灰兔数量专项第1第2节预习讲义

只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 第一讲数字特性及数列相关2016 年 1 月 19 日第一讲数字特性及数列相关2016 年 1 月 19 日 基础理论 一、整除特性 基础理论 一、整除特性 1、能被常见数字整除的数字特性1、能被常见数字整除的数字特性 （1）被 2 整除特性：偶数 （2）被 3 整除特性：一个数字的每位数字相加能否被 3 整除，不能被 3 整除说明这 个数就不被 3 整除 （1）被 2 整除特性：偶数 （2）被 3 整除特性：一个数字的每位数字相加能否被 3 整除，不能被 3 整除说明这 个数就不被 3 整除。如：377 , 3+ 7+7 =17 , 17 除 3 余 2 ，说明 377 除 3 余 2 。15282, 1+5 +2+8+2 =18 , 18 能被 3 整除，说明 15282 能被 3 整除。 一、整除特性一、整除特性 二、奇偶性与质合性二、奇偶性与质合性 三、公约数与公倍数三、公约数与公倍数 四、同余问题四、同余问题 五、乘方尾数问题五、乘方尾数问题 六、不定方程六、不定方程 七、数列及算式相关七、数列及算式相关 数 字 特 性 法 数 字 特 性 法 今天是数学运算秒杀突破的第一天，我相信这是各位同学信心满满、激情 澎湃的一天，也是这 10 天中学习效率最高的一天。但是“万事开头难” ，大家在第 一天系统学习公务员数量关系的过程中，势必颠覆传统解题思维，肯定会遇到各种 各样的难题。希望大家能够坚信“有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦 心人天不负，卧薪偿胆，三千越甲可吞吴。”脚踏实地，认真完成书中给出的每天学 习任务。秒杀数量，华丽上岸！早日成“公” ！ 在开始“10 天疯狂之旅”之前，大家先扪心自问：自己是否下定决心要征服数 量？是否有足够的自制力？如果你属于自律性不强的，则需要放权给他人，请你的 男朋友/女朋友监督你，如果没有此类资源，爸爸妈妈也可以；或者身边的考友朋友。 总之，要集中精神，高效学习。 今天我们学习的任务是数字特性法，众所周知，数字特性法是我们很多数量秒 杀的基础， 它是指不直接计算求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种 “数 字特性” ，从而达到排除错误选项的方法。掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基 本的数字特性规律。 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 （3）被 4 和 25 整除特性：只看一个数字的末 2 位能不能被 4 整除。（3）被 4 和 25 整除特性：只看一个数字的末 2 位能不能被 4 整除。275016 , 16 能 被 4 整除说明 275016 能被 4 整除。 （4）被 5 整除特性：末尾是 O 或者是 5 即可被 5 整除。 （5）被 6 整除特性：兼被 2 和 3 整除的特性。 （6）被 7 整除特性：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以 7 , 能整除说 明这个数就能被 7 整除。 （4）被 5 整除特性：末尾是 O 或者是 5 即可被 5 整除。 （5）被 6 整除特性：兼被 2 和 3 整除的特性。 （6）被 7 整除特性：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以 7 , 能整除说 明这个数就能被 7 整除。如 864192，末三位划分，864192 864-192=6726727=96， 说明 864192 这个数可以整除 7。 （7）被 8 和 125 整除特性：看一个数字的末 3 位。（7）被 8 和 125 整除特性：看一个数字的末 3 位。96624 96624 6248=78说明这个数能被整除。 （8）被 9 整除特性：与 3 整除的特性类似。（8）被 9 整除特性：与 3 整除的特性类似。如 23568 , 2 + 3 + 5 +6 + 8 = 24 , 24 9 =2 余 6 ，说明这个数不能被 9 整除，余数是 6 。 （9）被 11 整除特性：奇数位的和与偶数位的和之差，能被 11 整除。（9）被 11 整除特性：奇数位的和与偶数位的和之差，能被 11 整除。如 8956257 , 间 隔相加分别是 8 + 5 + 2 + 7 = 22 , 9 + 6 + 5 =20 。再相减 2220 =2 , 211 余 2 ， 说明这个数 8956257 不能被 11 整除，除以 11 余数是 2 。 2、关于整除的其他注意事项2、关于整除的其他注意事项 （1）被其他合数整除的数字特性，应将该合数进行因数分解，能同时被分解后的互质 因数整除，比如被 28 整除的数字，需同时被 4 和 7 整除。 （2）三个连续的自然数之和（积）能被 3 整除。（2）三个连续的自然数之和（积）能被 3 整除。 （3）四个连续的自然数之和是偶数，但不能被 4 整除。 （4）平方数的尾数只能是 0、1、4、5、6、9。（4）平方数的尾数只能是 0、1、4、5、6、9。 题目精讲题目精讲 【灰兔-题目一】【灰兔-题目一】 设 a， b 均为正整数， 且有等式 11a+7b=132 成立， 则 a 的值为？ 