高中数学三角函数学习中应注意的几种类型问题

高中数学三角函数学习中应注意的几种类型问题王坤玉一、探索性问题新课程要求我们加大对于数学探究与创新能力的培养，对数学问题能在实验、猜想、合情推理的基础上，进行探索和研究，并予以证实；在新的情景中，能正确地表述数量关系，并能在创造性地思考问题的基础上，对较简单的问题得出一些新颖的结果。例1 已知角、为锐角，且，试求的值。解：这类求关系式的值的问题一般的解题策略为，先特值确定所求关系式的一个值，然后猜想所求关系的值为该值，再证明。首先分别令、都为，1，于是猜想的值为1。对猜想的结论进行证明：证明：左边二、开放性问题例2. 设函数，若是偶函数，则t的一个可能值是_。解法1：由已知得又因是偶函数所以所以恒成立所以解法2：是由f(x)平移得到的，是偶函数，所以可以设而，所以t可以为例3 已知函数，试写出它的一个性质_。分析：中学数学讨论的函数性质有函数的定义域，值域（包括最大值和最小值），单调性，奇偶性，周期性等，函数是由两个十分常用的函数ysinx和ycosx组成，在同一坐标系中画出这两个函数的图像即可得到函数f(x)的图像，根据图像便可以讨论该函数的性质。解：据该函数的图像（图像略）可以得到如下结论：（1）此函数的定义域是R；（2）该函数的值域是；（3）该函数是以2为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当x2k和x时，该函数取得最大值1；（5）当且仅当时，该函数取得最小值；（6）在上是增函数，在是减函数，在上是增函数，在是减函数。以上各性质只需回答其一。三、判断真假性问题例4 采用如下方法判断函数的奇偶性是否正确。因为是奇函数，所以f(x)是奇函数。解：此解答是错误的。由于简化过程中约去了分子、分母的公因式，使得因定义域不同而不是同一个函数，故不能应用约分后的函数直接求约分前函数的奇偶性，本例的正确解答是：令，得一特解的函数值。因为，而无意义。所以函数f(x)的定义域关于原点不对称。故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数四、模仿解答问题例5 阅读下面例题解法：实数x、y满足，的值。解：设，化简后得：解得因为所以因为所以试用上述解法解下列问题：已知求的最大值。解：因为设所以因此当时，M有最大值五、运用方程思想解题的问题例6 已知。分析：，和同角三角比的关系式联立形成一元二次方程求出，这样为一个一元二次方程的两个解，再求。解：因为所以因为所以是一元二次方程的两个解。，所以。例7 已知且为第三象限角，求sin与cos。解：，因为为第三象限角所以由此可得，所以的两个解所以六、追溯条件性问题例8 请你写出一个关于的等式并加以证明，要使得等式是你给出的等式中当20和15时的情形。分析：注意到这两个等式中三角比之间的运算方式相同，每个等式中的两个角之间都是相差30，根据这些特征便可构建一个关于和30角所满足的等式。解：命题：证明：左边 说明：归纳概括一系列数学等式所具有的共同性质，从而猜想并证明具有一般意义的数学结论，使得原有的结论成为特例，这种由特殊到一般的推广，是数学研究中常用的方法之一。七、有关数学建模问题例9 如图1，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花。若BC，ABC，设ABC的面积为S1，正方形的面积为S2。（1）用a，表示S1和S2；（2）当a固定，变化时，求取最小值时的值。图1解：（1）因为BCa，ABC所以ABacos，ACasin，所以又因为所以所以（2）所以有最小值，最小值为八、在物理中的应用问题例10 已知电流I与时间t的关系式为：（1）图2是在一个周期内的图像，P（，0），Q（，0）