矩阵的--线性方程组

第三章矩阵的基本变换和线性方程2010-10-91矩阵的基本变换1.定义1下的三个转换为矩阵的默认行转换(1)两行对齐矩阵：(2)数字k乘法矩阵行：(3)将一行数字k乘矩阵添加到另一行的相应元素中：将定义的“行”替换为矩阵中称为主列转换的“列”。矩阵的基本转换-矩阵的基本行转换，矩阵的基本列转换。例如，对三次单位矩阵执行基本转换。=E (1，2)、=E (2(3)、=e (1，2 (3)、初等广场定义初级方阵对单位矩阵执行通过基本转换获得的矩阵。有三个基本正方形：E (I，j)、e (I (k)、e (I，j (k)2.等效矩阵(P59)等价矩阵的定义矩阵a由受限制的基本行转换更改为矩阵b时，矩阵a与矩阵b行等价于：矩阵a由受限制的基本列转换更改为矩阵b时，矩阵a与矩阵b列相等，称为：矩阵a通过有限基本变换更改为矩阵b时，矩阵a等于矩阵b。a到B等价矩阵的性质(1)反神性A-A(2)如果对称A B，则B A(3)传递性A B，如果B C，则A C3.阶梯矩阵阶梯形矩阵是每行前面的零数，并随着行数的增加严格增加。下面的矩阵是阶梯形状。以下矩阵不是阶梯形状：4.行最简单的矩阵在阶梯形状矩阵中，非零行中的第一个非零元素为1，此列中的其他元素为0。例如，以下矩阵是行中最简单的矩阵：示例：使以下矩阵成为最简单的行矩阵：方法：首先创建平台矩阵：如何：使用默认转换(行默认转换)目标：向上三角形非零行的第一个非零元素为1，此元素所在列中的其他元素为0。，即可从workspace页面中移除物件。即可从workspace页面中移除物件。即可从workspace页面中移除物件。即可从workspace页面中移除物件。即可从workspace页面中移除物件。即可从workspace页面中移除物件。(换行)机动案例：使上面的矩阵成为行中最简单的形式。5.矩阵的标准形式所有矩阵a总是可以通过基本变换转换为标准形式而且，标准形状完全由三个数字确定：m、n、r。其中r是行阶梯形状中非零的行数。例如，P61、用矩阵的初等行变换方法求逆矩阵(1)理论准备正方形矩阵a可逆性的充分必要条件是存在有限数量的初等矩阵。(2)求逆矩阵的方法用矩阵的初等行变换方法求矩阵方程(A | B)转换默认行 (E |范例3(P65)解矩阵方程。在这里。解法：方程式两侧左侧乘a逆阵：有两种方法。方法1:在执行乘法运算之前求逆矩阵。方法2:使用行默认转换：(A | B)转换默认行 (E |)。范例1(P64)最简单的矩阵是F，F，可逆矩阵p，也就是PA=F。方法：(A | E)转换默认行 (F | P)6工作P 781 (1) (2)、2、3(1)、4(1)、5(1)教会练习题6(注意矩阵方程的表达，求解)2矩阵的秩1.定义定义3 A的k子样式在矩阵a中，选择k行k列。此列中的元素按原始顺序构造的矩阵表达式称为矩阵a的k次子集。定义4矩阵的排名在矩阵a中，如果不等于0的子级的最大父级数为r，则r是矩阵的排名。R(A)，即R(A)=r2.结论整体排名矩阵可逆矩阵成为整个排序矩阵。，R(A)=n，r (a) n清理2如果是A到B，则R(A)=R(B)。如果估计的可逆矩阵P，Q设置为PAQ=B，则R(A)=R(B)。矩阵秩计算方法根据定义查找矩阵的排名的方法r如果子代不为零，则证明所有r子代全部为零此时R(A)=r示例计算以下矩阵的排名而且，a有非零的第三个子代。a的所有4个子代都为零(因为a的所有4个子代的最后一行为零)。A的排名为3，即R(A)=3。事实上，a是阶梯矩阵，关于矩阵的排序，得出以下结论：矩阵的秩=阶梯矩阵的阶梯数。也就是说，矩阵的秩=阶梯矩阵中非零行向量的数目用初等行变换法求矩阵的秩使用默认行转换方法将矩阵转换为阶梯形时，阶梯形矩阵中非零行向量的数量是矩阵的排名。解决方案：使用默认行转换方法查找b的排名，并查找b的最高非0子类型之一。非零行矢量有三个，因此B的秩为3，即R(B)=3。