数字控制器的设计方法ppt课件

第三章常规数字控制器的设计,数字控制器的设计方法分类模拟控制器的离散化数字PID控制最少拍数字控制系统的设计最少拍无纹波控制系统设计最少拍控制系统的改进达林算法,31数字控制器的设计方法分类,按其设计特点分为二大类：1.模拟化设计方法一般可按以下步骤进行：第一步：用连续系统理论确定；第二步：用合适的离散化方法由求出；第三步：检查系统性能是否满足设计要求；第四步：将变为差分方程或状态空间方程，并编写计算机程序。需要时可运用混合仿真的方法检查系统的设计与程序编制是否正确。,2.离散化设计方法首先用适当的离散化方法将连续部分（如图所示的保持器和被控对象）离散化，使整个系统完全变成离散系统，然后用离散控制系统的设计方法来设计数字控制器，最后用计算机实现控制功能。,3两种方法的比较模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论和方法。但在“离散”处理时，系统的动态特性会因采样周期的增加而改变，甚至导致闭环系统的不稳定。离散化设计方法运用的数学工具是Z变换与离散状态空间分析法。这种方法是一种直接数字设计方法，不仅更具有一般性，而且稳定性好、精度高。相对而言有时称为精确法。需要注意的是，该法的精确性仅限于线性范围内以及采样点上才成立。,32模拟控制器的离散化,表征模拟校正装置的重要参数是：极点与零点的数目；频带宽度与截止频率；DC增益；相位裕度；增益裕度、超调量、闭环频率响应峰值等。,在选择模拟控制器的离散化方法时，首先必须明白对离散化控制算法有何要求，以保证模拟校正装置的主要特性能得到保持。,模拟控制器的离散化的主要方法Z变化法带有零阶保持器的Z变换法差分变换法双线性变换法,1.Z变化法,Z变换法就是在D(z)与D(s)之间建立的一种映射关系（），这种映射关系保证模拟控制器的脉冲响应的采样值与数字控制器的输出相同。,将D(s)写成部分分式的形式：,则离散化校正装置为：,在设计中所需要的高频部分出现频率混迭问题。为了解决这一问题,可以在上串联一个低通滤波器，从而使转化为新的控制器。,增加采样角频率，使远高于控制器的截止频率。,Z变换的特点：1与的脉冲响应相同；2如果是稳定的，则也稳定；3不能保持的频率响应，频谱以进行延伸；4将的整数倍的信号，变换为Z平面上同一频率点，所以出现了混迭现象(为采样角频率)；5如果是一个复杂的传递函数，则其Z变换很可能无法在一般Z变换表中查到，这时需要进行部分分式展开,2.带有零阶保持器的Z变换法,在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器，再进行Z变换从而得到D(s)的离散化模型D(z),加保持器的Z变换法的特点是：(1)如果D(s)是稳定的，D(z)则也稳定；(2)如果D(s)是一个复杂的传递函数，其Z变换很可能无法在一般Z变换表中查到，这里需要进行部分分式展开；(3)由于串联了零阶保持器，D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。,3.差分变换法（又称数值积分法）,差分变换法将微分方程离散化为差分方程，最后求z传递函数。即变量的导数用有限差分来近似地等效，从而得到一个逼近给定微分方程的差分方程，其中最简单的差分变换是用后向差分或前向差分代替一阶导数。,后向差分,由可得或,于是得出后向差分变换式：,例如：,或,后向差分将使频率响应产生畸变。这一点可从平面的轴在Z平面上的映射可以看出。当时，,取的实部与虚部：,于是S平面上的直线(从到)映射到Z平面是一个用下式描述的圆：,上式是一个圆心在处，半径为的圆，如图32(a)所示，从图中可以看出平面轴在Z平面上的映像，除值极小情况外，均在单位圆内。