点对点专升本高等数学模拟卷 第3卷-答案1

点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 浙江省 2020 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 点对点高等数学模拟卷第 3 卷答案 时间:150 分钟满分:150 分 一、选择题:本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数 2 )2)(1( )2sin(| )( xxx xx xf 在下列哪个区间内有界. (A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限 )(limxf ax 与 )(limxf bx 存在，则函数f(x) 在(a,b)内有界. 【详解】当x 0 , 1 , 2 时，f(x)连续，而 18 3sin )(lim 1 xf x ， 4 2sin )(lim 0 xf x ， 4 2sin )(lim 0 xf x ， )(lim 1 xf x ， )(lim 2 xf x ， 所以，函数f(x)在(1 , 0)内有界，故选(A). 2.设函数( )f x是可导函数，且满足( )( )0f x fx ，则 （A）(1)( 1)ff（B）11( )()ff （C）11( )()ff （D）11( )()ff 【详解】 设 2 ( )( ( )g xf x， 则( )2 ( )( )0g xf x fx ， 也就是 2 ( )f x是单调增加函数 也 就得到 22 (1)( 1)(1)( 1)ffff，所以应该选（C） 3.曲线渐近线的条数为(C) （A）（B）（C）（D） 4.设非齐次线性微分方程( )( )yP x yQ x 有两个不同的解 12 ( ),( ),y xyx C为任意常数， 则该方程的通解是 （） 12 ( )( )C y xyx.（） 112 ( )( )( )y xC y xyx. （） 12 ( )( )C y xyx.（） 112 ( )( )( )y xC y xyx 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 【详解】 由于 12 ( )( )y xyx是对应齐次线性微分方程( )0yP x y 的非零解， 所以它 的通解是 12 ( )( )YC y xyx，故原方程的通解为 1112 ( )( )( )( )yy xYy xC y xyx，故应选(). 【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构： *yyY. 其中*y是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解. 5.设 2 nn n aa p ， 2 nn n aa q ，, 2 , 1n，则下列命题正确的是 (A) 若 1n n a条件收敛，则 1n n p与 1n n q都收敛. (B) 若 1n n a绝对收敛，则 1n n p与 1n n q都收敛. (C) 若 1n n a条件收敛，则 1n n p与 1n n q敛散性都不定. (D) 若 1n n a绝对收敛， 则 1n n p与 1n n q敛散性都不定.B 【详解】若 1n n a绝对收敛，即 1n n a收敛，当然也有级数 1n n a收敛，再根据 2 nn n aa p ， 2 nn n aa q 及收敛级数的运算性质知， 1n n p与 1n n q都收敛，故应选 (B). 二、填空题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 6.(, 1)( 1,) 7、要使函数x xxf 2 )21 ()(= 在点0x处连续，则需补充定义)0(f_ 【解析】 21 ( 4) 4 2 000 lim( )lim(1 2 )lim(1 2 )(0) xx xxx f xxxef 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 8. 1 1 lim1. n n n n 【详解】 ( 1) 111 lnlim ( 1) ln 1 limlimee n n n n nn nn nn n n ， 而数列( 1)n有界， 1 limln0 n n n ，所以 1 lim( 1) ln0 n n n n . 故 1 0 1 lime1 n n n n . 9.已知 x y xy ln 2 ，求 1, 1yx dx dy = 答案：1 10.求极限 x x dtttt xx 0 2 0 sin tan lim = 答案： 2 3 11.计算xdxxsectan 3 . 解：原式 Cxxxxxdxdxxdxxx secsec 3 1 secsecsecsec) 1(secsectantan 3222 12.设 3 4 1 () 1 xx f x xx ，则 2 2 2 ( )_f x dx . 【答案】 1 ln3 2 【详解】2 2 2 11 1 1 1 2 xx xx fx x x x x x ，令 1 tx x ，得 2 2 t f t t 所以 2 22 22 2 2 2 222 111 ln2ln6ln2ln3 2222 x f x dxdxx x . 