13.4课题学习 最短路径问题.pptx

13.4课题学习最短路径问题,欢迎进入数学课堂！,教学目标,1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。2、体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。,P,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。,依据：,A,如图，将军骑马从城堡A出发到小河边去给马饮水。问将军在什么位置饮马，走的路程最短？,l,问题1：P为直线l上的一个动点，当点P在直线l的什么位置时，AP最短。,探究一,最佳饮马点,依据：两点的所有连线中，线段最短。,探究二,问题2：P为直线l上的一个动点，当点P在直线l的什么位置时，AP与BP的和最小。,如图，将军要从山峰A处出发，到河边饮马，然后到B地，请问到河边什么地方饮马可使他所走的路程最短？,l,P,如图，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地将军到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？,l,你能用数学语言来描述一下这个问题吗？,问题3：P为直线l上的一个动点，当点P在直线l的什么位置时，AP与BP的和最小。,探究三,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）你能根据问题2找到解决问题3的办法吗？（3）利用什么知识可以实现转化？,比较问题2与问题3，思考：,问题2,问题3,B,点P的位置即为所求。,作点B关于直线l的对称点B。,连接AB,交直线l于点P，,作法：,为什么这样做就能得到最短距离呢？,证明：如图，在直线l上任意取一点P（与点P不重合），,你能用所学的知识证明AP+BP最短吗？,B,P,P,AP+BPAP+BP？,任意,几何画板验证,数学理论证明,ABAP+BP,连接AP，BP、,由轴对称的性质知，直线L是线段BB的垂直平分线,AP+BP=AP+BP=AB，,BP,AP+BPAP+BP,BP=BP，BP=BP,AP+BP=AP+BP,B,B,归纳,如图，点A、B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点P，使点P到A、B两点的距离之和最短？,A,1.作其中一个点关于直线l的对称点。,2.连接对称点和另一点，,与直线的交点就是点P的位置。,结论：,发现问题,勇于探索,谦虚求教,突破难点,如图，将军从军营A出发先到Q处去牧马，然后前往河岸BC上，再返回A处，请画出将军的最短路线,AQPA为最短路径,Q,P,例题分析,小河,C,B,Q,A,如图，将军从城堡A出来，骑马先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到城堡A.请你帮他确定这一天的最短路线.,拓广探究,A,B,C,归纳,A,B,C,如图，点A在直线OM和ON内部，如何在直线OM和ON上分别找一点B、C,使得AB+BC+AC的值最小。,作法：,连接两个对称点，与两条直线的交点就是满足最短路径的点的位置。,分别作点关于两条直线的对称点。,1、在平面直角坐标系中有两点，要在y轴上找一点，使它到的A、B两点距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（）,D,巩固练习,2、已知：P、Q是ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使PQR的周长最短吗？,P,R,3、已知：点A是总局，想在公路OM上建一分局B，在公路ON上建一分局C，怎样使AB+BC+AC最小？,B,C,D,E,我们本节课解决了什么问题？,归纳小结,（1）,（2）,在直线l上找到一点P，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？,1、两点一线型,作法：,1.作其中一个点关于直线l的对称点。,2.连接对称点和另一点，与直线交点就是满足最短距离的点的位置。,作法：,连接两点与直线交点就是满足最短距离的点的位置。,归纳小结,如图，在直线OM和ON上分别找一点B、C,满足AB+BC+AC的值