,由此可得后向差分的性质是：(1)使用方便，而且不要求传递函数的因式分解；(2)一个稳定的变换为一个稳定的；(3)不能保持的脉冲与频率响应。,或,前向差分:,当时，表明其映射为截于单位圆上的一点且平行于纵轴的一条直线，如图3.2(b)所示。由此可知，S平面j的轴在Z平面上的映像除T的极小值外，均在单位圆外，因此这种方法将不利于控制器的稳定性。,根据z变换定义:,展成级数：,同理：,得双线性变换公式：,4.双线性变换法,双线性变换公式可以进行实s传递函数与z传递函数相互转换，转换公式如下：,各种离散化方法的比较,A.本茨和M.普里斯勒通过对图3.5所示的位置随动系统的模拟化设计进行研究，得出如下研究结论：(1)最好的离散化方法是双线性变换法，该方法对低采样频率的结构也很好；(2)如果增益是惟一的性能标准的话，则匹配Z变换法的效果比双线性的效果更好一些；(3)采用频率曲折法可以保持系统临界频率的位置，但不能保持系统的增益和相位。(4)如果模拟控制器中一个极点或零点的位置远离我们所感兴趣的频率以外，则该极点或零点可以不考虑。,3.3数字PID控制,3.3.1理想微分PID控制,设系统的误差为e(t)，则模拟PID控制规律为,它所对应的连续时间系统传递函数为,（1）比例调节器控制规律：,根据误差进行调节，使系统沿着减小误差的方向运动。误差大则控制作用也大。比例调节器一般不能消除稳态误差。增大KP可以加快系统的响应速度及减少稳态误差。但过大的KP有可能加大系统超调，产生振荡，以至于系统不稳定。,（2）比例积分调节器控制规律：,积分调节的引入，可以消除或减少控制系统的稳态误差。但是积分的引人，有可能使系统的响应变慢，并有可能使系统不稳定。增加Ti即减少积分作用，有利于增加系统的稳定性，减少超调，但系统静态误差的消除也随之变慢。,（3）PID调节器控制规律：,微分环节的加入，可以在误差出现或变化瞬间，按偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正作用，有助于增加系统的稳定性。微分时间常数Td的增加即微分作用的增加，将有助于加速系统的动态响应，使系统超调减少，系统趋于稳定。但微分作用有可能放大系统的噪声，减低系统的抗干扰能力。理想的微分器是不能物理实现的，必须要采用适当的方式近似。,PID控制器连续时间系统传递函数,微分,积分,比例,PID模拟控制器的离散化,用矩形法来计算数值积分：,用后向差分来代替微分：,则离散化的PID控制规律为：,上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为PID位置控制算法。这种算式中有一累加项，随着时间k的增加，累加的项次也依次增加，不利于计算机计算。另外，如果由于某种干扰因素导致u(k)为某一极限值时，被控对象的输出也将作大幅度的剧烈变化，由此可能导致严重的事故。就其原因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出的只是当前控制量的大小，与此前时刻控制量的大小却完全不相关。为此，有必要改进上述算法。,在很多控制系统中，由于执行机构是采用步进电机或多圈电位器进行控制的，所以，只要给出一个增量信号即可。,写出K-1的输出值：,上两式相减得PID增量式控制算法,增量式PID算法与位置式PID算法的比较：,两者本质相同，只是前者需要使用有附加积分作用的执行机构。但有如下优点：1、计算机只输出增量，误动作时影响小，必要时可增设逻辑保护；2、手动/自动切换时冲击小；3、算式不需要累加，只需记住四个历史数据，即e(k-2),e(k-1),e(k)和u(k-1),占用内存少，计算方便，不易引起误差累积。