四川宜宾第一中学高三数学2.6对数与对数函数学案新人教A

对数与对数函数1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logaM.(2)对数的性质_N_；logaaN_N_(a0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，则xy5.()(2)2log510log50.255.()(3)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.()(4)当x1时，logax0.()(5)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()(6)函数f(x)lg与g(x)lg(x2)lg(x2)是同一个函数()1若x(e1,1)，aln x，b2ln x，cln3x，则()Aabc BcabCbac Dbca答案C解析x(，1)，aln x(1,0)，b2ln xln x2.又yln x是增函数，x2x，b0，ca，ba1时，函数单调递增，所以只有选项B正确3函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案(，)解析函数f(x)的定义域为(，)，令t2x1(t0)因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在(，)上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间是(，)4已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式0的解集为_答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由f0，得f0.0x2或0x，x(2，).题型一对数式的运算例1(1)若xlog43，则(2x2x)2等于()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)则f(f(1)f(log3)的值是()A5 B3 C1 D.答案(1)D(2)A解析(1)由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)2()2.(2)因为f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因为log30，所以f(log3)11213.所以f(f(1)f(log3)235.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算已知函数f(x)则f(2log23)的值为_答案解析因为2log234，所以f(3log23).题型二对数函数的图象和性质例2(1)函数y2log4(1x)的图象大致是()(2)已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，b，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是()Acab BcbaCbca Dabc答案(1)C(2)B解析(1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log23log49，bf(log49)f(log49)，log472log49，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6) f(log47)，即cba.思维升华(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象(2)对数函数值大小的比较一般有三种方法：单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法，根据图象观察得出大小关系(1)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Acba BcabCbac Dbc0且a1)的图象过两点(1，0)和(0,1)，则a_，b_.答案(1)A(2)22解析(1)b0.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，故cb0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a(0,1)，还是a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误已知函数f(x)(1)若函数f(x)的定义域为(，1)(3，)，求实数a的值；(2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(，1，求实数a的值；(3)若函数f(x)在(，1上为增函数，求实数a的取值范围解(1)由x22ax30的解集为(，1)(3，)，得2a13，所以a2，即实数a的值为2.(2)因为函数f(x)的值域为(，1，则f(x)max1，所以yx22ax3的最小值为ymin2，由yx22ax3(xa)23a2，得3a22，所以a21，所以a1.(3)f(x)在(，1上为增函数，则yx22ax3在(，1上为减函数，且y0，所以即故1a2.所以实数a的取值范围是1,2)利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是()Acba BabcCbac Dacbc BbacCacb Dcab(3)已知函数yf(x)的图象关于y轴对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)ac BcabCcba Dacb思维点拨(1)利用幂函数yx0.5和对数函数ylog0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、log30.3log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数(x)xf(x)的单调性，再根据20.2，log3，log39的大小关系求解解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.51，即balog0.30.31，即c1.所以balog3log43.6.方法二log3log331，且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.由于y5x为增函数，.即，故acb.(3)因为函数yf(x)关于y轴对称，所以函数yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，且当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0，则函数yxf(x)在(，0)上单调递减；因为yxf(x)为奇函数，所以当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减因为120.22,0log31，log392，所以0log320.2ac，选A.答案(1)C(2)C(3)A温馨提醒(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b0；当a1且0b1或0a1时，logab0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定失误与防范1在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数)2指数函数yax (a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.A组专项基础训练(时间：45分钟)1(2014福建)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案B解析由题意得ylogax(a0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3x()x，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称显然不符故选B.2函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，) B(0,1) C. D(3，)答案D解析由于a0，且a1，故uax3为增函数，因为函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1.又yax3在1,3上恒为正，所以a30，即a3，故选D.3已知xln ，ylog52，z，则()Axyz BzxyCzyx Dyzln e，x1.ylog52log5，0y，z1.综上可得，yzx.4若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a.又loga(a21)loga2a0，所以0a1，a，综上，a(，1)5设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案C解析f(a)f(a)或或a1或1a0.6计算(lg lg 25)_.答案20解析(lg lg 25)(lg )10121020.7已知函数f(x)则使函数f(x)的图象位于直线y1上方的x的取值范围是_答案x|12解析当x0时，3x11x10，10时，log2x1x2，x2.综上所述，x的取值范围为12.8若log2a1时，log2a0log2a1，0，1a21a，a2a0，0a1，a1.当02a1时，log2a1.1a0，1a21a，a2a0，a1，此时不合题意综上所述，a.9已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集解(1)要使函数f(x)有意义则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01，解得0x0的x的解集是x|0x110已知函数在区间(，)上是增函数，求a的取值范围解函数是由函数和tx2axa复合而成因为函数在区间(0，)上单调递减，而函数tx2axa在区间(，)上单调递减，又因为函数在区间(，)上是增函数，所以解得即2a2(1)B组专项能力提升(时间：20分钟)11设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)答案A解析由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1,1)由f(x)0，可得01，1x0.12设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有()Af()f(2)f() Bf()f(2)f()Cf()f()f(2) Df(2)f()|1|1|，f()f()f(2)13函数f(x)|log3x|在区间4a，b上的值域为0,1，则ba的最小值为_答案解析由题意可知求ba的最小值即求区间a，b的长度的最小值，当f(x)0时x1，当f(x)1时x3或，所以区间a，b的最短长度为1，所以ba的最小值为.14函数f(n)logn1(n2)(nN*)，定义使f(1)f(2)f(3)f(k)为整数的数k(kN*)叫做企盼数，则在区间1,2 015内这样的企盼数共有_个答案9解析logn1(n2)，f(1)f(2)f(3)f(k)log2(k2)，1 024210,2 048211，且log242，使f(1)f(2)f(3)f(k)为整数的数有1019个15设f(