高中数学帕斯卡定理及其应用素材pdf

2 0 1 0年第 3期 5 帕斯卡定理及其应用 沈 文 选 ( 湖南师范大学数学奥林匹克研究所 ， 4 1 0 0 8 1 ) 中圈分类号： 0 1 2 3 1 文献标识码： A 文章编号： 1 0 0 5 - 6 4 1 6 ( 2 0 1 0 ) 0 3- 0 0 0 5 一 o 5 ( 本讲适合高中) 帕斯卡定理 设 六边形 A B C D E F内接 于圆( 与顶点 次序无关 ， 即 A B C D E F无需 为 凸六边形 ) ， 直线 A B与 D E交于点 ， 直线 C D与 F A交于点 z， 直线 E F与 B C交 于点 则 、 y 、 z三点共线 将直线 X Y Z称做帕斯卡线 在此 定 理 中，当 内 接 于 圆 的 六 边 形 A B C D E F的六个顶点改变字母顺序 ， 两两 取 对边 A B与 D E、 B C与 E F、 C D与 A F共有 6 0 种不同的情形 ， 相应有 6 0条帕斯卡线 当六边形中有两个顶点重合 ， 即对于内接 于圆的五边形， 亦有结论成立 在圆内接五边 形 ( B) C D E F中， 点 A ( 与 B重合) 处的切 线与 D E的交点 X、 B C 与F E的交点 Y 、 C D与 A F的交点 z三点 共 线 ， 如图 1 当六边形变为四 图l 边形 A B( c ) D E( F) 或 A( B) C( D) 等时， 如图 2 ， 结论仍成立 图 2 收稿 日期 ： 2 0 0 91 1 2 3 当 六 边 形 变 为 A ( 日) C ( D) E ( F ) 时， 三 组 边 A B、 C D、 E F变为点， 如图 3 ， 结 论仍成立 此时 ， 三点 所共的线称为勒穆瓦 纳( L e mo i n e ) 线 下面从 四个方面列 例子 1 已知六点共圆 例 1 如图4， 过 A B C的顶点 A 、 B、 c各作一直线使之交 于一点 P， 而分别 交 A B C的外 接 圆于 A 、 B 、 C 又在外 接 圆上任 取_ 点 Q， 则 Q A 、 Q B 、 Q c 与 B C 、 图4 C A、 A B对应的交点 、 z、 y三点共线 证明在圆内接六边形 B C A A Q B 中， 其 三组对边 B C与 A Q、 C A与 Q B 、 A A 与 曰 B 的交点分别为 、 Z、 P 由帕斯卡定理知 P、 X、 Z三点共线 在圆内接六边形 C B A A Q C 中， 其三组对 边 C B与 A Q、 B A与 Q C 、 A A 与 C C的交点 分别为 、 Y 、 P 由帕斯卡定理知 P、 Y 、 X三点共线 故 、 Z 、 y三点共线 例 2 已知 A B C为确定的三角形 ， A 、 ，、C 分 别 为边 B C 、 C A 、 A B 的 中点， P 为 一簿 6 中 等 数 学 A c 外接 圆上的动 点， P A P B 、 P c 分别 与 A B C的外接圆交于另外的点 、 、 c 若 A、 B、 C 、 A 、 、 C 是不同的点 ， 则直线 A A 、 B B 、 C C 交出一个三角形 证明： 这个三角形 的面积不依赖于点 l 】 ( 第 4 8届 I MO预选题) 证明如图 5 ， 设 A 。 、 。 、 是直线 、 B B 、 C C 交出的三角形的三个顶点 下 面证 明 ： s ： ， 一 L 由 此 可 得 A 。 c 0 的面积 不依赖于点 P的 选 取 图5 注意到图中的圆内接六边形 A B C C ， 由帕斯卡定理知三组对边 A B与 C P、 B C与 、c C 与 以 的交点 C 、 A 、 B 0 三点共线， 即知点 在 A B C的中位线 A C 。 上。 同理 ， 点 A 。 