【2015 江苏 A】 A.6B.4C.3D.5 【参考答案】B 【灰兔点拨】 【参考答案】B 【灰兔点拨】因为 132=1112，所以 b 必为 11 的倍数，b=11；约去 11 因子，a+7=12， a=5，选 D 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】小李某月请了连续 5 天的年假，这 5 天的日期数字相乘为 7893600， 问他最后一天年假的日期是：【2015 黑龙江-58】 A.25 日B.26 日C.27 日D.28 日 【参考答案】B 【灰兔点拨】 【参考答案】B 【灰兔点拨】7893600 不是 9 的倍数，不含 27 因子，排除 CD；7893600 不是 7 的倍数， 不含 21 因子，排除 A；选 B 【灰兔-题目三】【灰兔-题目三】有红、黄、蓝三种颜色的木棍各若干根，所有木棍的长度都是整数厘 米，且同一颜色的木棍长度也相同。已知用两红两黄、两红两蓝和两黄两蓝的木棍拼成的长 方形，面积分别为 20,28 和 35 平方厘米。问蓝色木棍的长度是多少厘米? 【2015 山西-53】 A. 8B. 7C. 5D. 4 【参考答案】B 【灰兔点拨】 【参考答案】B 【灰兔点拨】 本题考查几何问题，红黄=20 红蓝=28，黄蓝=35，可得红=4，黄 =5，蓝=7.选 B。 【实战秒杀】【实战秒杀】可利用整除特性进行代入排除。蓝色红色=28；蓝色黄色=35，所以蓝 色应该满足 7 的倍数，故答案为 B。 【灰兔-题目四】【灰兔-题目四】 车间领到一批电影票和球票发放给车间工人， 电影票是球票数的 2 倍。 如果每个工人发 3 张球票，则富余 2 张，如果每个工人发 7 张电影票，则缺 6 张，问车间领 到多少张球票？ 【2015 山东】 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 A.32B.30C.64D.60 【参考答案】A 【灰兔点拨】 【参考答案】A 【灰兔点拨】 解法一：总球票数-2 后是 3 的倍数，秒杀 A 解法二： 盈亏问题， 都转化成球票， 除以 3 余 2、 除以 3.5 缺 3， 总人数= （3+2） / （3.5-3） =10，总球票数=103+2=32 张，选 A 【灰兔-题目五】【灰兔-题目五】有一批汽车零件由 A 和 B 负责加工，A 每天比 B 少做 3 个零件。如果 A 和 B 两人合作需要 18 天才能完成，现在让 A 先做 12 天，然后 B 再做 17 天，还剩这批零件 的 1/6 没有完成。这批零件共有多少个？【2014 年秋季联考】 A.240B.250C.270D.300 【参考答案】C 【灰兔点拨】 【参考答案】C 【灰兔点拨】设合作 18 天，18 的倍数秒杀 C 【灰兔-题目六】【灰兔-题目六】两个派出所某月内共受理案件 160 起，其中甲派出所受理的案件中有 17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有 20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理 多少起非刑事案件？【2013 年国考-73】 A.48B.60C.72D.96 【参考答案】A 【灰兔点拨】 【参考答案】A 【灰兔点拨】数字特性法，甲所受理案件应为 100 倍数，总数为 160，故甲为 100 件， 乙为 60 件，乙非刑事案件 6080%=48.秒杀 A。 【实战蒙杀】【实战蒙杀】根据题干乙非刑事案件比例 80%，而 AB 选项正好，A=80%B，大胆蒙杀 A。 【实战点拨】【实战点拨】本题不是第一次出现，请看下面一道题。你还能做出答案吗？ 甲乙共有图书 260 本，其中甲有专业书 13，乙有专业书 12.5，那么甲的非专业书 有多少本？【2009 年国考】 A.75B.87C.174D.67 【灰兔-题目七】【灰兔-题目七】某公司去年有员工 830 人，今年男员工人数比去年减少 6%，女员工人 数比去年增加 5%，员工总数比去年增加 3 人，问今年男员工有多少人？【国考 2011-4】 A.329B.350C.371D.504 【参考答案】【参考答案】A 【灰兔点拨】【灰兔点拨】男员工比去年减少 6%，也就是去年的 94%，有个特殊的数值 47，因此答 案是 47 倍数，结合选项和尾数法，秒杀 A。 【实战点拨】【实战点拨】94%应该约成最简 47/50，再判定整除特性。 【实战秒杀】【实战秒杀】我们在用数字特性秒杀时，遇到分数，或者小数。先化简成最简分数，然 后看问题所占的份数。比如今年是去年的 3.5 倍，那么化简就是 7/2，去年 2 份，今年就是 7 份。今年必然是 7 的倍数。但是你无法判断它是 5 的倍数。因为实际比例中可能并不含有 5。 二、奇偶性与质合性二、奇偶性与质合性 基础理论基础理论 1、奇偶性1、奇偶性 奇数：不能被 2 整除的整数。 偶数：能被 2 整除的整数（需特别注意的是：0 是偶数） 2、奇数和偶数的运算规律：2、奇数和偶数的运算规律： 奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数； 奇数偶数=奇数；奇数奇数=奇数； 偶数偶数=偶数；奇数偶数=偶数。 