,数字PID控制算法程序框图,PID控制规律的脉冲传递函数形式,两边求z变换，并注意到，得,理想微分PID控制的实际效果并不理想，从阶跃响应看，它的微分作用只能维持一个采样周期。由于工业用执行机构(如气动调节阀或电动调节机构)的动作速度限制，致使偏差大时，微分作用不能充分发挥，再加之理想微分还容易引进高频干扰。为此，实际应用中，几乎所有的数字控制回路，通常都加一低通滤波器来限制高频干扰的影响。,问题：,1、实际微分PID控制算式一通过一级低通滤波器来限制高频干扰的影响,332实际微分PID控制,低通滤波器和理想微分PID算式相结合后的传递函数为：,若令（Kd为微分系数）,则差分方程：,2、实际微分PID控制算式之二,实际微分PID算式的传递函数：,利用差分变换法得出微分作用输出差分方程为：,图中的前置方块主要起微分作用，所以它也称为微分先行PID控制。,积分作用输出差分方程为：,比例作用输出差分方程为：,位置型算式为：,同样，也可以得出其增量式,3、实际微分PID控制算式之三不完全微分,微分环节上加一个惯性环节,比例、积分和微分三个框的输出差分方程,由图可见，本算法是微分环节上加一个惯性环节，故也称不完全微分PID控制,它仅改变了标准PID控制器的微分部分，使得在偏差发生突变时，微分作用可比较平缓。,3.3.3标准PID控制算法的改进,在实际应用中，数字PID控制器的控制效果有时不如模拟PID控制器。原因：主要是因为数字调节器的控制量在一个采样周期内保持不变，使得在这段时间内系统相当于开环运行。其次由于计算机的数字运算以及数字量输入输出的时间，使得控制作用在时间上有延滞，计算机的有限字长及AD，DA转换精度也给控制量带来了误差。办法：充分发挥计算机运算速度快，逻辑判断功能强，编制程序灵活等优势。手段：对PID算法进行了一系列改进。,3.3.3标准PID控制算法的改进,3.3.3.1积分项的改进,在PID控制中，积分作用是消除余差。,1、梯形积分提高积分项的运算精度将矩形积分用梯形积分来代替。代价：增大存储量和需要更多的运算时间。,2、消除积分不灵敏度采用以下措施：增加A/D转换位数，加长运算字长，这样可提高运算精度。当积分项连续出现小于输出精度的情况下，不要把它们作为“零”舍掉，而是把它们一次一次累加起来，即,直到累加值Si大于时，再输出Si。,3、PID算法积分饱和现象及其抑制,图312PID位置式算法的积分饱和现象,过限削弱积分法,一旦控制变量进入饱和区，则程序只执行削弱积分项的运算，而停止增大积分项的运算。如图所示，u出现饱和后，在e0阶段，因为这时将增大积分项，所以停止积分运算。而在ek时：,综合以上4个对(z)的要求，总结出最少拍控制系统设计步骤如下：,1求出广义对象的脉冲传递函数,2.设G(z)中有个采样周期的纯滞后，w个单位圆外或单位圆上的零点Z1，Z2，Z3，Zw，个单位圆外或单位圆上的极点P1，P2，P3，P。即,设输入信号为：,其中，G(z)没有单位圆外或单位圆上的零、极点。,3综合考虑前面讨论的对(z)的4个要求，令：,若G(z)有k个z=1的极点，则可将相应的(1-z-1)k由式3.94中的中提出，并与(1-z-1)m合并为一项(1-z-1)j，其中j=max(k，m)。此时式3.97变为：,又因为：,则有：,由此可得如下一组方程：,那么这组方程共有j+v-k个方程，由这些方程可确定(z)中的待定的多项式0(z)的前j+v-k个系数，由此多项式最少应为j+v-k-1阶。即有：,4(z)的阶次为(l+w+p)、1-(z)的阶次为(j+-k+q),因(z)与1-(z)的阶次相同，应有：,其中p，q待定。为满足上式，则有：,5根据下式,同次幂系数相等的原则。可得出个方程，由之确定0(z)和F(z)中的未知系数和,6得出最少拍数字控制器,例31设计算机控制系统结构如图221所示。其中,已知：采样周期T=0.025，输人为斜坡信号。