山东济宁高三数学模拟考试二模理

2018-2019学年度高考模拟考试数学（理）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用复数除法化简成的形式，再写出共轭复数即可。【详解】，选D.【点睛】本题主要考察复数的除法运算及共轭复数的定义。2.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求集合A和B，再求，进而求两集合的交集.【详解】由题得，选C.【点睛】本题考察集合基本运算（交并补），及对数与指数不等式的求解（化为同底数解不等式）.3.下列结论正确的是（ ）A. 若命题：，则：，.B. 若，则是的充要条件.C. 若是真命题，则一定是真命题.D. ，.【答案】D【解析】【分析】A选项全称命题的否定为特称命题；B选项充要条件必须满足“”与“”可互相推导；C选项为真命题，则一真即可；D选项中特称命题是否成立只需找特例.【详解】A选项中，应为，；B选项中，是的既不充分也不必要条件；C选项中，是真命题，则是真命题或是真命题；D选项中，存在时，成立，故选D.【点睛】本题考察常用逻辑用语的常考点，包括命题的真假性的判断，全称命题与特称命题的否定，命题的充分必要关系，且或非命题的真假性。4.在中，角，的对边分别为，已知，则角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】已知边角关系式，利用正弦定理把边化角，即可求出角A【详解】由正弦定理得，即， ，.选B.【点睛】本题主要考察了正弦定理的应用边角互化。利用化简已知边角关系即可.5.若变量，满足，则目标函数的最大值为（ ）A. B. C. 4D. 16【答案】D【解析】【分析】作出可行域，再求目标函数（即）的最优解，代入求最值.【详解】由线性约束条件画出可行域，如下图所示阴影部分所示.由目标函数，令则，令，作出直线，并作出一系列平行线则在点处，取得最大值为4，故最大值为16.选D.【点睛】本题考察线性规划知识，作出可行域及目标函数直线，联立方程求最优解，再代入求最值.6.某程序框图如图所示，若输出，则判断框中为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先运行程序，结合数列裂项法化简每步所求S，直到时判断k的值.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，即时程序结束，此时，故选B.【点睛】本题是程序框图的常考题之一，已知输出值求条件框的判断条件时，需先运行程序.7.已知是定义在上的奇函数，且；当时，则（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】由周期为4可以得，再利用为奇函数得，再代入已知函数求值即可.【详解】由可得函数周期为T=4，又因为是定义在上的奇函数，所以.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及周期性的综合应用，其中，若函数周期为T，则.8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由平移变换求出函数的解析式，再根据可知函数的对称轴为，则求出的对称轴即可得的值，再代入即可求.【详解】由的图像向右平移个单位，得又因为，所以的图象关于对称令，得所以故.选C.【点睛】本题综合考察三角函数的图像与性质及三角函数的平移变换，其中需注意：1、的图象向左移动个单位长度后得到的图像；2、若对于任意都有，则的对称轴为.9.已知直线过抛物线：的焦点，交于，两点，交的准线于点，若，则（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点及准线，由向量关系可得是的中点，再利用三角形中位线求出点到准线的距离，从而求出的坐标，进而确定直线的方程，再联立直线与抛物线方程求出两交点横坐标之和，代入焦点弦求值.【详解】如下图所示：不妨设A在第一象限，由抛物线：可得，准线因为，所以是的中点则.所以可得则，所以直线的方程为：联立方程 整理得：所以，则.选B.【点睛】本题主要考查抛物线的图像与性质。其中需注意：由抛物线定义可得过焦点的弦长为：；直线与圆锥曲线的综合问题的一般解题思路为：一是求（设）直线方程；二是联立直线与圆锥曲线方程，并整理得关于的一元二次函数；三是利用韦达定理求交点横坐标与的关系.10.某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先由三视图还原几何体，再求其外接球的半径即可求表面积。【详解】由三视图可得该几何体为如下图（一）所示三棱锥，其中，因为的中点到所有顶点的距离相等，所以为外接球球心.因为 所以外接球半径为：，则表面积为：.选A.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的形状及锥体外接球的表面积的求法.11.