高中数学备课参考数学通报问题解答0212pdf

数学问题解答 2002年11月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1401 邮局发行一套四种不同面值的邮票各1张 (面值为正整数 ) , 如果每封信允许贴邮票张数不 超过3,存在正整数R ,使得用不超过三枚邮票,其 和可以形成连续整数1,2,3, R ,找出这四种面 值数,使得R值最大,并把结果推广. (山东省青岛市四方区鞍山五路27号楼二单 元702 王大鹏 266000) 解 从四种邮票中选取不超过三张的取法: 共有= C14+ C24+ C34=4+6+4=14(种) 那么 R14. 设四种邮票的面值分别是a , b , c , d. ( N) . 且 a b c d. 所以 a =1, b =2. 又 a + b =3,而4=0+4=1+3=2+ 2. 为使R尽量大且b =2 c 应取c =4. 这样 a + c =5, b + c =6, a + b + c =7. 又知 8=0+8=1+7=2+6= 同理可知 应取d =8. 所以 a + d =9, b + d =10, a + b + d = 11, c + d =12, a + c + d =13, b + c + d =14. 综上所述,四种邮票的面值分别为1,2,4,8. R =14. 引申:将 “四种不同面值”改为 “n种不同面 值”.将 “每封信所贴邮票张不超过三张” 改为 “n -1张”.与之对应的R值记作Rn ( n 2) 所以 R4=14,可以得到这个递推公式: Rn+1= Rn+ ( Rn+2)Rn+1=2Rn+2 Rn+1+2=2 ( R n+2) Rn= ( R4+2)2 n-4 -2=162 n-4 -2=2 n -2 ( n 2) 1402 设0i 4 ( i =1,2, n) ,且 n i =1 tani = n -2 ( n 3, nN) ,求证 n i =1 tani+ 4 ( n - 1) n (江西省遂川中学 方小连 343900) 解 令tani= ai,则00 所以x -5=0, x =5. 即AB = c =x =5= HC. ABD CHD , AD = CD c =45, 此时 AHE =BHD =C =45,HE = 2 2 , HD =1. 所以SHAC= HE BE SABC= 1 3 SABC; SHBC= HD AD SABC= 1 2 SABC; SHAB=1- 1 3 - 1 2 SABC = 1 6 SABC 所以SHABSHACSHBC = 1 6 1 3 1 2 =123 1405 在半径为1 ,圆心角为0 2 的 扇形铁皮中剪取一块面积尽可能大的正方形,有 甲乙两种方案(见图 ) , 按哪种方案剪出的正方形 面积较大?为什么? (江 苏 如 皋 市 教 师 进 修 学 校 徐 道 226500) 解 当0 6 时,按乙种方案剪取所得 的正方形面积较大;当= 6 时,两种方案剪取 所得正方形的面积相等;当 6 0,故1-2sinx 0即sin 1 2 ,亦即0 0;1-2sin=0即 = 6 时 , ( 3 ) = 0;1-2sin0,即 6 2 时 , ( 3 ) 0. 所以当0 6 时, x2 x 2; = 6 时, x2= x 2; 6 x 2. 2002年12月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1406 已知ADCE为半 圆,B为直径AE内一点 (见图) , AD = FC, DE = CG, BE = HG, ALFG. 求证: KBAC. (山东省诸城市第一 中学 初宗升 262200) 1407 ABC内接于 O ,AF平分 BAC, AF交 BC于D ,交BC于F,AEAF. AE交BC所在直线 于E,设BC = a , AC = b ,AB = c.求BE长. (四川省达县县委党校 王善鑫 635000) 1408 半径为R的 O1 内切于半径为R的 O于 D ,ABC内 接 于O , AB , AC分别切 O1于P, Q点, AO1与PQ交于M. (见图) 1)求证:M为 ABC 的内心; 2)当A在 O上运动时,求M的轨迹. (江苏丹阳市教研室 戎健君 212300) 1409 如图,ABC内 接于 O ,弦EF BC, EA , FA的延长线 与BC的延长线交于 P、Q ,求证: APAQ =BPBQCPCQ - ABAC (北京市朝阳区教研中心 郭璋 100028) 1410 把 ABC平移,再旋转(顺时针、