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 3、质合性3、质合性 质数：如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数 （质数也称素数），如 2、3、5、7、11、13 质数：如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数 （质数也称素数），如 2、3、5、7、11、13 合数：一个正整数除了能被 l 和它本身整除外，还能被其他的正整数整除， 这样的正整数叫做合数，如 4、6、8、9、10 1 既不是质数也不是合数。 4、方法技巧及规律4、方法技巧及规律 （1）两个连续自然数之和（或差）必为奇数。 （2）两个连续自然数之积必为偶数。 （3）乘方运算后，数字的奇偶性保持不变。 如：a 为奇数（偶数），则 a n （n 为正整数）为奇数（偶数）。 （4）2 是唯一一个为偶数的质数。 如果两个质数的和（或差）是奇数，那么其中必有一个数是 2； 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个数是 2。 题目精讲题目精讲 【灰兔-题目一】【灰兔-题目一】小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文 94 分， 数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化 学的得分比外语多 2 分， 并且是五门中第二高的得分。 问小王的物理考了多少分？ （） 【2013 国考-74】 A94B.95C.96D.97 【参考答案】C 【灰兔解析】 【参考答案】C 【灰兔解析】奇偶特性，由题干“外语的得分等于语文和物理的平均分”可得：2外 语=语文+物理，语文 94，偶数，物理也必然偶数，排除 B、D，代入 A94，这样语文、物理、 英语都是 94，化学也是 94+2=96，数学则 92，与题干化学第二高矛盾。错误，秒杀 C。 【灰兔-实战秒杀】【灰兔-实战秒杀】遇到排除两选项的情形，直接带入剩余种的一个，满足即选，不满 足就选另一个，大大缩短了解题时间，成功实现秒杀！ 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】知 3 个质数的倒数和为 671 1022 ，则这 3 个质数的和为： 【2013 年浙江】 A.80B.82C.84D.86 【参考答案】B 【灰兔解析】 【参考答案】B 【灰兔解析】假设三个数为 abc，根据通分原则可知，三个质数 abc=1022 1022=2773，相加尾数 2，秒 B。 （7 的倍数怎么判定呢？22-1=21 正好是 7 的倍数） 【灰兔-题目三】【灰兔-题目三】某儿童艺术培训中心有 5 名钢琴教师和 6 名拉丁舞教师，培训中心将 所有的钢琴学员和拉丁舞学员共 76 人平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老 师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了 4 名钢琴教师和 3 名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人? 【2012 国考】 A. 36B. 37C. 39D. 41 【参考答案】D【参考答案】D 【灰兔解析】【灰兔解析】钢琴老师教 X 学生，拉丁舞老师教 Y 学生，有 5X+6Y=76，XY 都是质数， 6Y 是偶数，5X 也必然偶数，质数中只有 2 为偶数，因此 X=2，Y=11，后来 42+113=41， 选 D。 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 【灰兔-实战点拨】【灰兔-实战点拨】本题典型国考出题模式，文字多、信息量大，但我们需要火眼金睛 抓住关键词迅速识别考点。一针见血。本题要以“质数”这一信息点为突破口。 三、公约数与公倍数 基础理论 三、公约数与公倍数 基础理论 1、核心知识1、核心知识 （1）约数与倍数（1）约数与倍数 若数 a 能被 b 整除，则称数 a 为数 b 的倍数，数 b 为数 a 的约数。其中，一个数的最小 约数是 1，最大约数是它本身。 （2）公约数与最大公约数（2）公约数与最大公约数 几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。 公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。 （3）公倍数与最小公倍数（3）公倍数与最小公倍数 几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。 公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。 考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。 2、方法技巧2、方法技巧 （1）两个数最大公约数和最小公倍数的求取方法 一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。 A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。 B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。 