黑龙江哈尔滨第六中学高二数学下学期期末考试

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期末考试高二文科数学一、选择题。1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由不等式性质求出集合A、B，由交集的定义求出可得答案.【详解】解：可得；，可得=故选C.【点睛】本题考查了交集及其运算，求出集合A、B并熟练掌握交集的定义是解题的关键.2.设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对于特称命题的否定: 改为（改为），再否定结论【详解】因为命题，所以为，选择A【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，注意区分否命题和命题的否定。属于基础题。3.已知函数，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先计算出，再把的值带入计算即可。【详解】根据题意得，所以，所以选择C【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题。4.使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】首先解出不等式，因为是不等式成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式的真子集即可。【详解】因为，所以或，需要是不等式成立的一个充分不必要条件，则需要满足是的真子集的只有A,所以选择A【点睛】本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题。5.命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假。【详解】命题，命题。因为为假命题，为真命题。所以命题和命题一真一假，所以或，选择B【点睛】本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题。6.函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据与的性质，确定函数图象【详解】，定义域为，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，且，所以，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象7.若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，令导函数等于0，在上有小于的极值点等价于导函数有小于0的根。【详解】由因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：可知有小于0的根需要，所以选择B【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数极值的问题。属于基础题。8.已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对称列方程解得，从而求出。【详解】由题意得时，。所以所以，选择A【点睛】本题主要考查了函数对称轴的问题，即在函数上任意两点关于直线对称。有属于基础题。9.已知函数是奇函数，当时，当时，则解集时（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对的范围分类讨论，利用已知及函数是奇函数即可求得的表达式，解不等式即可。【详解】因为函数是奇函数，且当时，所以当，即：时，当，即：时，可化为：，解得：.当，即：时，利用函数是奇函数，将化为：，解得：所以的解集是故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题。10.若函数在内单调递减，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数在内单调递减，则在上恒小于等于0.【详解】由题意得，因为函数在内单调递减，所以在内恒小于等于0。因为所以，选择A【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数在某个区间上恒成立的问题。通常先求导数然后转化成二次函数恒成立的问题。属于中等题。11.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据得出周期，通过周期和奇函数把化在上，再通过周期和奇函数得。【详解】由，所以函数的周期因为是定义在上的奇函数，所以所以因为当时，所以所以。选择C【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性质以及周期。若为奇函数，则满足：1、，2、定义域包含0一定有。若函数满足，则函数周期为。属于基础题。12.已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据是偶函数可以得出函数对称轴，再根据函数在上单调递减可以得出函数在上的单调区间，从而解出不等式对任意的恒成立时的取值范围。【详解】是偶函数，所以得出函数的对称轴为，又因为函数在上单调递减，所以在上单调递增。因为，所以。因为不等式对任意的恒成立，所以。选择A【点睛】本题主要考查了函数对称轴和奇偶性的综合问题，在解决此类题目时要搞清楚每一个条件能得出什么结论，把这些结论综合起来即得出结果。属于较难的题目。二、填空题.13.已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由题意可得直线的斜率为，再由垂直可得曲线在处的切线斜率为，对曲线求导令导函数为可得的值.【详解】解：直线斜率为,可得曲线在处的切线为，当，可得，可得，故答案：.【点睛】本题考查了直线与直线的垂直关系及导函数的几何意义的应用、导数的计算，属于中档题.14.幂函数在上为增函数，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】由函数是幂函数，列方程求出的值，再验证是否满足题意【详解】解：由函数是幂函数，则，解得或；当时，在上为减函数，不合题意；当时，在上为增函数，满足题意故答案为：【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题15.