四川双流中学高三数学第一次模拟考试理

四川省双流中学高2019届高考模拟考试(一)数学试题(理工类)第卷(选择题，共60分)一、选择题：每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对集合用列举法进行表示，对集合用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出.【详解】因为，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法.本题易错的地方是认为自然数集不包括零.解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识.2.己知点，的坐标分别为(1，0)，(0，1)，若向量对应复数，则复数对应点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出向量的坐标表示，然后确定复数对应点的位置.【详解】因为点，的坐标分别为(1，0)，(0，1)，所以,所以复数对应点位于第二象限，故本题选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要.3.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本道题结合偶函数满足以及单调递增关系,前后推导,即可.【详解】结合偶函数的性质可得,而当,所以结合在单调递增,得到,故可以推出.举特殊例子,但是,故由无法得到,故是的充分不必要条件,故选A.【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.4.在中，角，的对边分别为，且，成等差数列，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，成等差数列，可以得到，而，这样可得，这样利用余弦定理，可以求出的值.【详解】，成等差数列，又，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理、等差中项.考查了运算能力.5.函数的大致图像为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后求导，判断单调性；另一方面，当，时，从函数值的正负性加以判断，最后选出答案.【详解】函数的定义域为，当时，所以单调递增；当时，所以单调递减，显然当时，；当时，综上所述，本题选B.【点睛】本题考查了识别函数的图象.解决此类问题从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性入手，经常要用导数研究单调性、极值、零点.6.已知函数的最小正周期为，将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数在的值城为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的最小正周期为，可以求出，由已知条件，可以求出的解析式，然后利用正弦函数的单调性，求出函数在的值城.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，所以有，因此函数在的值城为，故本题选D.【点睛】本题考查了正切函数的周期公式、正弦型函数的图象变换、正弦型函数的值域问题.7.已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】设出抛物线的准线方程，问题求的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点，使到点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来.【详解】设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题.解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化.8.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理执行该程序框图，则输出的等于( )A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】C【解析】试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：被3除余1，被5除余2，最小为两位数，所输出的，故选C.考点：程序框图.【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点.解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答.对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景.9.已知函数为上的奇函数，且在上为增函数，从区间(-5，5)上任取一个数，则使不等式成立的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性质，可以解出不等式的解集，然后利用几何概型公式，进行求解.【详解】因为函数为上的奇函数，所以，在上为增函数，由奇函数的性质可知，函数为上的增函数，所以，从区间(-5，5)上任取一个数，则使不等式成立的概率为，故本题选A.【点睛】本题考查了几何概型、奇函数的性质.值得注意的是:当奇函数在时，没有定义，如果在单调递增，那么在整个定义域内，就不一定是增函数.10.已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为( )A. B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】设双曲线另一个焦点为，线段的垂直平分线过点，由此可以判断是等边三角形，边长为，这样利用双曲线的定义可以求出的大小，在中，利用余弦定理可以列出等式，最后可以求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线另一个焦点为，如下图所示：因为线段的垂直平分线过点，所以是等边三角形，边长为，为双曲线的右支上一点，所以有，在中，由余弦定理可得：，即，解得，即，双曲线离心率为4，故本题选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想.11.设函数的极值点的最大值为，若，则整数的值为（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】C【解析】【分析】先对f（x）求导，得，令再求导得单调性，进而求出f（x）极值点最大值的范围.【详解】函数，求导得 =0的根 ，设 ，得 ，=0的根 ，所以当x-2时，-2时，0, 所以在 递减，在递增. 所以在x=-2处取得最小值，所以 ,时， ，且 ，所以在 上递减，在 上递增.，.所以（-2,-1）使得；（0,1）使得，所以 在上递减，在 上递增，在上递减. 所以x= 为极大值点，x= 为极小值点.的极值点的最大值为，若，所以 ，整数n=0.故选：C.【点睛】本题考查了函数的极值点的取值范围，利用导数判断函数的单调性和极值点的范围，属于中档题.12.已知三棱锥中，底面为等边三角形，点为的中点，点为的中点.