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值.【详解】由得；由得；因为与曲线相切，令，则可得，代入得；所以切点为.则，所以.故=当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值2.选B.【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用。关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值.12.在中，是边上的点，关于直线的对称点分别为，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知为直角三角形，建立直角坐标系，求直线的方程，再求点到直线，及点到直线的距离，则可求面积，再讨论其最大值。【详解】由，可得为直角三角形，且则以为原点，为轴，为轴建立如下图所示直角坐标系.则，设，则直线，即过点作直线的垂线，与交于点，则；又因为直线，即此时到直线的距离为： 所以 ，到的距离为则所求面积 因为所以当时，；当时，；所以当时，选A.【点睛】本题是一道综合题，主要利用转化思想，把所求三角形转化为求，其中需要熟悉直线方程的求解及点到直线的距离；分析最大值时可利用求导数，判断单调性求最值。二、填空题。13.若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为_【答案】60【解析】【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，求n；再利用通项公式即可求常数项.【详解】因为各项的二项式系数之和为64， ，即；通项公式=令，解得.展开式中常数项为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的通项公式为.14.在中，则_【答案】2【解析】【分析】把，作为已知向量表示出，再求数量积即可.【详解】， 【点睛】本题综合考查向量的加减法运算及数量积。注意当模已知及两向量夹角已知时，可把这两个向量作为已知向量来表示其他向量，进而求未知向量的数量积问题。15.若从区间内随机取两个数，则这两个数之积大于2的概率为_【答案】【解析】【分析】由两个数之积大于2先求直角坐标系中满足条件的点所构成的面积，再除以所有点构成的总面积求概率。【详解】设这两个数为，则，且令，则，则可作出如下图所示图像。要使，则必须在曲线的上方.故曲线上方与正方形的共同部分的面积为：，则所求概率为：.【点睛】本题主要考查几何概型的应用，其中，事件A的概率为： .16.已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆交双曲线的右支于，两点（为坐标原点），的一个内角为，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】分析】由双曲线的对称性及一内角为可得为等边三角形，进而求点P的坐标，再由P在双曲线上，代入双曲线方程，由代入化简即可求离心率e.【详解】如下图所示：，且的一个内角为，则为等边三角形，所以连接，则，即，故又因为P为双曲线：上一点所以，即 解得 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的性质，是一道综合的题目。解决本类题目关键是要数形结合分析题意，从图中挖掘条件。三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（）求数列的通项公式；（）若从数列中依次取出第1项，笫2项，第4项，第8项，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和.【答案】（）（） 【解析】【分析】第（）问由等差数列的通项公式及前n项和公式代入求，即可求通项公式；第（）先求数列的通项公式，再利用分组求和法求前n项和.【详解】解：（）设等差数列的公差为，则，解得，.（）由题意知，.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，以及分组求和法。题目较为简单，难度较小。18.如图，在直角梯形中，且，点是中点，现将沿折起，使点到达点的位置.（）求证：平面平面；（）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】第（）问先证平面，由线面垂直证明面面垂直；第（）问先找垂直关系后建立空间直角坐标系，利用向量法求出两面的法向量，进而求所成二面角的余弦值.