若函数，且在上有最大值，则最大值为_【答案】3【解析】【分析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此，解得，所以，由得或；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；所以当时，取极大值，由得或；又在上有最大值，所以只需.故答案为3【点睛】本题主要考查导数的应用，由函数在给定区间有最大值求参数，只需利用导数的方法研究函数单调性，即可求解，属于常考题型.16.给出下列4个命题：若函数在上有零点，则一定有；函数既不是奇函数又不是偶函数；若函数的值域为，则实数的取值范围是；若函数满足条件，则的最小值为.其中正确命题的序号是：_.（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分析】举出特例，如，即可判断为假；根据定义域先将原函数化简，再根据奇偶性的定义，即可判断为假；根据函数的值域为，可得二次函数与轴必有交点，且开口向上，进而可判断为假；用解方程组法，先求出的解析式，即可求出的最小值，判断出为真.【详解】若，则在上有零点，此时，即，所以错；由得，所以，又，所以函数是偶函数，故错；若函数的值域为，当时，显然成立.当时，则二次函数与轴必有交点，且开口向上，即解得，所以实数的取值范围是.故错；因为，所以有，联立消去，可得（），所以，当时，；当时，所以，即最小值为.故正确.故答案为【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记零点存在性定理、函数奇偶性的概念、对数型函数的性质、以及解方程组法求函数解析式等即可，属于常考题型.三、解答题.17.已知函数.（1）若函数是偶函数，求的值；（2）若函数在上，恒成立，求的取值范围.【答案】(1) ;（2）【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义判断得解；（2）对x分三种情况讨论，分离参数求最值即得实数k的取值范围.【详解】（1）由题得，由于函数g(x)是偶函数，所以，所以k=2.（2）由题得在上恒成立，当x=0时，不等式显然成立.当，所以在上恒成立，因为函数在上是减函数，所以.当时，所以上恒成立，因为函数在上是减函数，在上是增函数，所以.综合得实数k的取值范围为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求函数的单调区间；（2）求的解集.【答案】（1）在为增函数 ；（2）【解析】【分析】（1）首先求出的导数，并且求出时的斜率，根据点处的切线与直线垂直即可求出，再对求二阶导数即可判断的单调区间。（2）根据（1）的结果转化成求的问题，利用单调性求解即可。【详解】（1）曲线在点处的切线与直线垂直.令当时为增函数，当时为减函数。所以所以，所以在为增函数（2）令，因为在为增函数，所以在为增函数因为，所以不等式的解集为【点睛】本题主要考查了根据导数判断函数的单调性以及两条直角垂直时斜率的关系。在解决导数问题时通常需要取一些特殊值进行判断。属于难题。19.已知函数在与时都取得极值（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围【答案】解：（1）2分由，3分得5分（2），当时，为极大值，6分而，则为最大值，8分要使恒成立，则只需要，10分得12分【解析】【分析】（1）求出f（x），由题意得f（）0且f（1）0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x1，2恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）c2列出不等式，求出c的范围即可【详解】（1），f（x）3x2+2ax+b由解得，f（x）3x2x2（3x+2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（,） （，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，得f（x）在（1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x时，f（x）为极大值，而f（2），所以f（2）2+c为最大值要使f（x）对x1，2恒成立，须且只需f（2）2+c解得c1或c2【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题20.设函数.（1）求在处的切线方程；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出的导数，把代入导数得斜率，把代入即可得时的坐标。根据点斜式即可得切线方程。（2）转化成，令，当时的最大值为0，求的取值范围即可。【详解】（1）当时在处的切线方程为：（2）由题意得令则再令，则由，所以在上为减函数。且【点睛】本题主要考查了求函数在某一点的切线方程以及利用导数解决函数恒成立求参数范围的问题。属于中等题。21.设，（为自然对数的底数)（1）记讨论函数单调性；证明当时，恒成立.（2）令设函数有两个零点，求参数的取值范围.【答案】（1）在为减函数，在上为增函数 见证明；（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，判断其单调性即可。转化成证明的问题，从而证明在时的最小值大于0。（2）首先对求导数，讨论其单调性，结合图像即可得到有两个零点时的取值范围。【详解】（1）由题意得所以因为所以当时为增函数，当时为减函数证明: 当时, 恒成立,等价于证明当时, 恒成立。因为，因为 ，则。因为，所以，所以在上为增函数。因为，所以在上为增函数。又因为，所以（2）当时，为增函数。，为减函数。有两个零点当时，令当时在和上为增函数，在上为减函数。此时有三个零点（舍弃）当同理可得有三个零点（舍弃）当时，此时有两个零点。综上所述【点睛】本题主要考查了根据导数判断单调性以及函数恒成立问题，在解决第二问函数零点问题时，转化成判断函数单调性以及极值的问题。属于难题。22.已知曲线的参数方程为，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)若射线与曲线交于两点，与直线交于点，射线与曲线交于两点，求的面积.【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）首先根据曲线的参数方程先化为直角坐标方程，再把直接直角坐标方程化为极坐标方程。根据即可把直线化为直角坐标方程。（2）把射线带入曲线和直线的极坐标方程得出点的坐标，把射线带入曲线的极坐标得出点的坐标。根据即可求出面积。【详解】（1）因为曲线的参数方程为所以所以曲线的极坐标方程为：又直线的极坐标方程为所以直线的直角坐标系方程为综上所述：（2）由（1）知曲线的极坐标方程为所以联立射线与曲线及直线的极坐标