试设计最少拍控制系统D(z)。,系统广义对象传递函数为,其脉冲传递函数:,G(z)的极点为1(单位圆上)和0.368(单位圆内)；零点为-0.718(单位圆内)。其中只有极点1在单位圆上，故w=0，k=1。对于斜坡信号有，即m=2。由于稳态误差为零，要求必须有因子，而稳定性要求必须有因子，前者显然已包含了后者，故可取j=2。另外，由G(z)可得出。从而有，。,根据以上分析，设:,对单位斜坡输入，闭环系统的输出序列为:,数字控制器的输出序列(即控制变量)为:,例34考虑如图221所示的系统，设广义对象的脉冲传递函数,设系统采样周期T0.05s，典型输人信号为阶跃信号和斜坡信号，试设计最少拍控制系统。,G(z)有两个z1(单位圆上)的极点和一个z0.286(单位圆内)的极点；一个z=-278(单位圆外)的零点和一个z=-0.2(单位圆内)的零点。G(z)还有一拍的纯滞后。因此有k=2，w=1，l=1。对于要跟踪的阶跃信号和斜坡信号，分别有和,若按分母阶次较小的R1(z)进行设计，则当系统输入为R2(z)时，稳态误差将为无穷大。因此，应按分母阶次较大的R2(z)进行设计，取m=2。由于G(z)在z=1有两个极点，由稳定性要求所必须包含的因子(1z-1)2与稳态误差要求所必须包含的因子(1z-1)2是一致的。因此，两者可合并为一项(1z-1)2。即可令j=2。根据式(396)有p=j+-k-1=1q=l+w-1=1阶次确定后，可令由比较同次幂系数可得方程,所求的最少拍数字控制器:,在单位阶跃输入下系统的输出为:,在单位斜坡输入下系统的输出:,最少拍控制系统具有最快速的向应。但是它的输出在采样点之间存在有纹波，同时它还需要有很大的控制作用，这个控制作用有可能加剧采样点之间的振荡，还可能在DA输出端引起饱和。另外，针对某一典型输入所设计的最少拍控制器，对其它输人信号适应性较差。同时，最少拍控制系统还对参数变化过于敏感，参数变化有可能导致控制效果急剧下降。因此，除个别情况以外，最少拍控制系统实用意义不大。,35最少拍无纹波控制系统设计,按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限拍后即进人稳态。这时闭环系统输出c(k)在采样时刻精确地跟踪输入信号。虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输人一致，但是在两个采样时刻之间，系统的输出存在着纹波或振荡。这种纹波不但影响系统的控制性能，产生过大的超调和持续振荡，而且还增加了系统功率损耗和机械磨损。最少拍系统产生纹波的原因纹波产生根源是零阶保持器的输入序列u(k)在稳态误差消除后，仍然围绕自己的平均值上下波动。,35最少拍无纹波控制系统设计,由可以得到控制信号U(z)对输入R(z)的脉冲传递函数为：设广义对象脉冲传递函数为,则：,P(z)的零点即是G(z)的零点。由于R(z)到U(z)的脉冲传递函数是一个有理分式，从而它的单位脉冲响应为无限长。如果我们在选择时，令包含G(z)的所有零点，则由式(3105)，P(z)与中相应因子产生相消，使得由R(z)到U(z)的脉冲传递函数为一阶次有限的z-1多项式，这就表示它的脉冲响应时间为有限长了。这样，经过有限拍之后，控制变量u(k)或者为零，或者为常数，不会再产生振荡，从而避免了连续被控对象的输出c(t)在采样时刻之间的纹波。,为消除纹波，对闭环系统传递函数的附加要求是：必须包含广义对象G(z)的所有零点。,例35设计算机控制系统的结构及参数均与例33相同，试针对斜坡输入信号，设计最少拍无纹波控制系统。,由例33知广义对象脉冲传递函数,分析可知，w=1(包括G(z)的所有零点)，=1（G(z)有一个位于单位圆上的极点1），l=1。对于斜坡信号m2。