若点、是空间中的两动点，且，则（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，写出B,E,F的坐标，设M(x,y,z)的坐标，由，得出M的轨迹，同理得出N的轨迹，由向量的数量积得出即可.【详解】建立直角坐标系如图所示，底面为等边三角形，且.所以OD=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),点为的中点，所以E（，0）点为的中点，F（- ，- ，0），设M（x,y,z）,，所以 ，所以点M在以（0,0,0）为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且，所以MN为球的直径，= .故选：B【点睛】本题考查了空间向量解决点轨迹问题，球的几何性质和数量积的运算，属于中档题.第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分将答案直接填在答题卡上13.在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为，则_【答案】【解析】【分析】角的终边与单位圆交点的纵坐标为，可以求出终边与单位圆交点的横坐标，这样可以求出角，也就能求出的值.【详解】设角的终边与单位圆交点的横坐标为，因为角的终边与单位圆交点的纵坐标为，所以，当角的终边与单位圆交点的坐标为时，当角的终边与单位圆交点的坐标为时，综上所述 .【点睛】本题考查了通过求一个角的终边与单位圆的交点的坐标，求此角二倍角的余弦值问题，考查了分类讨论思想、数形结合思想.14.若变量满足则的最大值是_.【答案】10【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，的最大值是10，故答案为10.点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题；由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值.15.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_【答案】180【解析】【分析】根据展开式中只有第六项的二项式系数最大，可以求出，再利用展开式的通项公式求出常数项是第几项，最后求出常数项.【详解】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为.【点睛】本题考查了二项式的系数和展开式的通项公式的应用问题，考查了运算能力.16.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由求导公式和法则求出，由题意可得在区间上恒成立，设，从而转化为，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.【详解】，则，因为函数在上单调增，可得在上恒成立，即，令，则，所以，因为在上是增函数，所以其最大值为，所以实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知为等比数列的前项和，其公比为，且，成等差数列(1)求的值；(2)若数列为递增数列，且，又，数列的前项和为，求【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由，成等差数列，可以得出，可以求出的值；（2）由，这样可以求出数列的通项公式，用裂项相消法可以求出数列的前项和为.【详解】解：（1）（2）由已知条件，又，【点睛】本题考查了等差中项性质、由递推公式求数列的通项公式、用裂项相消法求数列项和问题.考查了运算能力.18.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差摄氏度101113128发芽颗2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验(1)若选取的3组数据恰好是连续天的数据(表示数据来自互不相邻的三天)，求的分布列及期望：(2)根据12月2日至4日数据，求出发芽数关于温差的线性回归方程由所求得线性回归方稻得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）的可能取值有，用古典概型概率计算公式，计算出分布列，并求出数学期望.（2）利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程，并判断出回归直线方程是否可靠.【详解】解：（1）由题意知，；则, , ；， 的分布列为：023数学期望为； (2)由题意，计算， 所以关于的线性回归方程为； 当时，且，当时，且所求得线性回归方程是可靠的【点睛】本小题主要考查利用古典概型计算分布列，考查回归直线方程的计算，属于中档题.19.如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）【解析】【分析】（1）过点作于，由面面垂直的性质可知平面，又平面，可得，即四边形为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.详解】解：（1）如图，过点作于，连接EH，. 平面平面，平面，平面平面于 平面.又平面，.， 四边形为平行四边形. ， 平面，平面，平面. （2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，.分别以，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.， ，设平面的法向量为.由，得令，得.， 直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知为坐标原点，椭圆的焦距为，直线截圆与椭圆所得的弦长之比为，圆、椭圆与轴正半轴的交点分别为，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据焦距为，直线截圆与椭圆所得的弦长之比为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，由直线的方程与直线的方程令，分别求得，可证明，即，从而可得结论.【详解】（1）根据题意可知，.因为直线截椭圆所得的弦长为，所以，化简得.所以，.故椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为.直线的方程为，令，得.因为点关于轴的对称点为，所以.所以直线的方程为.令，得.因为，而点在椭圆上，所以.即，所以，即，所以.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题. 本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或 ；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21.已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）证明：，.【答案】（1）（2）证明过程详见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值;（2）由题意可知只需证明结合（1）的单调性和最值即可得到证明.【详解】解：（1），知：在和上递减，在上递增，当时，；当时， 故（2）由（1）知在和上递减，在上递增，当时，而，故在上递增，即；当时，令，则，故在上递增，上递减，