河南洛阳第一高级中学高三数学考前押题卷理

河南省洛阳市第一高级中学2019届高三数学考前押题卷 理考试时间：2019 年 5 月 30 日 15：0017:00 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A = x x 2 - 2x - 3 0， B = x -2 x 0, b 0) 的一条渐近线过点 (2, 3) ，则该双曲线的离心率为（）A. 12a2 b2B.2C. 72D. 725.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： cm3 ）是（）A.p + 32B.p + 12C. 3p + 12D. 3p + 326.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A.12 种B.18 种C .24 种D.36 种7.在如图所示的流程图中，若输入 a, b, c 的值分别为 2，4，5，则输出的 x = （）A.1B.2C.lg 2D.108.将函数 f ( x) = 2 sin(2x +p) 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，3p纵坐标不变，再将所得图象向左平移12个单位得到函数 g ( x) 的图象，在g ( x) 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）A.x = p12B.x = p4C.x = 5p24x2 y 2D.x = - p24o9.设 F1 , F2 是椭圆 C :+ = 1 的两个焦点，若 C 上存在点 P 满足 F1PF2 = 1203m，则 m 的取值范围是（）A. (0,1 U 12, +)B.(0, 3 U 2 3, +)2C.(0, 3 U 2 3, +)4D.(0, 3 U 12, +)410.甲、乙两艘轮船都要在某一泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达，则这两艘船中至少 有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A. 916B. 12C . 716D. 1162p11.在三棱柱 ABC - A1 B1C1 中， AB = AC = AA1 = 2 2 , BAC =接球的体积为（）， AA1 平面 ABC ，则该三棱柱的外3A.40pB.40 10p1C . 40p3D. 40 10p312. 已知函数 f ( x) = x(a -) ，曲线 y = f (x) 上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，ex则实数 a 的取值范围是 （）A.(- 1 , 0)e2B.(-e2 , 0)C.(- 1 ,+)e2D.(-e2 , +)二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 x - 1 013.若 x, y 满足约束条件 x - y 0，则 x + y - 4 0yx + 1的最小值为 .14.在 DABC 中， M 是 BC 的中点， AM = 3, BC = 8 ，则 AB AC = .15.已知 (3x + 1)( x - a)6 的展开式中 x5 的系数为 3 ，则实数 a = .16.在 DABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 bc = 1 ，b + 2c cos A = 0 ，则当角 B 取最大值时，DABC 的周长为 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.（本小题满分 12 分）*设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 Sn ，对任意的 n N(1)求数列an 的通项公式；1,都有 an +1 + Sn +1 = 1 ， a1 = .2(2)令 bn = log 2 an ，求 1 + 1 + + 1 (n N* ) .b1b2b2b3bnbn +118.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， ABC = 60o ， PA 平面ABCD ， E 是 BC 的中点， F 是棱 PC 上一点. (1)求证：平面 AEF 平面 PAD ；(2)若 M 是 PD 的中点，当 AB = AP 时，是否存在 F ，使直线 EM 与平面 AEF 的所成的角的正弦值为 1 ？5PF若存在，请求出FC的值，若不存在，请说明理由.19.（本小题满分 12 分）已知定点 F (1, 0) 和直线 l : x = -1 ，过定点 F 且与直线 l 相切的动圆圆心为点 M . (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过焦点 F 的直线交 C 于 A ， B 两点，点 B 在准线 l 上的射影为 E ，求 DAEF 面积的最小值20.（本小题满分 12 分）如图是某小区 2017 年 1 月至 2018 年 1 月当月在售二手 房均价（单位：万元/平方米）的散点图（图中月份代 码 113 分别对应 2017 年 1 月2018 年 1 月）根据散点图选择 y = a + b x 和 y = c + d ln x 两个模 型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为y = 0.9369 + 0.0285x 和 y = 0.9554 + 0.0306 ln x ，y = 0.9369 + 0.0285 xy = 0.9554 + 0.0306 ln x13 i ii =10.000 5910.000 16413 ii =10.006 050并得到以下一些统计量的值：残差平方和( y - y )2总偏差平方和( y - y )2(1)请利用相关指数 R2 判断哪个模型的拟合效果更好；(2)某位购房者拟于 2018 年 6 月份购买该小区 m (70 m 160) 平方米的二手房（欲购房者为其家庭首套房）若 购房时该小区所有住房的房产证均已满 2 年但未满 5 年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的金额（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到 0.001 万元/平方米）；（ii）若该购房者拟用不超过 100 万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积（精确到 1 平方米）. 