、 分 别在直线 B 。 C 、 A 。 B ， 上 由4 c c 1 A l B o C 0 A l c ? z A C o B 1 。风C o A 1 C o AC0 B1 C0 同理， 由B C C ： B 1 A 1 C o = BC o 从而 ， B o C o ： BCo考日 。 B L 4 。 故s 0 c 0 ： s c 。 = 寺Is 佃 c 2 构造六点共圆 例 3 设与 A B C的外接圆内切并与边 A B、 A C相切的圆为 C 。 ， 记 r 。 为圆 C 。 的半径 ， 类似地定义 r 、 ， r 是 A B C的内切圆半径 证 明 ： r 。 + + r c 4 r L ( 第2 0 届伊朗数学奥林匹克( 第三轮) ) 证 明 如 图 6， 设 圆 与 A B、 A C 、 A B C的外接 圆分 别切 于点 D、 E、 F， 设 、 分 别 为 弧 A B、 A C的 中点 ， ，为 A A B C 的内心 此时， 点 F为圆 与A A B C的外接 图6 C 圆的位似中心， 且过 的切线平行于 B A ， 因 而， 、 为一组对应点 于是， F 、 D、 三点 共线 ( 也可设直线 F D交 A B C的外接 圆于 、 点 ， 则证得 朋为弧B A的中点) 同理 ， F 、 E、 v 三点共线 而 B N、 C M分别 为 A B C、 的平 分线 ， 则知其交点为 注意到圆内接六边形 A B N F MC ， 由帕斯 卡定理知 D、 ， 、 E三点共线 记圆 C 。 的圆心为 0 。 由 D E上 A ， ， 有 r 。AO。AO。 AD 1 r AI AD AI 一 2 A c0 A 由 t an 一 t an 导 ta n 导 t an 一 B C an a“ 啪 害 ta n 譬 + ta n 詈 n 导 + 协 导 岫 故 + + r r r = = = A+ 。= = = B+ C 2 2 。 2 c0 c0 co =3 +t a n 2 A+t a n 2 B+t a n 2 C =3 +t a n A t an导 + t a n 导 ta n + r 上 一 ， 理 司 2 0 1 0年第 3期 7 啪 导 - 胁 + 吉 【 ( A t舳 罢 ) + 啪 虿 。 胁 + 【 【 一 J + ( ta n 导 - ta n C ) + ( ta n 詈 一 ta n 拿 ) 】 l 协 n + l a n 一 锄 J J 4 因此 ， r 。 +r 6 + r 4 r 例 4 凸四边形 A B C D内接于圆厂， 与边 B C相交 的一 个 圆与 圆 J r 内切， 且分 另 与 B D、 A C切于点 P、 Q 求证 ： A B C的内心与 D B C的内心皆在直线 P Q上 ( 2 0 0 7， 国家集训 队测试 ) 证明 如 图 7 ， 设 圆 厂 的圆 心为 0， 与 B C相交且与圆 厂相内切 的 圆 的圆心为 0 ， ， 切 点为 显 然 ，0、 0 ， 、 T 三 点 共 线 设 D B与 c 4 交于点 ， 直线 交 C D于 点 图7 尺， 直线 豫 交o0于点 F， C T交o0 于点 ， 直线 T P交 o 0于 点 E， D T与 o 0 ，交 于 M 此时， 存在一个 以点 7 1 为位似中心的位 似变 换， 使 得 o0 。变为 O 0 因此 ， C， ? 、 ，一D， P E， 直线 B D变为过点 E且平行 于 B D的00的切线 所以， E为弧B D的中点 T M T C Dpz DN DT D 由丽 ： C Q C T 。 、 对 C D H及截线 尺 Q P应用梅涅劳斯定 理有 C R D P 1 1 0， 一一=l R D P H q c j C 。 