贵州贵阳第一中学高二数学期中

贵州省贵阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中模拟考试数学试题一、选择题1.若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为，所以若函数在区间上为单调函数，则应满足：或，所以或。故选A。考点：二次函数的图象及性质（单调性）。2.满足集合，且的集合的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意利用子集关系和交集定义确定集合M的个数即可.【详解】，1，4是中的元素，2不是中的元素，或故选：B【点睛】本题主要考查交集的定义，子集的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.等比数列满足，则（ ）A. 6B. 9C. 36D. 72【答案】D【解析】试题分析：，故选D.考点：等比数列及其性质4.双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定m的值，然后利用离心率的定义可得双曲线的离心率.【详解】由题意，且，双曲线方程是， ，离心率为故选：B【点睛】本题主要考查双曲线方程的确定，双曲线的离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.若为定义在区间上的任意两点和任意实数，总有，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ），A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数.【详解】由区间上的任意两点和任意实数，总有，等价为对任意，有成立（是函数导函数的导函数），导数，故在上大于0恒成立，故为“上进”函数；的导数，恒成立，故不为“上进”函数；的导数，当时，则恒成立故为“上进”函数；的导数，当时，恒成立故为“上进”函数故选：B.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.6.若命题“”为假，且“”为假，则A. 或为假B. 真C. 假D. 不能判断的真假【答案】B【解析】试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.7.数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得数列的通项公式，然后求解的值即可.【详解】，数列是等差数列，首项为，公差为1，故选：C【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列通项公式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）A. 程序流程图B. 工序流程图C. 知识结构图D. 组织结构图【答案】D【解析】试题分析：用来描述系统结构的图示是结构图，某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示解：用来描述系统结构的图示是结构图，某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示故选D点评：本题考查结构图和流程图的概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D【考点】异面直线【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.10.设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由题意构造新函数，结合所给的条件确定函数的单调性即可比较选项中所给数的大小.【详解】，函数的导数，即函数是减函数，则，即，且，即.故选：D【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.11.在张邱建算经中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”由此推断，该女子到第日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）A. %B. %C. %D. %【答案】B【解析】试题分析：由题知,则,则故本题答案选B考点：等差数列12.是双曲线右支上一点，分别是左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF2PF1F2NFIMF2QF1Q2a，F1Q+F2QF1F2解出OQ【详解】如图设切点分别为M，N，Q，则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同由双曲线的定义，PF2PF12a由圆的切线性质PF2PF1F2NFIMF2QF1Q2a，F1Q+F2QF1F22c，F2Qc+a，OQa，Q横坐标为-a故选：A【点睛】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，考查了双曲线的定义，属于中档题二、填空题13.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意得，根据复合函数的单调性法则可知，内层函数在上是单调增函数且，即且，综合可得.考点：1.对数函数的性质；2.复合函数的单调性法则；3.二次函数的单调性【思路点睛】本题主要考查是对数函数的性质，复合函数的单调性法则，二次函数的单调性，属于基础题，此类题目主要是要弄明白复合函数的单调性法则同增异减原则，外层函数为减函数，要复合函数为减函数，内层函数在上必须为单调增函数，那么对称轴一定在的左侧，即，同时易错的地方就是不考虑对数的真数要大于，所以复合函数的单调性法则的正确运用是解这类题的关键.14.设抛物线的焦点为，两点在抛物线上，且，三点共线，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则点的横坐标为 【答案】【解析】试题分析：由题意，得，准线为，设、，直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以，又设，则，所以，所以因为，解得，所以点的横坐标为考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、抛物线的几何性质【方法点睛】抛物线标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离，参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方法在解答过程中，通常将抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离来求解15.在中，已知角的对边分别为，且，则角为_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理边化角，然后结合三角形的性质和特殊角的三角函数值即可确定角的大小.【详解】因为，由正弦定理知，在中，由得：，而，所以，所以，又，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.若函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意结合二次函数的性质得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.【详解】二次函数的对称轴为，是区间上的单调函数，区间在对称轴的左侧或者右侧，或，或，故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的性质及其应用，属于基础题.17.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_ _【答案】32/3【解析】如图，AE=x，则ED=x，BC=1，BE=1-x，梯形的周长为（3-x），面积为，=求导得得或3（舍去）,函数只有一个极值点就是最值点，代入得18.设全集，集合，集合，则_【答案】【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行并集运算可得结果.【详解】全集，集合，又，故答案为：【点睛】本题主要考查补集的定义，并集的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题19.已知椭圆的离心率为，右焦点为。斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。（1）求椭圆的方程；（2）求的面积。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积试题解析：（1）由已知得，解得，又，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，由得设、的坐标分别为，（），中点为，则，因为是等腰的底边，所以所以的斜率为，解得，此时方程为解得，所以，所以，此时，点到直线：的距离，所以的面积考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键20. 某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。（）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，）的函数解析式；（）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得下表：周需求量n1819202122频数12331 以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望。【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由条件给出了空调销售不同情况下的利润算法，可分段给予解决，列出分段函数可得；（2）由（1）的出的利润函数关系式，再结合需求量的统计表，代入函数关系式，可得作出利润的分布列，再代入期望公式可得。试题解析：（1）当时，当时，所以（2）由（1）得 的分布列为考点：（1）分段函数模型的建立。 （2）随机变量分布列及期望的运用。21.设是焦距为2的椭圆上一点，是椭圆的左、右顶点，直线与的斜率分别为，且（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆上点处切线方程为，若是直线上任意一点，从向椭圆作切线，切点分别为，求证直线恒过定点，并求出该定点坐标【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】(1)由题意求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)由题意利用所给的条件设出切线方程，结合两直线交于点P即可证得直线CD恒过定点.【详解】（1）设，则，即，由，即，即有，即为，又，解得即有椭圆的方程为；（2）设点，切点，则两切线方程分别为：，由于点在切线上，故满足，得：，故均满足方程，即为的直线方程令，则，故过定点【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，直线恒过定点问题及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，（I）若，求的值；（II）设点为单位圆上的一个动点，点满足若，表示，并求的最大值【答案】（）；（）.【解析】【分析】()由题意利用三角函数的定义求得的值即可确定两者之和；()利用向量的坐标运算法则将向量模的问题转化为三角函数式求最值的问题，然后利用所给的角的范围即可确定的最大值.【详解】（）点是单位圆与轴正半轴的交点，可得，（）因，所以，所以，因为，所以，的最大值【点睛】本题主要考查三角函数的定义，平面向量的坐标运算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）0.5第2组25，35）18第3组35，45）0.9第4组45，55）90.36第5组55，653（）分别求出，的值；（）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（）在（）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率【答案】(1)，；(2) 第2组2人，第3组3人，第4组1人；(3)【解析】【分析】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（3）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，a=1000.01100.5=5，b=1000.03100.9=27，；（2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人 （3）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）