附注：根据相关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是房屋的计税价格进行征收（计税价格=房款） 征收方式见下表：契税（买方缴纳）首套面积 90 平方米以内（含 90 平方米）为 1%；首套面积 90 平方米以上且 144平方米以内（含 144 平方米）为 1.5%；面积 144 平方米以上或非首套为 3%增值税（卖方缴纳）房产证未满 2 年或满 2 年且面积在 144 平方米以上（不含 144 平方米）为 5.6%；其他情况免征个人所得税（卖方缴纳）首套面积 144 平方米以内（含 144 平方米）为 1%；面积 144 平方米以上或非首套均为 1.5%；房产证满 5 年且是家庭唯一住房的免征n i i( yn参考数据： ln 2 0.69, ln 3 1.10 参考公式：相关指数 R2 = 1 - i =1i- y )2.( yi =1- y )221. （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = a ln x + 1 x 2 - (a + 2) x .2(1)若曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1) 处的切线经过坐标原点，求实数 a 的值；5(2)若函数 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ，且 f ( x1 ) + f ( x2 ) -3a - ，求实数 a 的取值范围.2请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时， 请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. x = -1 + t cosa,22.（本小题满分 10 分） 已知直线 l : y = t sina.(t 为参数，a 为 l 的倾斜角，且 0 a 0 ， b 0 ，且函数 f ( x) 的最小值为 2 ，求 3a + b 的值理科数学参考答案一、选择题:1-5A B B C B6-10 D A D D C11-12D A1二、填空题:13.2三、解答题14. -715.- 1 或 15316. 2 + 3*17.(1)由 an +1 + Sn +1 = 1 ，得 an + Sn = 1 ( n 2, n N).- ，得 2an +1 - an = 0 ，即 an +1 =1 *an ( n 2, n N2).3 分a + S= a + a + a= 1,a= 1 ，得 a= 1 = 1 a ，由 2 2 2 1 2 1 22 22 11 * 11 n * an +1 = an ( n N2)， 数列an 是首项和公比都为的等比数列， an = ( )22， n N. 6 分1 n(2)由 an = ( )，得 bn = log 2 an = -n ，所以 1 = 1 = 1 - 1 ，9 分2bnbn +1n(n + 1)nn + 1111111111n所以+ + + = (1-) + (- ) + +(-) = 1 - =. 12 分b1b2b2b3bnbn +1223nn + 1n + 1n + 118.解：(1)连接 AC .Q 底面 ABCD 为菱形,且 ABC = 60o ， DABC 为正三角形.Q E 是 BC 的中点， AE BC .又 AD / BC ， AE AD .2 分Q PA 平面 ABCD ， AE 平面 ABCD ， PA AE .又 PA I AD = A ， AE 平面 PAD .4 分又 AE 平面 AEF ，平面 AEF 平面 PAD .5 分(2)由(1) AE, AD, AP 两两垂直，以 A 为原点，分别以 AE, AD, AP 所在直线为 x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系，不妨设 AB = AP =2 ，则 AE = 3 ， A(0, 0, 0), C ( 3,1, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E ( 3, 0, 0), M (0,1,1) .6 分设 PF = lPC = l( 3,1, -2) ，则 AE = ( 3, 0, 0) ，AF = AP + PF = lPC = (0, 0, 2) + l( 3,1,- 2) = ( 3l,l, 2 - 2l) .7 分r uuur n AE =3x = 0设 n 是平面 AEF 的一个法向量，则 r uuur ，取 z = l，n AF =3lx + ly + (2 - 2l)z = 0得 n = (0, 2l- 2, l) .9 分设直线 EM 与平面 AEF 的所成的角为q，由 EM = (-3,1,1) 得uuuur rsinq =| cos |=|EM nuuuur r |=| 3l- 2 |= 1 ，10 分| EM | | n |5 (2l- 2) 2 + l25化简得10l2 -13l+ 4 = 0 ，解得l= 1 或l= 4 ，25故存在点 F 满足题意，此时 PF 为1或 4 .12 分FC19. (1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l 的距离，1 分点 C 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线,2 分所求轨迹的方程为 y 2 = 4x .4 分 y 2 = 4x(2)设 AB 的方程为 x = ny + 1 ,由 x = ny + 1得 y 2 - 4ny - 4 = 0 .