R n： j R D 又 嚣= = 凡 R D s 孵 一 D F D T 由式、 、 知-6u - 。 = 1 ， 即 F是弧c D 的 ， F 中点 显然， B C D的 内心 ，为 C E与 B F的 交点 注意到圆内接六边形 E T F B D C， 由帕斯卡 定理知 P 、 ， 、 尺三点共线 所以， B D C的内心 ， 在 Jp Q上 同理， A B C的内心 ， 也在 P Q上 3 证明六点共圆 例 5 如图 8 ， 点 P在 A B C的内部， 尸 在边 B C、 C A、 A B上 的 射影分别 为 D、 、 F， 过点 分 别 作 直 线 、C P的垂 线， 垂足 分 别 为 、 求 证： ME 、 N F、 B C三 线 共 点 A 图 8 ( 2 0 0 5 ， 国家集训队测试) 证 明由题设有 AEP= AFP = AMP = ANP =9 0。 从而 ， 点 A 、 N、 F、 P、 E、 M都在以 A P为直 径的圆上 于是 ， 对于圆内接六边形 A F N P ME， 它的 三组对边A F与 P M、 刖 与 M E、 N P与 E A的交 点分别为 B、 Q、 C 由帕斯卡定理知 B、 Q、 c三点共线 则点 Q在 B C上 故 ME、 F、 B C三线共点 例 6 已知 A B C为锐角三角形 ， 以A B 为直径的oK分别交 A C 、 B C于点 P、 Q 分别 过点 A、 Q作o 的两条切线交于点 R， 分别过 点 B、 P作OK的两条切线交于点 S 证明： 点 C在线段 上 8 中 等 数 学 ( 2 O O 2 ， 澳大利亚国家数学竞赛) 证明如图 9 ， 设 R Q与 P S 、 A C与 R K 、 B C与 分别交于点 、l ， 、 ， 联结 P K、 W K、 Q K、 W N、 时 、 则 Y KW A = Y K Q一 W K Q = ( 删 一 P 印 ) = A K P 图 9 = ABP = 1 8 0。一 APS = Y PW 由此 ， Y 、 P 、 K 、 W四点共 圆 又 P S是oK的切线 ， 则 KYW = WPK =9 0。 同理 ， K NW= K Q W= 9 0 。 因此 ， 点 P、 Y 、 N、 Q在以 K W为直径的圆 上 ， 即 、 Y 、 P、 K 、 Q、 N六点共 圆 在圆内接六边形 K Y P W Q N中， 应用帕斯 卡定理 知， 三 组对边 K Y与 QW、 P 】 ， 与 Q N、 PW与 K N的交点 R、 C、 S共线 故点 C在线段 R S上 4其他特殊情形 例 7 在 R t A B C中， A= 9 0 。 ， B C， 0是 A B C的外接 圆的圆心 ， 、 是o0的两条切线 ， 切点分别为 A、 曰 设 B C 与 交于点 S ， A C与 交于点 D， A B与 D S 交于点 E， C E与 交于点 又设 P是 2 上 的点， 且使得 E P上 ， Q( Qc ) 是 c P与 o0的交点， R是 Q 与 o0 的交点 ， 令 B R 与 Z 交于点 证明 ： 一 3 TU T P T A ( 第 1 8届韩国数学奥林匹克) 证明如图 1 0 ， 设 B A的延长线与过点 C的o0的切线交于点 E 对 A B C 应用 帕斯 卡定 理知 S 、 D、 E 三P 点共 线 从 而 ， 点 与 E 重 合 因此 ， 点 尺、 Q的位置如图 l 0 所示 图 l 0 由切割线定理有 T A =T R r Q S A =S B S C s 一 s B s C 一 T R r Q 设 与 B C交于点 对 T X S及截线 R B U 、 P C Q分别应用梅涅劳斯定理有 一XR 塑 一 1 一 1 RT US B Xl oT P s cx一 由上述三式及相交弦定理得 X R X Q= X B X C s U S P X R S B X Q S C 蚁 而 而 丽 。 ： x R x Q ： 一 S A 2 T R r Q X B X C T A 。 练 习 题 1 在 A B C中， 有一圆内切于 A B C的 外接圆， 且与 A B、 A C分别切于点 P、 Q 证明： P Q的中点是 A B C的内切圆圆心 ( 根据第 2 0届 I MO试题改编) 提示 ： 设 D为两 圆公切点 ， 直线 D P、 D Q 分别交外 接 圆于点 、 H 对 圆 内接六 边形 A B H D K C 应用帕斯卡定理知， 三组对边 A B与 D K、 B H与 K C 、 D H与 A C的交点 P、 I 、 Q三点 共线 再证 ， 为其内心 2 设凸四边形 A B C D的外接圆和内切 圆 的圆心分别为 0、 ， ， 对角线 A C 、 B D交于点 证明： 0、 I 、 P三点共线 ( 2 o o 5 ， 捷克一波兰一斯洛伐克数学竞赛) 提示： 设 ， 、 、 、 的延长线分别交 2 0 1 0年第 3期 9 00 于点 E、 ，、 C、 M 设 E B与 C H交 于点 对 圆内接六边形 A C H D B E、 G C H F B E分别应 用帕斯卡定理知 P、 、 ， 及 0、 X、 ， 分 别三点 共线 3 凸 四边 形 A 曰 c D的外接 圆的圆心为 0， 已知 A C #B D， A C与 B D交于点 若 P为 四边形 A B C D内部一点 ， 使得 P A B+ = 配 十 ) c=9 o 求证： 0 、 P、 E三点共线 ( 第 9届香港数学奥林匹克) 提示： 延长 A P、 B P、 C P、 D P分 别交外接 圆于点 A 、 B 、 C 、 D 由 9 0 。 = P A B+ P C B 1 1 1 = A 0 十 c 伽 ： A D c 知 A C 是外接圆的直径 同理 ， B D 也是其直径 对圆内接六边形 B B A C C D应用帕斯卡 定理知三组对边 B B 与 C C 、 B A与 C D、 A C 与 B D的交点 P、 Q、 E三点共线 ； 又对 圆内接 六边形 A A C D D B 应用帕斯卡定理知三组 对边 A A 与 D D 、 A C 与 D 、 C D与 曰 A的 交点 P、 0、 Q三点共线 4 。 在等腰 R t A BC中， A= 9 0 。 ， A B= 1 ， D为 B C的中点 ， E、 F为 B C上另两点 ， 为 A D E的外接圆和A A B F的外接圆的另 一 个交点 ， 为直线 A F与A A C E的外接圆 的另一个交点 ， P为直线 A D与 A MN的外 接圆的另一个交点 求 A P的长度 提示： 以点 A为反演 中心 、 r =1为反 演 变换基圆的半径 用 表点 的像 则 点 B、 F、 D、 E、 C在一条直线上 铮点 A、 B 、 F 、 D 、 E 、 C 在同一圆上， M 为 A D E的外接 圆与 A B F的外接 圆的一个交点甘D E 与 ， 交于点 肘 ， A F与 A C E外接圆的另一交点为 |Iv 甘 A F 与G E 交于点 ， A D与 A M N外接圆的另一交点为 P 甘 A D 与 ， v 交于点 P 设 c 与 A D 交于点 O 对圆内接六边形 A ， C E D 应用 帕斯卡定理知三组对边 A F。 与 C E 、 F 曰 与 D E 、 C 与 A D 的交点 、 、 O 三点共线 又 P 是 M 与 A D 的交点， 则 P= 0 ， 即点 P 在直线 B C 上 由反演性质可导出 、曰、 P、 C四点共圆 = AD DP =BD DC j AD