考虑到对稳态误差的要求所对应的因子(1-z-1)2，包含了对稳定性要求所对应的因子(1-z-1)，故将两者合并，即取m+=2。计算得：p=m+-1=1，q=l+w-1=1。,则最少拍无纹波控制器为:,闭环系统输出序列:,数字控制器的输出序列(即系统的控制变量):,将图319与图317比较，可以看出，有纹波系统的调整时间为两个采样周期，系统输出跟随输入函数后，由于数字控制器的输出仍在波动，所以系统输出与采样时刻之间有纹波。无纹波系统的调整时间为三个采样周期，系统输出进入稳态所需时间比无纹波系统增加了一个采样周期。由于系统中数字控制器的输出经3T后为常值，所以无纹波系统输出在采样点之间不存在纹波。,36最少拍控制系统的改进,最少拍控制是以调节时间最短为设计准则；最少拍无纹波控制是以调节时间最短和输出无纹波为设计准则。他们的共同缺点是：对输入信号适应性差；对系统参数变化特别敏感，控制效果较差。一般采用的其改进算法，如：阻尼因子法、非最少的有限拍控制等等。,阻尼因子法是改进最少拍系统对输入信号的适应能力的一种方法。,361阻尼因子法,例3.6设广义对象脉冲传递函数:,系统的典型输入函数为斜坡输入。,于是得数字控制器为:,362非最少的有限拍控制,将再乘上一个z-1的有限阶多项式H(z)=h0+h1z-1+hnz-n，使得和的阶次均适当提高。,通过适当选择hi，可以改变中各项的系数，从而降低系统对参数变化的灵敏度。,例37：,为降低闭环系统对参数变化的灵敏度，试对斜坡输入设计非最少的有限拍控制系统，并验证当实际广义对象G(z)变化后系统的输出。,设非最少的有限拍控制系统对应的闭环脉冲传递函数为，则有,由之可得出:,非最小的有限拍控制器为：,采用D(z)的闭环系统对单位斜坡输入的响应为:,当实际广义被控对象变化时，系统闭环传递函数为,注意到这时，不再是有限阶次的z-1多项式，因此系统响应已不再是有限拍的了。系统对单位速度输入的响应为,显然，尽管系统参数发生了较大变化，但系统的输出响应仍然是比较好的。,另外，采用非最少的有限拍控制器，还有利于减少控制变量的幅值。,37达林算法,在控制系统设计中，纯滞后往往是影响系统动态特性的不利因素，工业过程中如热工和化工过程中往往会有这样的纯滞后环节。这种系统如果控制器设计不当，常常会引起系统的超调和持续振荡。而对这类系统的控制要求，快速性往往是次要的，通常主要要求系统没有超调量或很少超调量，要求系统闭环稳定，而调整时间允许在较多的采样周期内结束。对这样的系统，若采用PID算法，效果往往不好。这时可采用达林算法。,连续时间的被控对象Gp(s)是带有纯滞后的一阶或二阶惯性环节，即：,或：,达林算法的设计目标是要设计一个合适的数字控制器，使整个闭环系统相当于一阶惯性环节。如果被控对象有纯滞后，则闭环系统还包括同样的纯滞后环节，即：,系统中采用的保持器为零阶保持器，与相对应的整个闭环系统的脉冲传递函数为,达林算法所设计的控制器：,D(z)即为我们所求的数字控制器，显然它随被控对象不同而不同。,一阶惯性环节加纯时滞NT的被控对象，其广义对象脉冲传递函数G(z)为：,它所对应的达林算法控制器,带纯滞后=NT的二阶惯性环节，相应的广义对象脉冲传递函数：,它所对应的达林算法控制器:,例38,采样周期T1s，试用达林算法设计数字控制器D(z)。,广义对象的脉冲传递函数,根据达林算法，构成的惯性环节与滞后时间=2s的纯滞后环节串联而成的理想闭环系统。,C(z)=R(z)(z),它所对应的理想闭环脉冲传递函数:,所求的数字控制器,数字控制器的输出(即系统的控制变量)为：,本例中，闭环系统输出以指数形式较快地趋向于稳态值，但是控制量则以二分之一采样频率大幅度的衰减振荡，这种现象称为振铃(ringing)现象。,例38的闭环系统输出以指数形式较快地趋向