如：求 24、36 的最大公约数与最小公倍数。 24、36 的最大公约数为其共同质因数的乘积，即 223=12； 24、 36 的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积， 即(223)(23) =72。 （2）三个数最大公约数和最小公倍数的求取方法（2）三个数最大公约数和最小公倍数的求取方法 A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数（除 1 外），然后把所 有共同的质因数连乘起来。 B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自 独有的质因数连乘起来。 如：求 24、36、90 的最大公约数和最小公倍数。 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 24、36、90 的最大公约数是 6，最小公倍数是 360。 题目精讲题目精讲 【灰兔-题目一】【灰兔-题目一】有甲、乙、丙三辆公交车于上午 8:00 同时从公交部站出发，三辆车再 次回到公交总站所用的时间分别为 40 分钟、25 分钟和 50 分钟,假设这三辆公交车中途不休 息，请问它们下次同时到达公交总站将会几点？【2011 年 421 联考-9】 A.11 点整B.11 点 20 分C.11 点 40 分D.12 点整 【参考答案】B 【灰兔解析】 【参考答案】B 【灰兔解析】求 40、25 和 50 的最小公倍数，200 分钟，3 小时 20 分，所以下次是 11 点 20 分，秒杀 B。 【灰兔-实战点拨】【灰兔-实战点拨】 很多同学判断到底是考察最小公倍数还是最大公约数时候比较迷茫， 倍数大、约数小。本题单独每一辆车，以后回到公交站都是周期的倍数。故毫无疑问考察最 小公倍数。 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分 别为 4,5,6 棵， 三个办公室植树总数彼此相等。 问这三个办公室总共至少有多少职工？ 【2014 山东-52】 A. 37B. 53C. 74D. 106 【参考答案】A 【灰兔解析】 【参考答案】A 【灰兔解析】求职工最少，而且三个办公室植树相等，那么均为 60（最小公倍数） ，这 样三办公室人数分别为 15、12、10，共计 37。选 A。 【灰兔-实战点拨】【灰兔-实战点拨】每隔 n 天，我们需要转化成周期问题，也就是每 n+1 天。 【灰兔-实战秒杀】【灰兔-实战秒杀】求出最小公倍数 180，大约 6 个月，直接选 C，如果有 11 月 18 日的 话？如何选？第三天特训星期日期类问题会详细讲述。 【灰兔-题目三】【灰兔-题目三】 甲、乙、丙三人从星期一开始上班，甲每工作 3 天就休息一天，乙每 工作 5 天休息一天，丙每工作 7 天才休息一天，那么三人第一次同时休息是在星期（） 。 【2014 河北政法干警】 A. 一B. 二C. 三D. 四 【参考答案】C 【灰兔解析】 【参考答案】C 【灰兔解析】根据题意，求甲每 4 天休一次，乙每 6 天休一次，丙每 8 天休一次，因此 求 4、6、8 的最小公倍数为 24，上次一起休息是周日，因此再一起休息是周三。因此正确 答案是 C。 四、同余问题 基础理论 四、同余问题 基础理论 基本形式：被除数=除数商+余数（都是正整数） 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 1、 同余定义1、 同余定义 两个整数 a、b 除以自然数 m(m1)，所得余数相同，则称整数 a、b 对自然数 m 同余， 例如：23 除以 5 的余数是 3，18 除以 5 的余数也是 3，则称 23 与 18 对于 5 同余。 2、公务员考试中的四种常考形式2、公务员考试中的四种常考形式 经典口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍做周期。 （1）余同取余，公倍数做周期 经典口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍做周期。 （1）余同取余，公倍数做周期：如果一个数除以几个不同的数，余数相同，则这个数 可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与余数相加的形式。例如一个数除以 3 余 1，除 以 4 余 1，除以 10 余 1，则这个数可以表示为 60n+1，60 是 3、4、10 的最小公倍数， n=0,1,2，。 （2）和同加和，公倍数做周期：（2）和同加和，公倍数做周期：如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之和相同， 则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该和 （除数与余数之和） 相加的形式。 例如一个数除以 5 余 4，除以 6 余 3，除以 8 余 1，则这个数可以表示为 120n+9，120 是 5、 6、8 的最小公倍数，9=5+4=6+3=8+1， n=0,1,2，。 （3）差同减差，公倍数做周期：（3）差同减差，公倍数做周期：如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同， 则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差 （除数与余数之差） 相减的形式。 例如一个数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 10 余 8，则这个数可以表示为 60n-2，60 是 3、4、 10 的最小公倍数，2=3-1=4-2=10-8， n=1,2，。 （4）如果三个不符合口诀，怎么办？先两个结合，再跟第三结合！（4）如果三个不符合口诀，怎么办？先两个结合，再跟第三结合！ 题目精讲题目精讲 【灰兔-题目一】【灰兔-题目一】一批武警战士平均分成若干小组执勤。如果每 3 人一组则剩 2 人，如 果每 4 人一组则剩 3 人，如果每 5 人一组则剩 4 人。这批武警战士至少有()人。【2011 湖南选调生-47】 A19B59C79D119 【参考答案】B 【灰兔解析】 【参考答案】B 【灰兔解析】可以转化成余数问题，相当于一个数除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 与 3，而且满足“差同减差”口诀，这个表示为 60n-1，n=1 取值最小，为 59. 【实战技巧】【实战技巧】当然本题亦可以采用代入排除法，迅速秒杀 B。问“至少”选择从小带起。 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】一有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是 5 的倍数 且不少于 1000 人，如果按每横行排 4 人编队，最后少 3 人，如果按每横排 3 人编队，最后 少 2 人；如果按每横排 2 人编队，最后少 1 人。请问，这支队伍最少有多少人？（ ） 【2014 天津-69】 A. 1045B. 1125C. 1235D. 1345 【参考答案】A 【灰兔解析】 【参考答案】A 【灰兔解析】同余问题，相当于除以 4 余数 1，除以 3 余数 1，除以 2 余数 1，余同取 余，这个数表达为 12n+1.也就是说答案-1 整除 12.秒 A。 【灰兔-题目三】【灰兔-题目三】一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有： 【2006 年国考】 A.5 个B.6 个C.7 个D.8 个 【参考答案】A 【灰兔解析】 【参考答案】A 【灰兔解析】逐步结合，除以 5 余 2，除以 4 余 3 满足合同加和的形式，因此这个数可 以表达为 20n+7,又与除以 9 余 7 符合余同加余的形式，因此可以表达为 180n+7，又是三位 数，n 可以取 1-5，因此选 A。 【灰兔-实战秒杀】【灰兔-实战秒杀】 我们知道 9、 5、 4 最小公倍数为 180， 那么这个数表示形式为 180n+m 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 它小于 1000，n 最大取值 5.直接秒杀 A。 五、乘方尾数问题五、乘方尾数问题 基础理论基础理论 尾数变化规律（n 为正整数）： 经典口诀：底数留个位，指数除 4 留余数，余数为 0 转成 4 灰兔解读： 经典口诀：底数留个位，指数除 4 留余数，余数为 0 转成 4 灰兔解读：因为若干数相乘，决定个位（尾数）的是各个乘数的个位，因此 底数留个位，指数即相乘的个数，为 4 周期。 题目精讲题目精讲 【灰兔-题目一】【灰兔-题目一】2008 2008+20092009的个位数是？【山西 2008-41】 A.3B.5C.7D.9 【参考答案】B 【灰兔解析】 【参考答案】B 【灰兔解析】口诀转化：8 4+91，尾数分别 6、9 和尾数 5，秒杀 B。 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】2012 2012的末位数字是（ ） 【2013 天津-6】 A.2B.4C.6D.8 【参考答案】C 【灰兔解析】 【参考答案】C 【灰兔解析】口诀：2 4尾数 6，秒杀 C。 六、不定方程 基础理论 六、不定方程 基础理论 未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解 或正整数解。 解不定方程问题常用的解法： 综合利用整数的奇偶性奇偶性、 自然数的质合性质合性、 数的整除特性整除特性、 尾数法尾数法、余数特性、余数特性、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。 题目精讲题目精讲 【灰兔-题目一】【灰兔-题目一】某公司的 6 名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同的食品中的 一种，且每人只购买了一份，已知盖饭 15 元一份，水饺 7 元一份，面条 9 元一份，他们一 共花费了 60 元，问他们中最多有几人买了水饺？【2012 年山东-59】 A.1B.2C.3D.4 【参考答案】C 【灰兔解析】 【参考答案】C 【灰兔解析】假设盖饭、水饺、面条分别是 XYZ，有 15X+7Y+9Z=60 因为总花费 60 是 3 的倍数，且 15X、9Z 也是 3 的倍数，7Y 必然也是 3 的倍数。秒杀 C。 