13.已知 0 2 2 1 1 dx x k ，求k的值. 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 答案： 1 14.曲线 2 11 sin 2 x y xx 的水平渐近线方程为 解析： 2 1 , 2 1 2 1 lim 1 sin 2 1 lim 2 22 y x x xx x xx 即水平渐近线 15. 1 220 (2) 1 xdx xx 4 . 三、计算题：本题共有 8 小题，其中 1-4 小题每小题 7 分，5-8 小题每小题 8 分，共 60 分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。 16.求) cos sin 1 (lim 2 2 2 0 x x x x . 【分析】先通分化为“ 0 0 ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】 xx xxx x x x xx 22 222 0 2 2 2 0 sin cossin lim) cos sin 1 (lim = 3 4 6 )4( 2 1 lim 6 4cos1 lim 4 4sin 2 1 2 lim 2sin 4 1 lim 2 2 0 2 0 3 0 4 22 0 x x x x x xx x xx xxxx 17.曲线 3 3 21 1 xtt yt 在点（0，2）处的切线方程为. 3 3 2 2 021 1 21 3 3,332 32 tt t t dy dyt dt kyx dx dxt dt 即，切线方程： 18.求不定积分 2 ln d (1) x x x . 【解析】 2 ln d (1) x x x 1ln1 ln dd 11(1) x xx xxxx 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ ln11 d 11 x x xxx ln ln 11 xx C xx 19.计算定积分 5 1 1 d 11 x x 【解析】 1 522 100 121 dd21d 1111 xt t xtt ttx 2 0 2ln(1)42ln3tt 20.若函数( )f x满足方程 ( )( )2 ( )0fxfxf x及 ( ) ( )2 x fxf xe，求( )f x. 答案： “” 解：解此二阶常系数齐次线性方程得通解 又因满足可得，故 21.设某商品从时刻 0 到时刻t的销售量为( ),0, (0),x tkt tTk欲在T时将数量为A 的商品售完，试求： （1）t时的商品剩余量，并确定k的值； （2）在时段0, T上的平均剩余量. 解析： （1）, ( ),0, AA ky tAt tT TT ； （2） 2 A y 。 22.求由直线 1 111 : 131 xyz L 和直线 2 1 :12 1 3 xt Lyt zt 所确定的平面方程 【解析】直线 1 L与 2 L的交点坐标为(1,1,1) 所求平面的法向量可取为(1,3,1) (1,2,3)(7, 2, 1)n ， 故所求平面方程为7(1)( 2)(1)( 1)(1)0 xyz ， 即7240 xyz 23.求幂级数 1 1 1 2 n n n x n 的收敛域，并求其和函数( )s x. 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 解析：收敛域为 2,2)， ln(1) 2 , 2,0)(0,2) ( ) 1 ,0 2 x x s xx x 四、综合题：本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分。 24.设 )(x 是定义在),(上的连续函数，且满足方程 x xdttt 0 )(1)(。 （1）求函数)(x的解析式； （2）讨论函数 0, 2 1 0, 1)( )( 2 x x x x xf 在0x处的连续性与可导性。 【解析】 （1）已知 x xdttt 0 )(1)(，两边同时对x求导，得 )()(xxx 。求解微分方程，得 2 2 )( x Cex ，令0x，代入)(1)( 0 xdttt x 得 1)0( ，所以1C，故 2 2 )( x ex 。 （2） )0( 2 1 2 lim 1 lim 1)( lim)(lim 2 2 0 2 2 0 2 00 2 f x x x e x x xf x x xxx 。 所以)(xf在0x处连续。 又 3 2 0 2 00 2 2)(2 lim 2 11)( lim 0 )0()( lim)0( x xx x x x x fxf f xxx 0 3 2 lim 3 1 lim 6 22 lim 2 0 2 0 2 2 0 22 x x x e x xxe x x x x x 。 所以)(xf在0x处可导，且0)0( f 。 25.证明：当0x时， ) 1ln( 2 1 1 2 xxex。 【解析】令) 1ln( 2 1 1)( 2 xxexf x ，则 1 1 )( x xexf x ， 2 ) 1( 1 1)( x exf x ，当0x时，0)( x f ，所以)(x f 单调递增， 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 0)0()(fxf ，从而 )(xf 单调递增，