天津和平区高三数学下学期第二次质量调查文

天津市和平区2019届高三下学期二模考试数学（文）试题温馨提示：本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！第卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 . 柱体的体积公式. 锥体的体积公式. 其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,表示柱体的高. 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，集合,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.已知满足约束条件则的最小值为A. 2B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在y轴的截距有最大值，据此结合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选：C.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】由流程图可知，程序输出的值为：，即 故选：B.【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列结论错误的是A. 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题：“， ”的否定是“， ”D. 若“”为假命题，则均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若“”，当时不满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，综上可得，“”是“”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D. 由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题.即结论错误的为B选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否定与原命题肯定一真一假;原命题与其逆否命题同真假.5.已知函数的图象关于直线对称，当时，若，则的大小关系是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的图象关于直线对称,所以为偶函数，当时，函数单增，;，,因为,且函数单增，故,即，故选D.6.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，则函数yg(x)的图象的一个对称中心是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的伸缩变换规律，得到的解析式，求出它的对称中心，结合选项，选出正确的一个对称中心。【详解】由题意可知： 令，是函数的图象的一个对称中心，故本题选A。【点睛】本题考查了余弦函数的伸缩变换、对称中心.7.已知双曲线 的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为 为原点），则抛物线的准线方程为A. .B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先联立双曲线的渐近线方程和直线确定点P的坐标，然后求解的面积得到a,b的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可.【详解】不妨取双曲线的渐近线方程为，与直线联立可得：，即,由题意可得，抛物线方程为，其准线方程为.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当取得最小值时点P的坐标，然后求解的值即可.【详解】，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当x=2，y=1时取最小值，此时.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。2. 本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. 9.如果（表示虚数单位），那么 _.【答案】1【解析】【分析】首先化简，然后由复数相等的充分必要条件可得m的值.【详解】由于，结合题意可得：，由复数相等的充分必要条件可得：.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知曲线的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为_【答案】2【解析】试题分析：函数的定义域为，设因为切点坐标为，所以，解得（舍去）或,所以应填2.考点：导数的几何意义.11.过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据圆切线长定理，可知 ,设则的长度就是点到直线的距离，在中，利用相似三角形，得到比例式，可以求出,进而求出。【详解】连接 设因为是圆的两条切线,所以,则,显然相似于所以点到直线的距离为。【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题中充分利用直角三角形相似是关键。12.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为_.【答案】【解析】【分析】题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为，设高为，由题意可得：，该四棱柱的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查正四棱柱外接球的性质，正四棱柱的表面积的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】只要满足，求出最值，解不等式，即可求出实数的最大值【详解】：设不等式对任意实数都成立，只需满足，即可。所以有因此实数的最大值为。【点睛】本题考查了二次函数的最值、指数函数的单调性。14.已知函数且函数在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将原问题转化为两个函数有且仅有两个不同的交点的问题，则实数的值等价于直线的斜率，结合函数的图像研究临界情况即可确定实数取值范围.【详解】函数在内有且仅有两个不同的零点，即函数与函数在内有且仅有两个不同的交点，表示过点，斜率为的直线，绘制函数的图像如图所示，考查临界情况：首先考查经过点且与相切的直线方程的斜率：由可得，故切点坐标为，切线的斜率，切线方程为：,切线过点，故，解得：，故切线的斜率，由可得，由可得，结合图形可得实数取值范围是.【点睛】本题主要考查已知函数零点求参数取值范围的方法，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知三角形中，角的对边分别是，且=.()求角的大小及的值；()若的面积为，求的最小值.【答案】（1），= ；（2）。【解析】【分析】（1）利用正弦定理实现边角转化，逆用两角和的正弦公式简化等式，再利用三角形内角和定理，求出角的余弦值，最后求出角，利用诱导公式可以求出的值。（2）通过面积的计算，可以得到的值，利用基本不等式，可以求出的最小值。【详解】（1）由正弦可知：，代入中，得而 ,=（2）因为的面积为，所以由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立），因此的最小值是。【点睛】本题考查了正弦定理、面积公式、基本不等式.属于中档题。16.某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.() 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；() 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析：列出所有可能抽取的结果；求抽取的2所学校没有大学的概率.【答案】() 所；()见解析； 【解析】【分析】（）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有15种，按规律列举即可；先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果【详解】() 解: 学校总数为，分层抽样的比例为计算各类学校应抽取的数目为：，.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为所. () 解: 在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为；2所中学分别记为；1所大学记为.则应抽取的2所学校的所有结果为：， ， ，共15种. 设“抽取的2所学校没有大学”作为事件.其结果共有10种.所以，.【点睛】本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题.17.如图，已知， ，且是的中点，.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）。【解析】【分析】（1）取的中点，可以利用中位线定理，根据已知的平行关系和长度关系，可以得到一个平行四边形，利用平行四边形的对边平行，这样得到线线平行，也就能证明出线面平行；（2）通过已知和（1）可知，通过线面垂直和平行线的性质，可以这样可以证明出线面垂直，而从而证明出平面利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面；（3）通过（2）证明出的线面垂直关系，找到线面角，利用勾股定理、平行四边形的性质，求出相关的边，利用正弦的定义，求出与平面所成角的正弦值。详解】（1）如上图，取的中点，连接,由是的中点，且又，且 且. 是平行四边形，从而，又平面，平面, 因此；（2）证明：是的中点，因为平面，所以平面，又平面 而 平面由可知平面 平面，平面平面；（3）由（2）知平面 是在平面的射影，则与平面所成的角为，因为，所以,由（1）可知：是平行四边形，从而，在中，与平面所成角的正弦值是。【点睛】本题考查了线面平行、面面垂直的判定以及线面角的求法。18.设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为已知（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率【答案】（1）；（2）直线的斜率为或【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点的坐标为，由已知，可得，结合，可得，从而可求得椭圆的离心率；（2）在（1）的基础上，可先利用及数量积的坐标运算求出点的坐标，再求出以线段为直径的圆的方程（圆心坐标和半径），最后设经过原点的与该圆相切的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即可得求得直线的斜率（1）设椭圆的右焦点的坐标为由，可得，又，则，椭圆的离心率（2）由（1）知，故椭圆方程为设由，有，由已知，有，即又，故有又点椭圆上，故由和可得而点不是椭圆的顶点，故，代入得，即点的坐标为设圆的圆心为，则，进而圆的半径设直线的斜率为，依题意，直线的方程为由与圆相切，可得，即，整理得，解得直线的斜率为或考点：1椭圆的标准方程和几何性质；2直线和圆的方程；3直线和圆的位置关系【此处有视频，请去附件查看】19.已知数列是正项等比数列，,数列满足条件.() 求数列、的通项公式；() 设,记数列的前项和.求； 求正整数，使得对任意，均有.【答案】（1），（2） 。【解析】【分析】（1）根据，列出方程组，求出等比数列的首项及公比，求得数列的通项公式；，利用等比数列的通项公式对等式进行化简，求出的通项公式；（2）分别求出、的前项和公式，再一相减，求出；利用函数的单调性，判断的单调性，从而求出正整数。【详解】（1）设数列是正项等比数列的公比为，因为，所以有，所以 （2）因为 ，所以，令，由于比变化的快，所以，得，即,递增