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装 29 份相同的文件。每 个红色文件袋可以装 7 份文件， 每个蓝色文件袋可以装 4 份文件。 要使每个文件袋都恰好装 满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为（ ）个。【2014 广东-46】 A. 1、6B. 2、4C. 3、2D. 4、1 【参考答案】C 【灰兔解析】 【参考答案】C 【灰兔解析】不定方程 7x+4y=29，29 奇数，4y 偶数，7x 奇数，排除 BD，带入可知 C 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 正确。 【灰兔-题目三】【灰兔-题目三】甲购买 3 支签字笔、7 支圆珠笔、1 支铅笔共花费 32 元，乙买了 4 支 同样的签字笔，10 支圆珠笔，1 支铅笔，共用去 43 元，如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔 各买一支，共需多少元钱？【2009 年国考-112】 A.21B.11C.10D.17 【参考答案】C 【灰兔解析】 【参考答案】C 【灰兔解析】解方程组，签字笔 X 支，圆珠笔 Y 支，铅笔 Z 支，则有 3X+7Y+Z=32,4X+10Y+Z=43,第一个式子乘以 3 变成 9X+21Y+3Z=96，第二个式子乘以 2 变成 8X+20Y+2Z=86，两式相减得 X+Y+Z=10，选择 C。 【灰兔-实战秒杀】【灰兔-实战秒杀】赋 0 秒杀法，签字笔 X 支，圆珠笔 Y 支，铅笔 Z 支，则有 3X+7Y+Z=32,4X+10Y+Z=43,设 Y 为特值 0，变成 3X+Z=32,4X+Z=43，变成二元一次方程，解出 XY 即得到答案。 【灰兔-实战点拨】【灰兔-实战点拨】在这个题目当中，我们可设签字笔、圆珠笔、铅笔的钱数各为 x、y、 z，列方程可以得到，3x+7y+z=32， 4x+10y+z=43。 我们要求 x+y+z=？，但是所列方程组 为 3 个未知数，2 个方程，是一个不定方程组，其解得个数是无限多的，但是由不定方程组 的性质我们可以知道，不定方程组的任意一组解都满足 x+y+z=？这个等式，故我们只需要 得到此方程组的一个特解就可以，可以令 y=0，则有 3x+z=32， 4x+z=43。解得 x=11，z=-1， 则有 x+y+z=10，故该题答案选 A 七、数列及算式相关 基础理论 七、数列及算式相关 基础理论 （一）等差数列（一）等差数列 概念：概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示。等差数列的通项公 式为：an=a1+(n-1)d 等差数列求和公式：等差数列求和公式： =平均数项数 =中位数项数 特别注意：特别注意：只有当项数为奇数项的时候，才会有中位数（即平均数、中间项） 。如果项 数是偶数的情况下，不存在中位数，但是我们可以虚拟一个中位数，比如 2,3,4,5 的等差数 列，我们可以虚拟一个中位数 3.5，也就是 3 与 4,2 与 5 的平均数。 如果等差数列的下标和（或差）相等，那么对应的数相加和相等，即如果等差数列有 7 项，分别为 a1、a2、a3、 、 、 、 、 、a7，因此有 a1+a7=a2+a6=a3+a5=a4+a4。 题目精讲题目精讲 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 【灰兔-题目一】【灰兔-题目一】某次考试前三道试题的总分值 60 分，已知第一题比第二题的分值少 4 分，第二题比第三题的分值少 4 分，问第三题的分值是多少分?【2015 山东-51】 A.18B.16C.24D.22 【参考答案】C 【灰兔点拨】 【参考答案】C 【灰兔点拨】等差数列，中位数 60/3=20，第三题 20+4=24，秒杀 C。 【实战点拨】【实战点拨】利用中位数可以帮助我们迅速确定某一项的数值，进而确定其他任一项。 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】已知一等差数列 a1、21、a2、31、an、，若 an=516，则该数列 前 n 项的平均数是多少？ 【江苏 A2015】 A.266B.258C.255D.212 【参考答案】A 【灰兔点拨】 【参考答案】A 【灰兔点拨】公差=（31-21）/2=5，首项是 16、末项是 516，平均数=（16+516）/2=266， 选 A 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】某成衣厂对 9 名缝纫工进行技术评比，9 名工人的得分恰好成等差数 列，9 人的平均得分是 86 分，前 5 名工人的得分之和是 460 分，那么前 7 名工人的得分之 和是多少?【国考 2012-13】 A.602B.623C.627D.631 【参考答案】B 【灰兔解析】 【参考答案】B 【灰兔解析】等差数列特性，9 人中位数是 5，也就是第五人得分 86 分，5 人中位数是 第三名，是 92，也就是第三名和第五名中间差 6，公差为 3，7 名的中位数是第四名，第四 名分数是 89，897，看尾数，秒杀 B。 【灰兔-实战秒杀】【灰兔-实战秒杀】带入排除法，前 7 名的工人得分是一个等差数列，则得分之和应是 一个等差数列，可知答案必然是 7 的倍数，排除 C、D.