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小波分析及其在图像处理中的应用,第章预备知识,空间在各种集合中引入某些不同的确定关系，赋予集合以某些空间结构，不同空间结构的集合称为不同的空间。空间集合关系,数域（numberfield）,设是某些复数的集合，基中包括，。如果对四则运算封闭，则称为一个数域。例：按我们熟知的定义，都是数域，不是数域。,线性空间,线性运算集合:数域:加法(addition)数乘法（scalarmultiplication）加法和数乘法与起统称为集合在数域上的线性运算。(linearoperation).,加法(addition),数乘法（scalarmultiplication）,线性运算,零元素（zeroelement）:1,负元素(negativeelement):,线性空间,线性子空间,空间的和与直和,线性相关与线性无关,维数与基,维数与基,距离度量空间,设集合S,如果实值函数：SSR满足下列三个条件:(1)(x，y)0，(x，y)=0x=y；(2)(x，y)=(y，x)；(3)(x，z)(x，y)+(y，z)，其中x，y，z是S中任意的点,则称为S上的距离(函数)(distancefunction)或度量（metric）。,距离度量空间,如果在非空集合S上定义了一个距离：SSR，则S与在一起，称为一个度量空间（metricspace），记作（S，）。S中的点或子集仍分别称为（S，）中的点或子集。（S，）称为完备度量空间（completemetricspace），如果其中的每一个柯西序列都收敛。,范数赋范线性空间,设X是数域P上的线性空间，如果函数：XE1满足下列条件：正定性：x0，xX，当且仅当x=0时x=0；齐次性：x=|x，xX，P；三角不等式：x+yx+y，x，yX，则称为X上的范数（norm）。（3）也称为次可加性（subadditivity）。,范数赋范线性空间,设X是一个线性空间，是X上的一种范数，则X和在一起，称为一个赋范线性空间（normedlinearspace），记作（X，）或简记作X。,巴拿赫空间,完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间（Banachspace），它是一类重要的赋范空间。,内积内积空间,在抽象的线性空间中赋予内积结构，便能建立正交性的概念，从而使空间类似于欧几里得空间，具有正交集、正交投影等几何属性。抽象的内积的定义依据酉空间中内积的四条性质。,内积,内积空间,如果线性空间X中规定了内积(,)，则X与(,)在一起，称为一个内积空间(innerproductspace)，记作(X，(,)或简记作X。,内积空间,希尔伯特空间,如果内积空间X作为导出范数下的一个赋范线性空间是完备的，则称X为希尔伯特（Hibert）空间。,希尔伯特空间,投影,线性空间中内积与基下的坐标的关系,线性空间中内积与基下的坐标的关系,线性空间中内积与基下的坐标的关系,对于标准正交基,线性空间
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