2013 天津高考数学试卷(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）（文科数学）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合， 则( ). A. B.C.D. 分析：先化简集合，再借助数轴进行集合的交集运算.解析 所以故选D.2. 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为( ).A.B.C. D. 分析 作出可行域，平移直线，得出的最小值.解析 作出可行域如图所示，平移直线，当直线过可行域内的点时，有最小值，故选A.3. 阅读右边的程序框图， 运行相应的程序， 则输出的值为( ). A.B. C.D. 分析：结合循环结构逐步执行求解.解析 第一次：第二次：第三次：第四次：满足，跳出循环，输出故选D.4. 设， 则 “”是“”的( ).A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件分析 分别判断由是否能得出成立和由是否能得出成立.解析 由不等式的性质知成立，则成立；而当成立时，不成立，所以是的充分而不必要条件.故选A.5. 已知过点的直线与圆相切， 且与直线垂直， 则( ).A. B. C. D. 分析 由圆的切线与直线垂直，设切线方程为，再代入点，结合圆心到切线的距离等于圆的半径，求出的值.解析 由题意知圆心为，由圆的切线与直线垂直，可设圆的切线方程为，由切线过点，所以所以，解得.故选C.6. 函数在区间上的最小值是( ).A. B. C. D. 分析：确定出的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值.解析 因为所以所以当时，有最小值故选B.7. 已知函数是定义在上的偶函数， 且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的取值范围是( ).A. B. C. D. 分析 根据函数的单调性和奇偶性得出关于的不等式求解.解析 因为所以原不等式可化为又因为在区间上单调递增，所以即因为是偶函数，所以又在区间上单调递减，所以所以 综上可知故选C.8. 设函数. 若实数满足， 则( ).A. B. C. D. 分析 首先确定的范围，再根据函数的单调性求解.解析 因为所以是增函数.因为的定义域是所以所以是上的增函数.因为所以 因为所以所以故选A.第卷二填空题: 本大题共6小题， 每小题5分， 共30分. 9. 是虚数单位. 复数 .分析 复数的乘法运算.解析 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为， 则正方体的棱长为 .分析：先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.解析 设正方体棱长为，球半径为，则所以所以所以11. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点， 且双曲线的离心率为，则该双曲线的方程为 .分析：首先由题设求出双曲线的半焦距，再求出的值.解析 由题意可知抛物线的准线方程为，所以双曲线的半焦距又双曲线的离心率为2，所以所以双曲线的方程为12. 在平行四边形中， ，为的中点. 若， 则的长为 .分析：用表示与，然后进行向量的数量积计算.解析 由已知得所以所以13. 如图所示， 在圆内接梯形中， 过点作圆的切线与的延长线交于点. 若， 则弦的长为 .分析：根据圆内接四边形的性质、切割线定理、相似三角形的性 质列出比例式求解.解析 因为，所以四边形是等腰梯形，所以.又是切线，所以，所以.因为所以所以于是14. 设， 则的最小值为 . 分析 分和，去掉绝对值符号，用均值不等式求解.解析 当时，当，综上所述，的最小值是三解答题: 本大题共6小题， 共70分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为， 用综合指标评价该产品的等级. 若， 则该产品为一等品. 现从一批该产品中， 随机抽取件产品作为样本， 其质量指标列表如下: 产品编号质量指标产品编号质量指标（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; （2）在该样品的一等品中， 随机抽取件产品， (i) 用产品编号列出所有可能的结果；(ii) 设事件为 “在取出的件产品中， 每件产品的综合指标都等于”， 求事件发生的概率. 分析 用列举法计算随机事件所含的基本事件数，用古典概型及其概率计算公式求出概率.解析（1）计算件产品的综合指标，如下表：产品编号其中的有共件，故该样本的一等品率为从而可估计该批产品的一等品率为.（2）在该样本的一等品中，随机抽取件产品的所有可能结果为，共种.在该样本的一等品中，综合指标等于的产品编号分别为则事件发生的所有可能结果为共种. 所以16. (本小题满分13分)在中， 内角所对的边分别是. 已知， . （1）求的值; （2）求的值. 分析 （1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和两角差公式求值.解析 （1）在中，由可得又由可得.又故由可得（2）由得进而得所以17. (本小题满分13分) 如图所示， 三棱柱中， 侧棱底面，且各棱长均相等.分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值. 分析 （1）连接，证明四边形是平行四边形，从而证得结论；（2）证平面，得出结论；（3）作出直线与平面所成的角，解求角的正弦值.解析（1）如图所示，在三棱柱中，且，连接，在中，因为分别为的中点，所以且.又因为为的中点，可得且，即四边形为平行四边形，所以.又，所以平面.（2）由于底面是正三角形，为的中点，故.又由于侧棱底面平面，所以.又因此平面.而平面，所以平面平面（3）在平面内，过点作交直线于点，连接.由于平面平面而直线是平面与平面的交线，故平面.由此可得为直线与平面所成的角.设棱长为，可得由，易得在中， 所以直线与平面所成角的正弦值为18. (本小题满分13分)设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为(1) 求椭圆的方程；(2) 设， 分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点 若，求的值分析 （1）由已知条件建立关于，的方程组，求得，的值，得到椭圆方程；（2）设出直线方程，利用根与系数的关系，结合平面向量的数量积的坐标运算建立关于斜率的方程进行求解.解析 （1）设，由，知.过点且与轴垂直的直线为，代入椭圆方程有，解得，于是，解得.又，从而，所以椭圆的方程为.（2）设点，由得直线的方程为，由方程组消去，整理得.由根与系数的关系可得，.因为，所以. 由已知得，解得.19. (本小题满分14分)已知首项为的等比数列的前项和为， 且成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）证明. 分析（1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；（2）求出前项和，根据函数的单调性证明.解析（1）设等比数列的公比为.因为成等差数列，所以即可得于是又因为所以等比数列的通项公式为（2）当为奇数时，随的增大而减小，所以当为偶数时，随的增大而减小，所以 故对于有20. (本小题满分14分)设， 已知函数 （1）证明在区间内单调递减， 在区间内单调递增；（2）设曲线在点处的切线相互平行， 且 证明：. 分析 （1）利用导数和二次函数的性质证明；（2）利用（1）的结论、直线平行的条件用参数表示出用换元法证明结论.解析 证明：（1）设函数由于从而当