在阶梯形状矩阵中，由前三行的1、3和4行组成的第三个子代不是0()，因此b中的第三个子代也不是0。也就是说。4.兰克的性格如果是a到B，则r(a)=r(B)；可逆矩阵P，Q设置为PAQ=B时r(a)=r(B)；如果是；设置，如果a是全排名矩阵。三线性方程的解检阅以下线性方程式(解决方案是什么？)，以获取详细信息关于线性方程，我们关心的问题是：你能解方程式吗？如何解决？如何表示解决方案(解决方案的结构)？1.基本概念非齐次线性方程AX=b系数矩阵a增强矩阵注：Mn非均匀线性方程(m方程n未知数)齐次线性方程AX=O2.方程式的解法：C1、c2、。cn分别表示方程式x1、x2、在，xn中赋值后，得到的每个方程都是等式，C1，C2，cn是方程式的解法。方程式是相容的(p71)。方程式没有解决方案，并且不相容。方程式的基本转换(1)两个方程式的位置(2)用非零数字乘以方程式(3)将数字乘以另一个方程式(方程式的预设转换与增量矩阵的预设列转换相同。）结论线性方程经过基本变换，成为等效的解方程。方程和增强矩阵的关系：4.求解线性方程非齐次线性方程组的解法方法：使用基本行转换，展开矩阵是行最简单的(行最简单的对应方程式是与原始方程式相同的解方程式)；解方程。解方程。求解线性方程范例1方程式的解是。以向量形式写入：写下以下方程的扩展矩阵，练习写下扩展矩阵对应于行中最简单矩阵的等解线性方程。等解方程式为解开它所有可用的、通常表示任意常数的c，称为自由位知识，如下所示而且，建立向量格式：此解决方案称为方程式的一般解决方案(或一般解决方案)(机动P75，范例12)7作业P79 9，10(3)、12、14(2)(3)、方程解的判定方法(线性方程解的讨论)在上节的示例1，R(A)=3中，方程有解。您可以在范例2中看到：=2，方程式是无限解的在范例3中， R(A)=2，没有方程式实际上，通过基本行，任意扩展矩阵可以转换为阶梯型(最简单的行)，通过研究阶梯型矩阵中系数矩阵的排名和扩展矩阵的排名，可以研究方程的解。设定R(A)=r可将延伸矩阵写入以下阶梯造型(最简单的列)平台矩阵对应的线性方程式是与原始方程式相同的解析方程式。仅当D r 1=0时才求解方程式如果R n，则方程式的解为包含N-r个未知的自由量，存在无限解决方案。如果R=n，则方程式具有唯一的解决方案定理n元素线性方程的解为：(1)非齐次线性方程Ax=b的解的充要条件为(2)无限解的充分条件(无限解决方案包含n-r个未知的可用容量(r=r (a)(3)唯一有解的必要条件是估算：m=n时，方程式(3.1)的唯一解决方案是系数决定因素不等于0。6.齐次线性方程组的解法齐次线性方程的矩阵形式为Ax=0。Ax=0是肯定的，因为它总是成立的。齐次线性方程只有一个解的情况下，肯定是零解。齐次线性方程的无穷解存在时，除了零解之外，还有其他解。这称为非零解决方案。定理n元素齐次线性方程的解为：(1)仅零解决方案的先决条件是(2)具有非零解(无限解)的先决条件如下推论：在均质线性方程式中，m=n(1)仅零解决方案的先决条件是(2)具有非零解(无限解)的先决条件如下解齐次线性方程Ax=0的一般方法例10解齐次线性方程而且，分解方程式是，因此(自由位未知的量)，好的，用矢量形式写吧，即可从workspace页面中移除物件。例13讨论了非齐次线性方程的解设定线性方程式，如下所示当被问及取什么值时，这个方程式(1)有唯一的解决方案。(2)没有解决方法；(3)有无限的解决方案，找到解决方案。解法1。通过对增广矩阵的初等行变换，使其成为行的最简单形式，讨论系数矩阵的秩和增广矩阵的秩。(1)和=3，方程有唯一的解。(2)=1，方程式无法求解。(3)那时，=2 n，(n=3)，方程式无限解。这时，解方程式的时候，未知的自由量。方程式的一般解法是c是任意常数，也就是说解决方案DP 76因为系数矩阵a是正方形矩阵，所以方程唯一解的充分