高中数学备课参考数学通报问题解答0707pdf

64 数学问题解答 2007年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1676 已知G是 ABC的中线A D上异于A , D的 一点,B G, C G的延长线分别交A C, AB于E , F.求 使不等式 SB GF+ SC GEkSABC恒成立的k的最小值. (江西省宜丰中学 龚浩生 336300) 解 设AGAD =, (01)则: AGGD =(1- ) , 易得A FFB = AE EC = 2(1- ) . 所以BFAB = CEAC =2(1-)(2- ) , 所以SBGF= SCGE= 2(1-) 2- SABG = 2(1-) 2- SABD = 2(1-) 2- 1 2 SABC = - 2 2-S ABC, 所以SBGF+ SCGE= 2(- 2) 2- SABC. 易知,所求k的最小值就是2(- 2) 2- 的最大 值. 因为 - 2 2- =+1- 2 2- =3 - ( 2-+ 2 2- ) 3-2 2, 当且仅当2-=2,=2-2时,上式取等 号. 所以所求k的最小值是6-4 2. 1677 已知函数f ( x) = 2 x 2 x +1 , abc, 求证:f ( a - b) + f ( b - c) + f (c - a) 3 2 . (江苏泰州市第四中学高 中部 陈稳 胜 225300) 证明 (1)对任意实数m,有f ( m) + f ( - m) = 2 m 2 m +1 + 2 - m 2 - m +1 = 2 m 2 m +1 + 1 2 m +1 =1. (2)对m0, n0,有 2 m+n +2 - m -2 n -1 =2 n(2m -1 ) - 2 - m(2m -1) = ( 2 n -2 - m) (2m -1)0. 即对m0, n0,有2 m+n +2 - m 2 n +1. (3)令k = c - a, m = c - b, n = k - m = b - a, 根据题意k, m, n0, f (c - a) - f (c - b) = f ( k) - f ( m) = 2 k 2 k +1 - 2 m 2 m +1 = 2 k -2 m 2 m + k +2 m +2 k +1 = 2 m(2k - m -1) 2 2m+n +2 m +2 m + n +1 = 2 n -1 2 m+n +2 - m +2 n +1 , 由 得,上式 2 n -1 2(2 n +1) = 2 n 2 n +1 - 1 2 = f ( b - a) - 1 2 , 所以f (c - a)f (c - b) + f (b - a) - 1 2 . 结合 、 得 f ( a - b) + f ( b - c) + f (c - a) f ( a - b) + f (b - c) + f (c - b) + f ( b - a) - 1 2 =1+1- 1 2 = 3 2 . 1678 求lim n 1+ 1 2 + 1 3 + 1 n n . 数学通报2007年 第46卷 第7期 (江苏响水中学 魏立国 224600) 解 首先求证2n -3+ 1 n 1+ 1 2 + 1 3 + + 1 n 2( n +1 ) ( n 2 ) . 分两阶段证明: (1)求证:2n -3+ 1 n 1+ 1 2 + 1 3 + 1 n . 证明 n =2时,2 2-3+ 1 2 1+ 1 2 . 假设n = k时成立, 即:2k -3+ 1 k 1+ 1 2 + 1 k , 2k -3+ 1 k + 1 k +1 1+ 1 2 + 1 k + 1 k +1 , 因为 2k k +1+k , 所以 2 k +1+k 1 k , 所以 2(k +1-k) 1 k . 所以 2k +1-3+ 1 k +1 2k -3+ 1 k + 1 k +1 . 因为 2k -3+ 1 k + 1 k +1 1+ 1 2 + 1 k + 1 k +1 , 所以 2k +1-3+ 1 k +1 1+ 1 2 + 1 k +1 , 所以 当n = k +1时成立, 由 可知命题为真. (2)求证:1+ 1 2 + 1 3 + 1 n 2( n +1 ) . 证明 n =2时,1+ 1 2 2(2+1 ) . 假设n = k时成立, 即:1+ 1 2 + 1 3 + 1 k 1 k +1 , 2(k +1-k) 1 k +1 , 2k +12k + 1 k +1 , 2(k +1+1 ) 2( k +1 ) + 1 k +1 因为 1+ 1 2 + 1 k + 1 k +1 2( k +1) + 1 k +1 , 所以1+ 1 2 + 1 k + 1 k +1 2(k +1 +1 ) , 所以当n = k +1时成立. 由 可知命题为真. (3)由(1) (2)可 知: 2n -3+ 1 n n 2 2, 所以 bcb 2 + c 2 - a 2 + cac 2 + a 2 - b 2 + aba 2 + b 2 - c 2 2 2abc. 2007年7月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1681 设x + y + z1.求证: ( x + y) 4 + ( y + z) 4 + ( z + x) 4 + ( x - y) 4 + ( y - z) 4 + ( z - x) 4 4 9 . (江苏宿迁中学 陈炳堂 223800) 1682 设a,b,c 0, nN+, f ( n) = n a n + b n + c n 3 ,求证:f ( n +1)f ( n) . (宁波市甬江职高 邵剑波 315000) 1683 在 ?ABCD中,过A ,B , C三点作圆交BD于 E,过B , C, D三点作圆交CA延长线于F ,求证:BD BE = ACCF. (重庆市合川太和中学 袁安全 401555) 1684 若,0,且+= 2 ,求证: sin+sin+sin cos2+cos2+cos2 2(sinsin+sinsin+sinsin ) . (湖 北 省 谷 城 县 第 三 高 级 中 学 贺 斌 441700) 1685 若 ABC三边长a ,b,c,三条内角平分线长 ta,tb,tc,外接圆半径R,内切圆半径r. 求证: bc t