2.2.2平行四边形的判定

平行四边形,2.2,2.2.2平行四边形的判定,从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB出发，画出一个平行四边形呢？,图2-20,如图2-20，把线段AB平移到某一位置，得到线段DC，则可知ABDC，且AB=DC.由于点A，B的对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移的性质:两组对应点的连线平行且相等，即ADBC.由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.,图2-20,实际上，上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？如图2-21，已知ABDC，且AB=DC，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.,图2-21,由此得到平行四边形的判定定理1：,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.,举例,例5已知：如图2-22，在ABCD的边BC，AD上分别取一个点E，F，使得，.连结BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形.,图2-22,证明由于四边形ABCD是平行四边形，,因此ADBC，AD=BC.,因此BE=FD.,又BEFD，,所以四边形BEDF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.),图2-22,如图2-23，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？,图2-23,1=2.,下面我们来证明这个结论.,如图2-24，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC.,AB=CD，BC=DA，AC=CA，,ABCCDA.,四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.,则ADBC.,图2-24,由此得到平行四边形的判定定理2：,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.,如图2-25，在四边形ABCD中，ABCCDA.求证：四边形ABCD是平行四边形.,例6,四边形ABCD是平行四边形.,AB=DC，AD=BC.,图2-25,举例,2.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，BC=AD，E，F分别是边BC，AD的中点.找出图中所有的平行四边形，并且说出理由.,解：ABCD：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.ABEF和FECD：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.,观察图2-26，从“平行四边形的对角线互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个平行四边形吗？,图2-26,过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC，OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是平行四边形，如图2-27.,你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？,图2-27,图2-27,由于OA=OC，OB=OD，,AOB=COD,因此OABOCD.(SAS),从而AB=CD，ABO=CDO.,于是ABDC.,同理BCAD,所以四边形ABCD是平行四边形.,对角线互相平分的四边形是平行四边形.,由此得到平行四边形的判定定理3：,图2-28,证明：,由于四边形ABCD是平行四边形，,因此OA=OC.,所以四边形AECF是平行四边形.,又OE=OF，,图2-28,图2-29,四边形ABCD是平行四边形.,证明,A=C，B=D，A+B+C+D=360，,BCAD.,同理，ABDC.,从例8可以看出，两组对角分别相等的四边形是平行四边形.,图2-29,如图，把ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连接EB，EC.求证：四边形ABEC是平行四边形.,1.,例1,如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有个.,21