特殊化思想在函数中的应用

特殊化思想在函数中的应用http:/www.DearEDU.com江苏省洪泽县中学 邵刚 函数是高中数学的主线，在每年的高考试题中都占有较大的比例 。但很多函数试题解起来较为繁琐，而且不容易得到正确答案。那么，怎样能快速简捷地求出解答呢？应该说，特殊化思想是较好地解决问题的方法之一。本文将以几个典型例题与同学们谈谈特殊化思想在函数中的应用。一、特殊值法例1、下列各解析式中，满足的是（ ）A. B. C. D.分析：本题的主要解法是代入验证，但若直接代入，计算量较大，故可以通过特殊值进行验证。解：在关系式中，令，得：，将代入各选择支，易知只有当时，符合要求，故选C.例2、（2003年高考.江苏卷）函数的反函数为A .， B. ，C. ， D. ， 解：设则易知：，代入几个选择支可排除A、C,又由，排除D,选B二、特殊点法例3、(2000年高考) 函数yxcosx的部分图象是yyyy分析：函数f(x)xcosx的图像中学没有学过，故不能直接作图，但我们仍然可以借助与函数性质及特殊点解决问题。解：容易判断函数f(x)xcosx为奇函数，排除A、C,又,排除B,选D。例4、（2002年全国高考）函数的图象是 解：当时，即函数过点(0,2),排除A、D,显然函数还过点(2,0)，排除C,故选B.三、特殊函数法 一类函数往往具有一定的通性，在研究有关问题时就可以利用一个研究一类。特殊函数法特别是在高考中应用很广，以下略举几例：例5、（91高考）如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上是A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为5解：由题意可令函数为，则易知答案B例6、（97高考）定义在区间(，)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0，)的图象与f(x)重合.设ab0，给出下列不等式:f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)f(a)f(b)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)其中成立的是A.与B.与C.与D.与解：取特殊函数，再令，可知：与正确。例7、设函数定义在实数集上，则函数与函数的图像关于（ ）A直线对称 B. 直线对称C. 直线对称 D. 直线对称解：令，则，显然两函数关于直线对称。四、特殊模型法 对抽象函数问题，很多同学常感到束手无策，其实它们在中学都有一定的模型，若能借助于有关具体函数，类比它们的性质，就可以很快找到思路。例8、已知函数定义在实数集上，且对任意均有，又对任意的x0,都有f(x)0,f(3)=-3.(1)判断函数的奇偶性。（2）证明函数在R上为单调减函数。（3）试求函数在m,n(m,nZ，且mn0,都有f(x)0,都有f(x)0，函数在R上为减函数。（3）由于函数在R上为减函数，故在m,n上为减函数.在m,n上的最大值为，最小值为。又由于，同理：又f(3)=-3=3f(1)， ，因此函数在m,n上的值域为-n,-m.例9、设函数是定义在R上的减函数，并且满足，（1）求的值， （2）如果，求x的取值范围。分析：由题意可取函数作为本题的模型函数，显然，且，于是我们解题就有了目标。解：（1）令，则，（2） ，又由是定义在R上的减函数，得： 解之得：。注意点：模型函数只能帮助我们发现