设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则 y1 y2 = -4 5 分Q 点 B 在准线 l 上的射影为 E ， E 点的坐标为 (-1, y2 ) ， 直线 EF 的方程为 y = - y2 ( x - 1) ，即 y x + 2 y - y= 0 ，7 分22 2所以点 A( x1 , y1 ) 到直线 EF 的距离为 d =| x1 y2 + 2 y1 - y2 |24 + y 28 分y 2 | x y+ 2 y - y |2y y| 1 2+ 2 y1 - y2 | y - y | 1 1 2 1 2 4 1 2 Q y1 y2 = -4 ， x1 = ， d = = =.9 分44 + y 24 + y 24 + y 22 2 2又2| EF |=4 + y2 ， DAEF 的面积为S = 1 | EF | d = 1 4 + y 2 | y1 - y2 | = 1 | y - y|= 1 | y+ 4 | 2 ,11 分2112224 + y 2 22 21 y当且仅当 y1 = 2 时上式取等号， DAEF 的面积的最小值为 2 .12 分20.(1)设模型 y = 0.9369 + 0.0285x 和 y = 0.9554 + 0.0306 ln x 的相关指数分别为 R2 和 R2 ，12则 R2 = 1 - 0.000591 , R2 = 1 - 0.000164 ，因为 0.000591 0.000164 ，所以 R2 R2 ,3 分1 0.0060520.006051 2所以模型 y = 0.9554 + 0.0306 ln x 的拟合效果更好(2)由(2)知，模型 y = 0.9554 + 0.0306 ln x 的拟合效果更好，所以利用该模型预测可得，这个小区 2018 年 6 月份的在售二手房均价为y = 0.9554 + 0.0306 ln18 = 0.9554 + 0.0306(ln 2 + 2 ln 3) 1.0 44 万元/平方米5 分（i）设该购房者应支付的购房金额为 h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以当 70 m 90 时，契税为计税价格的1% ，故 h = m 1.044 (1% + 1) = 1.05444m ；6 分当 90 m 144 时，契税为计税价格的1.5% ，故 h = m 1.044 (1.5% + 1) = 1.05966m ；7 分当144 m 160 时，契税为计税价格的 3% ，故 h = m 1.044 (3% + 1) = 1.07532m 8 分1.05444m, 70 m 90,1故 h = .05966m, 90 m 144,1.07532m, 144 m 160.所以，当 70 m 90 时，购房金额为1.05444m 万元；当 90 m 144 时，购房金额为1.05966m 万元；当144 m 160 时，购房金额为1.07532m 万元9 分（ii）设该购房者可购买小区二手房的最大面积为 t 平方米，由（i）知，当 70 t 90 时，应支付的购房金额 为1.05444t 万元，又1.05444t 1.05444 90 100 ，10 分又因为房屋均价为1.044 万元/平方米，所以 t 100 ，所以 90 t 100 由1.05966t 100 ，解得 t 1001.05966100，因为1.05966 94.4 ,所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 94 平方米12 分21.(1) Q f ( x) = a ln x + 1 x 2 - (a + 2) x ， f ( x) = a + x - (a + 2) , f (1) = -1 ，2 分2x 曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程为 y - 1 + a + 2 = -(x - 1) .3 分2Q 切线经过坐标原点, - 1 + a + 2 = 1, a = - 1 .4 分22ax 2 - (a + 2)x + a(2) f ( x) 的定义域为 (0, +) ，且 f ( x) = + x - (a + 2) = ，5 分xx依题意方程 x2 - (a + 2)x + a = 0 有两个不同的正根 x , x ( x 0, x1 x2 = a 0 ，6 分x2 x2所以 f ( x ) + f ( x ) = a ln x + 1 - (a + 2) x + a ln x + 2 - (a + 2) x1 2 1 21 2 22x2 + x2(x + x)2 - 2x x= a(ln x+ ln x ) +1 2 - (a + 2)( x+ x ) = a ln x x +1 2 1 2 - (a + 2)( x+ x )1 2 21 2 1 2 21 2= a ln a + 1 (a + 2) 2 - 2a - (a + 2) 2 .8 分2依题意 a ln a + 1 (a + 2) 2 - 2a - (a + 2) 2 -3a - 5 ，整理得 2a ln a - a 2 +1 0) ，则 h (a) = 2(ln a - a + 1) ，10 分令 g (a) = h (a) = 2(ln a - a + 1) ，则 g (a) = 2(1 - a) ，a故 g (a) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, +) 上单调递减，所以 g (a)max = h (1) = 0 ，所以 h (a) = 2(ln a - a + 1) 0 ， h(a) 在 (0, +) 上单调递减.11 分 又 h(1) = 0 ，所以 a (1, +) 时， h(a) 0 ，t + t =6 cosa,t t =-9,6 分且 1 23 + sin 2 a 1 23 + sin 2 a所以| AB |=| t - t |=(t + t ) 2 - 4t t =( 6 cosa ) 2 +36