带入 A，6027=86, 与题干 9 人的平 均分相同，不符合，应排除。故选 B （二）等比数列（二）等比数列 基础理论基础理论 等比数列在公务员考试中出题难度一般小于等差数列， 因此关于等比数列， 我们只需要 掌握一些基本的应用即可以。 通项公式：通项公式： 求和公式:求和公式: 等比中项：等比中项：如果 a,b,c 成等比数列，则 b 叫做 a 与 c 的等比中项，有：b 2=ac。 题目精讲题目精讲 【灰兔-题目一】【灰兔-题目一】 火树银花楼七层,层层红灯倍加增,共有红灯三八一,试问四层几红灯？ （陕西 2008-8） 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 A24B28C36D37 【参考答案】A 【灰兔解析】 【参考答案】A 【灰兔解析】第一层 X，第四层表示为 2 3X=8X，答案 8 的倍数，秒杀 A. 【灰兔-实战点拨】【灰兔-实战点拨】等比数列求和较难，一般不直接考察，因此我们学会技巧。数字特 性法经典应用。 【灰兔-题目二】【灰兔-题目二】一个细胞一小时分裂三个，9 小时可以把一个容器装满，多少时间使 分裂的细胞装到容器的 1/9。 【2008 年天津】 A. 5B. 6C. 7D. 8 【参考答案】C 【灰兔解析】 【参考答案】C 【灰兔解析】等比数列，9 小时就是 3 9，现在变成 39的 1/9，也就是 37，因此 7 小时符 合条件要求，选择 C。 灰兔优酷视频网灰兔优酷视频网 密码：密码：516231872仅供专项班学员观看，自行观看或下载，严禁转播！仅供专项班学员观看，自行观看或下载，严禁转播！ 附上我的联系方式，大家有什么问题可以及时交流互动。我与大家同在！附上我的联系方式，大家有什么问题可以及时交流互动。我与大家同在！ 数量-灰兔 QQ:数量-灰兔 QQ:516231872微信：shengshan168微信：shengshan168 灰兔个人微信灰兔个人微信灰兔数量公众平台灰兔数量公众平台 灰兔 QQ 空间（内含大量数量关系解题技巧） ：灰兔 QQ 空间（内含大量数量关系解题技巧） ： 灰兔腾讯微博：灰兔腾讯微博： 灰兔新浪微博：灰兔新浪微博： 灰兔新浪博客灰兔新浪博客： (或搜索“数量灰兔的博客”) 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 第二天计数模型_年_月_日第二天计数模型_年_月_日 计数模型之一、鸡兔同笼 基础理论 计数模型之一、鸡兔同笼 基础理论 核心公式：核心公式： 鸡数=（兔脚数总头数一总脚数）（兔脚数一鸡脚数） ； 兔数=（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数） 。 鸡兔同笼问题是已知各部分的平均值和总量， 求总体中各部分的个数， 其实质是加权平 均问题。 (l)通过一元一次方程或二元一次方程组求解； (2)利用十字交叉法 (3)假设求法：(3)假设求法： （总量-第一部分的平均值总个数）（第二部分的平均值-第一部分的平均值）=第 二部分的个数 鸡兔同笼原理推导：鸡兔同笼原理推导：现已知鸡兔共 35 只，脚共 94 只，求鸡和兔的个数。 （1）列方程法：设鸡的个数为 X，则兔的个数为 35-X，则有 2X 十 4(35-X) =94，解 得 X=23。故有鸡 23 只，兔 12 只。 （2）假设求法：假设 35 只都是鸡，则有脚 352= 70 只，每一只鸡换成兔就多 2 只脚， 故共有兔子 12 只，鸡有 23 只。 或假设 35 只都是兔，则有脚 354 =140 只，每一只兔换成鸡就少 2 只脚，故共有鸡 （140-94）除以 2=23 只。 灰兔老师万能思维：灰兔老师万能思维：先假设全部是某一种，然后求出的值与实际值的差值除以他们 单个的差值，得出来的是另一种。 （假设鸡得出兔，假设兔得出鸡） 先假设全部是某一种，然后求出的值与实际值的差值除以他们 单个的差值，得出来的是另一种。 （假设鸡得出兔，假设兔得出鸡） 同学们，今天进入数学运算秒杀突破的第二天，根据以往授课经验，考生经过一 天的学习和第一次训练后，心情一定无比复杂，没有第一天的激情澎湃，但似乎又看到了 胜利的曙光，但这毕竟是黎明前的黑暗，传统思维与秒杀思维的碰撞。 “战斗才刚刚开始， 请再接再厉。 ” 计数模型，这一类模型令许多考生头疼不已。其实，这一类问题是有一定技巧的，掌 握了这些技巧，不仅可以节约时间，而且对正确解题有很大帮助。这类问题多涉及对常规 计算量进行“1”的修正。 每一类题型，笔者都会给大家挖掘问题的原理，还原题型本质，找出万能思维。以不 变应万变，从而驰骋考场。 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 题目精讲题目精讲 【灰兔-例题一】【灰兔-例题一】某高校学生宿舍实行用电定额制，每个月定额内每度电 0.5 元，超过 定额后每度电涨价 60%。某寝室上月用电 35 度，交费 22 元。问每个宿舍的用电定额是每个 月多少度？ 【2015 山西-59】 A. 16B. 20C. 26D. 30 【参考答案】B 【灰兔点拨】 【参考答案】B 【灰兔点拨】假设全部为额定，0.535=17.5， （22-17.5）0.3=15 度，说明额定为 35-15=20 度，选 B 【灰兔-例题二】【灰兔-例题二】某村过年有分肉的习俗。