北京东城区高三数学下学期综合练习文

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后进行交集运算即可.【详解】求解不等式可得 ：，结合交集的定义可知：.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（ ）A. 2B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先分析复数z的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z的值.【详解】不妨设，则，结合题意可知：，逐一考查所给的选项：对于选项A：，不合题意；对于选项B：，符合题意；对于选项C：，不合题意；对于选项D：，不合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知圆，则圆心到直线的距离等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化圆为标准方程，得圆心坐标即可求解【详解】由题,则圆心（-1,0），则圆心到直线的距离等3-（-1）=4故选：D【点睛】本题考查圆的方程，点到线的距离公式，熟记一般方程与标准方程的互化是关键，是基础题4.设为的边的中点，则的值分别为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将向量用向量和表示出来即可找到m和n的值，得到答案【详解】（）-mn故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，将向量用向量和表示出来是解题的关键，属基础题5.正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 平行四边形D. 梯形【答案】A【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可.【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.若满足则的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线距离的倍最大，据此可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故选：D.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义7.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“相等”是“总相等”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题“总相等”一定能推出“相等”，反之举反例即可【详解】由祖暅原理知：“总相等”一定能推出“相等”，反之：若两个同样的圆锥，一个倒放，一个正放，则体积相同，截面面积不一定相同故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，立体几何综合，理解祖暅原理是关键，是基础题8.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 , , ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A. B. C. 96%D. 98%【答案】C【解析】【分析】设投1票的有x,2票的y,3票的z,由题列出x,y,z的关系，推理即可【详解】设投1票的有x,2票的y,3票的z，则,则z-x=4,即z=x+4,由题投票有效率越高z越小，则x=0时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96%故选：C【点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.在等差数列中，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由等差数列的性质可得答案【详解】根据题意，等差数列an中，2，则（）1；故答案为1【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，准确计算是关键，属于基础题10.抛物线C:上一点到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为_.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；【详解】抛物线C：y22px（p0）的准线方程为x，由抛物线的定义可知13，解得p4，C的方程为y28x；故答案为【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，熟记定义是关键，属于基础题11.在中，若，则=_.【答案】【解析】【分析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得C的大小.【详解】由题意结合正弦定理可得：，由于，故，则.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数，若对于闭区间中的任意两个不同的数，都有成立，写出一个满足条件的闭区间_.【答案】 （答案不唯一）【解析】【分析】由题在闭区间单调递减，则求的一个单调减区间即可【详解】由题因为任意两个不同的数，都有则知在闭区间单调递减，即,当k=0时，故答案为【点睛】本题考查三角函数的单调性，函数单调性定义，熟记三角函数性质，准确计算是关键，是基础题13.设函数 若，则的最小值为_； 若有最小值，则实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)将a=1代入函数，分析每段函数的最小值，则的最小值可求；(2)讨论a0时函数的单调性和最小值即可求解【详解】(1)当a=1,=()=()0,1xln2;()0,xln2;故当=，单调递增，故，又所以的最小值为0(2) 当a0时，（）单调递增，故对=，当0ln2, 由(1)知,此时最小值为,即有最小值，综上a故答案为 ； 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性最值，分类讨论思想，分段函数，准确分类讨论是关键，是中档题14.设是的两个子集，对任意，定义：若，则对任意， _；若对任意，则的关系为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意分类讨论xA和xA两种情况即可求得的值，结合题中的定义和m,n的关系即可确定A,B之间的关系.【详解】AB.则xA时,m=0,m(1n)=0.xA时,必有xB,m=n=1,m(1n)=0.综上可得：m(1n)=0.对任意xR，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即xA时，必有xB，或xB时，必有xA，A,B的关系为.【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.已知函数.（）求的值；（）求的最小正周期，并画出在区间上的图象.【答案】（）-1；（）详见解析.【解析】【分析】（）将x=代入解析式求解即可；（）化简得f（x），可得f（x）的最小正周期为，根据五点作图法，列表描点即可画出函数在0，上的图象【详解】（I） .（） .所以的最小正周期.因为，所以.列表如下：【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，五点作图法做正弦函数的图象，属于基本知识的考查16.已知等比数列的首项为2，等差数列的前项和为 ，且， ，.（）求，的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）的公差为d，由题意,利用等差数列的通项公式得q,求得，再列的方程，利用等差数列即可得出（II）利用分组求和法求和公式即可【详解】（）设数列的公比为，数列的公差为.由，得.因为，所以.所以.由得解得所以.（）由（）知，.所以.从而数列的前项和【点睛】本题考查等差，等比数列通项公式，求和公式，分组求和，熟记通项公式，准确求和是关键，是中档题17.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）（）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；（）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（）；（）；（）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大【解析】【分析】（）由图利用古典概型求值即可；（）求出任选两年的基本事件总数，列举满足条件的基本事件，即可求概率（）由题分析即可求解【详解】（）设表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上”根据题意，（）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为，其它三年设为，从五年中随机选出两年，共有10种情况：，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有种情况，所以所求概率为.（）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大【点睛】本题考查条形图和折线图，古典概型，方差，准确识图是关键，是中档题18.如图，在四棱锥中，平面， ，为侧棱上一点. （）若，求证：平面；（）求证：平面平面；（）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）存在，线段PF长.【解析】【分析】（）设，连结，由，得，进而证明，即可证明；（）由勾股定理推导，进而证明平面即可求解；（）在平面内作于点，证明平面，进而在直角三角形PAD中求长度【详解】（）设，连结，由已知，,得.由,得.在中，由，得.因为平面，平面，所以 平面.（）因为平面，平面，所以.由已知得，所以.所以.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.（）在平面内作于点，由，得平面.因为平面，所以.又，所以平面.由，得.【点睛】本题考查线面平行证明，面面垂直证明，利用垂直求长度问题，熟记判断定理，准确推理是关键，是中档题19.已知为椭圆上两点，过点且斜率为的两条直线与椭圆的交点分别为.（）求椭圆的方程及离心率；（）若四边形为平行四边形，求的值【答案】（），离心率；（）.【解析】【分析】（）由题列a,b方程组，即可求解椭圆方程，再由a,b,c关系，求解离心率；（）设直线的方程为，与椭圆联立消去y,得x的方程，求点B坐标，同理求点C坐标，进而得再由，得k方程求解即可【详解】（I）由题意得解得所以椭圆的方程为.又，所以离心率.（II）设直线的方程为，由消去，整理得.当时，设，则，即.将代入，整理得，所以.所以.所以.同理.所以直线的斜率.又直线的斜率，所以.因为四边形为平行四边形，所以.所以，解得或.时，与重合，不符合题意，舍去.所以四边形平行四边形时，.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理，设而要求的思想，准确求得B,C坐标且推得是本题关键，是中档题20.已知函数.（1）若函数在时取得极值，求实数的值；（2）当时，求零点的个数.【答案】（）1；（）两个.【解析】【分析】（），由，解得，检验时取得极小值即可；（II）令，由，得，讨论单调性得在时取得极小值，并证明极小值为.再由零点存在定理说明函数在和上各有一个零点，即可解得【详解】