【详解】解：（）证明：，点是中点，四边形为平行四边形，又，平面，平面，又平面，平面平面；（）由（）知平面，即为与平面所成的角，平面，为等腰直角三角形，故为等边三角形，取的中点，连结，则，平面，又平面，平面平面，又平面，平面，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图，设，则，从而，设平面的一个法向量为，则由得，令得，又平面的一个法向量，则，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题是一道立体几何综合题，考查面面垂直的证明及二面角的求解。其中需注意：证明面面垂直，需先找线面垂直，即先证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一平面内的两条相交直线；求解二面角的步骤：一是先建立空间直角坐标系，求出所需点或所求两面内的向量的坐标；二是求两平面的法向量；三是利用法向量研究二面角的余弦值.19.有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至）频数分布表如下（单位：）：分组频数103040155以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（）由种植经验认为，种植园内的水果质量近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，.请估计该种植园内水果质量在内的百分比；（）现在从质量为，的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个.若水果质量在，的水果每销售一个所获得的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的2个水果总利润为元，求的分布列和数学期望.附：若服从正态分布，则，.【答案】（）（）见解析【解析】【分析】第（）问先求平均值，再分析数据所在范围，求正态分布概率；第（）问由分层抽样求出抽取的样本，再确定总利润的取值，求出对应的概率即可【详解】解：（） ，由正态分布知， .该种植园内水果质量在内的百分比为.（）由题意知，从质量在，的三组水果中抽取的个数分别为1，3，4，的取值为6，8，10，12.则；.所以，的分布列为681012 .【点睛】本题主要考查正态分布及随机变量分布列和数学期望。本题有两个易错点，一是正态分布的三个概率公式中数据的范围是由平均值与标准差确定，注意不是方差；二是列分布列时应全面考虑，把所有可能情况都列出来，再求出对应的概率.20.在平面直角坐标系中，若，且.（）求动点的轨迹的方程；（）设（）中曲线的左、右顶点分别为、，过点的直线与曲线交于两点，（不与，重合）.若直线与直线相交于点，试判断点，是否共线，并说明理由.【答案】（）（）见解析【解析】【分析】第（）问由且可得点到两定点的距离之和为常数，可得动点轨迹为椭圆；第（）问分类讨论直线的方程，斜率不存在时可直接求出所需点的坐标；斜率存在时则先设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程求出交点关系，再求出点，利用的关系判断即可.【详解】解：（）设，则 .动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其方程为，则，即，.动点的轨迹的方程为.（）当直线的斜率不存在时，：，不妨设，直线的方程为，令得.点，共线.当直线的斜率存在时，设：，设，.由消得，由题意知恒成立，故，直线的方程为，令得. ，上式中的分子.，点，共线.综上可知，点，共线.【点睛】圆锥曲线综合题是高考常考题型，难度较大，一般解题思路是：（1）先设出未知的点与直线方程；（2）联立直线与圆锥曲线方程，并进行消元化简，得到关于x或y的一元二次方程形式；（3）利用韦达定理求出两横坐标（或纵坐标）的关系；（4）再探讨所求问题与上述所得x或y的关系式的关系，进而解决所求问题。21.已知函数，.（）当，时，试比较与1的大小，并说明理由；（）若有极大值，求实数的取值范围；（）若在处有极大值，证明：.【答案】（）见解析；（）（）见证明【解析】【分析】第（）问把代入后求的导数，分析导数的情况，求在上的最小值，再与1比较；第（）问先求的导数，令，利用的单调性讨论其取值范围，进而判断是否有极大值；第（）问先由（）的结论求出，再构建新函数，判断的单调性即可.【详解】解：（）当，时，.令，则，当时，单调递减，当时，单调递增；，即，在上单调递增.故当，时.（），令，则，当时，无极大值.当时，在上单调递增；，使得.当时，单调递减，当时，单调递增，在处有极小值，无极大值.当时，在上单调递减，在上单调递增，有极大值，即，又，使得，即；当时，单调递增，当时，单调递减，有极大值，综上所述，.（）由（）可知：，设，则，在上单调递增，即，故.【点睛】本题是一道函数的综合题，难度大，解题过程较为复杂，得多次求导，并分析与判断。一般求解此类题目有以下几点思路：1、先求导函数；2、求出的导函数较为复杂，且分母取值确定时，可取分子定义为新函数，再次求新函数的导数，判断新函数的取值范围，进而求原函数