福建泉州泉港区第一中学高二数学下学期期中理

泉港一中2018-2019学年下学期期中考试卷高二理科数学第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数，从而根据对应点的坐标得到结果.【详解】对应的点坐标为：对应的点位于第一象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的问题，关键是能够通过复数的除法运算化简复数，属于基础题.2.已知随机变量的分布列表，又随机变量，则的均值是（ ）01A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】根据随机变量概率分布特点求得，进而根据随机变量均值公式求解出；再根据求得结果.【详解】由题意得： 由题意可得：本题正确选项：【点睛】本题考查随机变量概率分布及均值的求解、均值的性质应用，属于基础题.3.已知，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导函数求得，从而得到，代入得到结果.【详解】由题意：，则解得： 本题正确选项：【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是能够通过导函数求得，从而确定导函数的解析式.4.的展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二项展开式通项公式可知当时得常数项，代入通项公式求得结果.【详解】展开式的通项公式为：当，即时常数项为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形式，属于基础题.5.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题6. 现用4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有（ ）A. 24种B. 30种C. 36种D. 48种【答案】D【解析】分两种情况：一种情况是用三种颜色有；二种情况是用四种颜色有.所以不同的着色方法共有48人7.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（ ）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则增加了项，故选D。8.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】C【解析】 根据题意，可分三种情况讨论： 若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有种情况， 将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序种情况， 当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有种安排方法，此时有种不同坐法；若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有种情况，考虑父母之间的顺序，有种情况，则这个整体内部有 种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时有种不同坐法；小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时，共有种不同坐法；综上所述，共有种不同的坐法，故选C.点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案。9.已知函数为自然对数的底数），则的大致图象是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据可排除；利用零点存在定理可知在上存在零点，由此可知在上先增后减，由此排除，得到正确选项.【详解】当时，可排除由题意得：，即函数在处的切线斜率小于0，可排除B本题正确选项：【点睛】本题考查函数图象的判断，解决此类问题通常采用排除法来求解，利用特殊值、单调性来依次排除，从而得到正确结果.10.已知是焦距为8的双曲线的左右焦点，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意知AF2=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OBAF1，由AF2OB，可得AF2AF1，AF2=4，点F2（4,0），渐近线：x，所以，解得：b2，2，所以离心率为e2,故选C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题11.若函数，则满足的的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断函数为定义域上的奇函数，且为增函数，再把化为，求出解集即可【详解】解：函数，定义域为，且满足 ，为上的奇函数；又恒成立，为上的单调增函数；又，得，即，解得或，所以的取值范围是故选：B【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题12.已知实数，满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】设，得，变形，令，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可【详解】设，则，令，(m)=m0,m1,(m)0,则在单调递增单调递减，令，则单调递减，单调递增由题意，,故x+y=2故选：A【点睛】本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置）13.用反证法证明命题“若，则且”时，应假设为_【答案】或【解析】分析：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果.详解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“或”，故答案为或.点睛：用反证法证题的步骤是反设结论、推出矛盾、肯定结论，反正法的理论依据是原命题和逆否命题等价，从而得到需要首先假设其否定成立，从而求得结果.14.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为_. 【答案】【解析】【分析】根据积分求解出阴影部分面积，再利用几何概型求解得到结果.【详解】由图象可知，直线方程为：则阴影部分面积为：所求概率本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中面积型的求解，关键是能够通过积分的知识求得阴影部分面积.15.若，则_【答案】10【解析】分析：先对方程两边求导得，再令x=1即得解.详解：对方程两边求导得，令x=1得101=10.故答案为：10.点睛：（1）本题主要考查导数和二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和观察分析推理能力.(2)解答本题的关键是对方程两边求导得.16.已知，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是_（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可设过原点的直线与相切与点，由，则此切线方程为，又此直线过原点，则求得，即切线方程为再结合图象可得实数的取值范围是，得解.【详解】解：由，可得：在的图象关于直线对称，有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，的图象与直线的位置关系如图所示，设过原点的直线与相切与点，由，则此切线方程为：，又此直线过原点，则求得，即切线方程为：，由图可知：当的图象与直线的交点个数为2时，实数的取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型三、解答题（本大题共6小题，共70分解答需写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数在处取得极值.（1）确定值；（2）若，求函数的单调减区间.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用取极值时导函数等于零构造方程，求得结果；（2）由（1）得解析式，求导后，利用导函数小于零，求得单调递减区间.【详解】（1）由题意得：在处取得极值 即，解得：，经检验满足题意.（2）由（1）得 令，得：解得：函数的单调递减区间为【点睛】本题考查导数与极值的关系、利用导数求解函数的单调区间问题，属于基础题.18.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中号歌手的概率；利用求得结果；（2）根据，分别求解出两人选择号歌手和三人选择号歌手的概率，加和得到结果.【详解】（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手”则，事件与相互独立，与相互独立则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手”即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是（2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则依题意，相互独立，相互独立，且，彼此互斥 故“”的事件的概率为【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题.19.如图，在四棱台中，底面是菱形，平面（1）若点是的中点，求证：平面；（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）存在，且长度为【解析】【分析】(1) 连接,可得四边形是平行四边形，可得，可证得/平面；（2）取中点，连接，可得是正三角形，分别以,为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点的坐标为，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，由二面角的余弦值为可得的值，可得的长.【详解】解：（1）证明：连接,由已知得，且所以四边形是平行四边形，即， 又平面，平面，所以/平面（2）取中点，连接因为是菱形，且，所以是正三角形，所以即，由于是正三角形所以，分别以,为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系,如图，假设点存在，设点的坐标为，设平面的法向量则即，可取平面的法向量为所以，解得：又由于二面角大小为锐角，由图可知，点E在线段QC上，所以，即【点睛】本题主要考查立体几何的相关知识，涉及线面的垂直关系，二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.本题对考试的空间想象能力与运算能力有较高的要求.20.某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成，考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响（1）求甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；（2）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力【答案】（1）见解析；（2）甲的实验操作能力较强【解析】【分析】（1）首先确定甲、乙做对题数可能的取值；根据超几何分布和二项分布的概率求解方法得到每个取值所对应的概率，从而得到分布列；再利用数学期望公式求解得到结果；（2）分别计算方差和甲、乙两人通过的概率；则可知甲较稳定，且通过的概率较大，从而可知甲实验操作能力更强.【详解】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，的取值分别为；的取值分别为；考生甲正确完成题数的分布列为：；考生乙正确完成题数的分布列为：（2）又，从数学期望角度考察，两人做对题数水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成题的概率考察，甲获得通过的可能性大甲的实验操作能力较强【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用均值和方差解决实际问题，关键是能够确定二人做对题数的概率分布服从于超几何分布和二项分布，从而利用概率公式求解得到结果.21.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，椭圆上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为；（1）求椭圆的方程；（2）过作垂直于轴的直线交椭圆于两点（点在第二象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率和三角形面积可构造关于的方程，解方程可求得，进而得