)、(4) - (2)、(4) - (3)得 x = 1 2 2 ( a 2 + b2- c2) y = 1 2 2 ( c 2 + a2-b2) z = 1 2 2 ( b 2 + c2-a2) cosAOC = a 2 2 + a 2 2 - 1 2 2 ( a 2 + b2- c2) 2 /2 a 2 2 = c2-b2 a2 异 面 直 线AD与BC所 成 的 角 是 arccos | b2- c2| a2 1324 已知n是一个使1+23+33+ n3不能 被5整除的自然数,试求1+22+32+ n2除 以5所得的余数. (湖北洪湖市第三中学 廖明村 433218) 解 S =1+23+33+ n3 = n2 ( n + 1) 2 4 (其中SN) , 当n =5t、5t -1 ( t N) 时,则n2( n +1) 2必 为5的倍数. 因为SN ,又S的表达式中分母不能被5 整除,于是当n =5t、5t -1时,和S必为5的倍 数,亦即,当S =1+23+33+ n3不能被5整 除时,则n一定可以写成5t -2或5t -3或5t - 4形式的数,此时 1+22+32+ n2= n( n +1) (2n +1) 6 可以化为 S1= (5t -2) (5t -1) (10t -3) 6 ( t N) 或者 S2= (5t -3) (5t -2) (10t -5) 6 ( t N) 或者 S3= (5t -4) (5t -3) (10t -7) 6 ( t N) 显见S2= (5t -3) (5t -2) (10t -5) 6 = 5(5t -3) (5t -2) (2t -1) 6 除以5所得的余数为0. 而S1= (5t -2) (5t -1) (10t -3) 6 = 250t3-225t2+65t -6 6 742001年 第8期 数学通报 = 5(50t3-45t2+13t -6) 6 +4 此处50t3-45t2+13t -6能被6整除,由数 学归纳法证明之. 令t =1时,50t3-45t2+13t -6=12能被 6整除. 设当t = k时,50t3-45t2+13t -6能被6整 除,则当t = k +1时, 50( k +1) 3 -45( k +1) 2 +13( k +1 ) - 6 =50k3-45k2+13k -6+6(25k2+40k +3) 能被6整除.于是得证. 故和S1,被5除所得的余数为4. 进而S3= (5t -4) (5t -3) (10t -7) 6 = 250t3-525t2+365t -84 6 = 5(50t3-105t2+73t -18) 6 +1 由数学归纳法亦可证得 50t3-105t2+73t -18 能被6整除. 故和S3被5除所得的余数为1. 则有1+23+33+ n3不能被5整除的自 然数n =5t -2、5t -3、5t -4 ( t N) 时,使1+ 22+32+ n2除以5所得的余数分别为4、0、1. 1325 设aiR + ( i =1,2, n , n3 ) , 且满足 a1a2an=1; -1或 n -2 2 .求证: a2a3an a 2+ a 3+ a n+ a2a3an + a1a3an a 1+ a 3+ a n+ a1a3an + + a1a2an-1 a 1+ a 2+ a n-1+ a1a2an-1 1 (浙江湖州市双林中学 李建潮 沈永荣 313012) 证明 -1或 n -2 2 (+1 ) 2- ( n -2 ) 0 根据a , b 0,满足 0时的不等式 a + + b + a b + a b知 ,对任何2i 0, n 0, 0, 2 .求证: msec+ ncsc m 2 3+ n 2 3 3 2. (江苏省灌云县中学 朱兆和 222200) 1327 P在 正ABC内,PAB+PBC + PCA =90,试确定P点的几何位置,并说明理 由. (安徽怀宁江镇中学 黄全福 246142) 1328 已知: a , b , cR + ,且abc ,证明: a + b 2b + b + c 2c + c + a 2a 2b a + b + 2c b + c + 2a a + c (安徽省肥西师范学校 万家练 231200) 1329 设数列an= xn+