将 160 斤肉分给村里 110 户家庭，贫困家庭 每户分得 3 斤肉，其他家庭每户分得 1 斤肉。那么该村的贫困家庭有（）户。 【广东 2015】 A.16B.20C.22D.25 【参考答案】D 【灰兔点拨】 【参考答案】D 【灰兔点拨】假设 110 户都是其他家庭，共 110 斤肉，差了 160-110=50 斤，每有 1 户 其他家庭转化为贫困家庭，就会增加 2 斤，50/2=25，选 D 【灰兔-例题三】【灰兔-例题三】一某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室 均有 5 排座位，甲教室每排可坐 10 人，乙教室每排可坐 9 人。两教室当月共举办该培训 27 次，每次培训均座无虚席，当月培训 1290 人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？ （）【国考 2010-3】 A8B10C12D15 【参考答案】D 【灰兔点拨】 【参考答案】D 【灰兔点拨】 思路一：方程法，不做解释。 思路二：鸡兔同笼法，甲 50 人，乙 45 人，如果都是按甲人数培训，27 期培训 1350 人， 与实际差 60 人，60/5=12，所以乙 12 期，甲 15 期，秒杀 D。 思路三：奇偶特性法，甲乙分别举办 XY，50X+45Y=1290,1290 是偶数，50X 也是偶数， Y 必然是偶数，X 则为奇数，秒杀 D。 思路四：弃九法，50X+45Y=1290,1290 除以 9 余 3,45y 除以 9 余 0，则 50 x 除以 9 余数 为 3.仅 D 满足。 【实战蒙杀】蒙杀法 1：【实战蒙杀】蒙杀法 1：C+D=27，答案必在 CD 之中，带入验证为 D。 蒙杀法 2：蒙杀法 2：三偶一奇，特殊原则，选偶数，蒙 D。正确。 【灰兔-例题四】【灰兔-例题四】甲乙两人参加射击比赛，规定每中一发记 5 分，脱靶一发倒扣 3 分， 两人各打了 10 分子弹后，分数之和为 52，甲比乙多得了 16 分，问甲中了多少发？【2012 山东-51】 A.9B.8C.7D.6 【参考答案】B 【灰兔点拨】 【参考答案】B 【灰兔点拨】甲、乙分数之和为 52，差为 16，则甲为（52+16）2=34 分，鸡兔同笼， 甲未中了（50-34）（5+3）=2 发。中的就是 8 发，选 B。 【灰兔-例题五】【灰兔-例题五】甲工人每小时可加工 A 零件3个或 B 零件6个，乙工人每小时可加工 A 零件2个或 B 零件7个。甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个，甲、乙加工 A 零件分别用 时为 x 小时、y 小时，且 x、y 皆为整数，两名工人一天加工的零件总数相差： 【2012年421 联考】 A. 6个B. 7个C. 4个D. 5个 【参考答案】B【参考答案】B 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料请点击 shnegshan168 【灰兔点拨】方法一：【灰兔点拨】方法一：不定方程思维，3x+6（8-x）+2y+7（8-y）=59，化简为3x+5y=45， 45、5y 均为5的倍数，那么3x 也为5的倍数，即 x=5，y=6，甲零件为33，乙26，相差7. 方法二：方法二：鸡兔同笼，假设甲乙都加工 A 零件，可加工(3+2)8=40,实际59，多出19, 如 果甲乙加工 B 零件时间分别 mn， 则有19=3m+5nm=3， n=2也就是甲乙分别加工 B 零件3天、 2天。 甲加工零件数=35+63=33 乙加工零件数=26+72=26 相差=33-26=7，选 B。 【实战蒙杀】【实战蒙杀】本题求差，题干和59，和差奇偶性可知答案必然是奇数。BD 之中。没有 时间可以靠 RP 蒙一个。正确率提升到50%。总比4选1靠谱。 计数模型之二、植树问题 基础理论 计数模型之二、植树问题 基础理论 所谓植树问题就是要理清间隔数量与端点之间的关系。所谓植树问题就是要理清间隔数量与端点之间的关系。 1、两端栽树，棵树比段数多 1，棵树=线路总长株距+1； 2、一端栽树，棵树与段数相等；棵树=线路总长株距； 3、两端都不栽树，棵树=段数-1；棵树=线路总长株距-1； 4、双边植树需要在 1 条路的基础上乘以 2。 5、封闭型植树，棵树=线路总长株距=总段数； 两端植树一端植树两端都不植树两端植树一端植树两端都不植树 封闭植树封闭植树 6、类似于“两端不植树”的还有“上楼梯问题” ，上到 N 楼用 M 分钟，则上每层楼用 M/(N-1)分钟。 “锯木头、剪绳子” ，锯成 N 段需要锯（N-1）次； “站成一列” ，N 个人站成一 列，相邻两人间隔 M 米，队伍长 M(N-1)米。 通常植树问题有的时候会结合差值比例法差值比例法或者最小公倍数最小公倍数思想来辅助解题。 灰兔万能思维：植树问题，难点归根结底在于间隔数与棵树的关系，到底加 1 不加， 生活化！可以想象简单例子，一条线段，四棵树，考虑间隔数和棵数 灰兔万能思维：植树问题，难点归根结底在于间隔数与棵树的关系，到底加 1 不加， 生活化！可以想象简单例子，一条线段，四棵树，考虑间隔数和棵数 . 题目精讲题目精讲 只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量只有初恋般的热情和宗教般的意志，人才能够成就某种事业。专注成就灰兔数量QQ:516231872 数量秒杀资料