天津和平区高三数学下学期第二次质量调查试卷文

天津市和平区2019届高三数学下学期第二次质量调查试卷 文（含解析）温馨提示：本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！第卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 . 柱体的体积公式. 锥体的体积公式. 其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,表示柱体的高. 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，集合,则A. B. C. D. xx1【答案】B【解析】【分析】由集合M=xy=lg(x21)=x|x1,N=x0x2，先求解CUM，再由集合N能够求出答案.【详解】因为全集U=R,集合M=xy=lg(x21)=x|x1,N=x0x2，所以CUM=x|1x1，所以N(CUM)=x|0b”是“ac2bc2”的充分不必要条件C. 命题：“xR， x2x0”的否定是“xR， x2x0”D. 若“pq”为假命题，则p,q均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题是“若x2，则x2-3x+20”B. 若“ab”，当c=0时不满足“ac2bc2”，即充分性不成立，反之，若“ac2bc2”，则一定有“ab”，即必要性成立，综上可得，“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“xR，x2-x0”的否定是“xR，x2-x0”，D. 由真值表可知：若“pq”为假命题，则p,q均为假命题.即结论错误的为B选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否定与原命题肯定一真一假;原命题与其逆否命题同真假.5.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称，当x(0,+)时，f(x)=log2x，若a=f(3)，b=f(14)，c=f(2)，则a,b,c的大小关系是A. abcB. bacC. cabD. acb【答案】D【解析】函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称,所以y=f(x)为偶函数，当x(0,+)时，f(x)=log2x，函数单增，a=f-3=f(3);b=f(14)，c=f(2),因为3214,且函数单增，故f3f2f(14),即acb，故选D.6.将函数fx=2cosx+6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，则函数yg(x)的图象的一个对称中心是A. 6,0B. 1112,0C. 12,0D. 512,0【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的伸缩变换规律，得到y=gx的解析式，求出它的对称中心，结合选项，选出正确的一个对称中心。【详解】由题意可知：gx=f2x=2cos2x+6, 2x+6=k+2kZ,x=k2+6kZ,令k=0，6,0是函数y=gx的图象的一个对称中心，故本题选A。【点睛】本题考查了余弦函数的伸缩变换、对称中心.7.已知双曲线C:x2a2y2b2=1 (a0,b0)的右焦点为F(c,0)，直线x=a2c与一条渐近线交于点P，POF的面积为a2 (O为原点），则抛物线y2=2bax的准线方程为A. y=12.B. x=1C. x=1D. x=2【答案】C【解析】【分析】首先联立双曲线的渐近线方程和直线x=a2c确定点P的坐标，然后求解POF的面积得到a,b的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可.【详解】不妨取双曲线的渐近线方程为bxay=0，与直线x=a2c联立可得：x=a2cy=abc，即Pa2c,abc,由题意可得SPOF12cabc=ab2=a2，b2a,2ba=4，抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在ABC中，AB=2AC=6，BABC=BA2，点P是ABC所在平面内的一点，则当PA2+PB2+PC2取得最小值时，APBC=A. 35B. 9C. 7D. 25【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量的定义可得CAB=2，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当PA2+PB2+PC2取得最小值时点P的坐标，然后求解APBC的值即可.【详解】BABC=|BA|BC|cosB=|BA|2，|BC|cosB=|BA|，CAAB，CAB=2，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0),C(0,3)，设P(x,y)，则PA2+PB2+PC2=x2+y2+(x6)2+y2+x2+(y3)2=3x212x+3y26y+45=3(x2)2+(y1)2+10，所以当x=2，y=1时PA2+PB2+PC2取最小值，此时APBC=(2,1)(6,3)=9.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。2. 本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. 9.如果21i=1+mi（mR,i表示虚数单位），那么m= _.【答案】1【解析】【分析】首先化简21-i，然后由复数相等的充分必要条件可得m的值.【详解】由于21i=1+i1i1i=1+i，结合题意可得：1+i=1+mi，由复数相等的充分必要条件可得：m=1.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知曲线y=x24lnx+1的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为_【答案】2【解析】试题分析：函数y=x243lnx的定义域为(0,+)，设因为切点坐标为(x0,y0)，所以y=x23x,k=y|x=x0=x023x0=12，解得x0=3（舍去）或x0=2,所以应填2.考点：导数的几何意义.11.过点P(3,4)作圆C:x2+y2=9的两条切线，切点分别为A,B，则点P到直线AB的距离为_.【答案】165【解析】【分析】根据圆切线长定理，可知PAAC, PCAB,设PCAB=E,则PE的长度就是点P到直线AB的距离，在RtPAC中，利用相似三角形，得到比例式，可以求出CE,进而求出PE。【详解】连接AB,PC 设PCAB=E,因为PA,PB是圆的两条切线,所以PAAC,PCAB,则PC=5,AC=3,显然RtACE相似于RtPCAACPC=CECACE=95PE=165,所以点P到直线AB的距离为165。【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题中充分利用直角三角形相似是关键。12.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为2cm的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为_.【答案】2+42cm2【解析】【分析】题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为1cm，设高为hcm，由题意可得：12+12+h2=22，h2=2,h=2，该四棱柱的表面积为S=211+12+12=2+42cm2.故答案为：2+42cm2【点睛】本题主要考查正四棱柱外接球的性质，正四棱柱的表面积的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.若不等式x2+2x+3213a对任意实数x都成立,则实数a的最大值为_.【答案】13【解析】【分析】只要满足(x2+2x+3)max213a，求出最值，解不等式，即可求出实数a的最大值【详解】：设f(x)=x2+2x+3,不等式-x2+2x+321-3a对任意实数x都成立，只需满足f(x)max213a，即可。f(x)=x2+2x+3=(x1)2+4f(x)max=4,所以有4213aa13,因此实数a的最大值为13。【点睛】本题考查了二次函数的最值、指数函数的单调性。14.已知函数f(x)=1x+13，x(1，0，3x，x(0，1，且函数g(x)=f(x)mxm在(1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是_.【答案】94,20,32【解析】【分析】将原问题转化为两个函数有且仅有两个不同的交点的问题，则实数m的值等价于直线的斜率，结合函数的图像研究临界情况即可确定实数m取值范围.【详解】函数g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点，即函数fx与函数y=mx+1在(-1,1内有且仅有两个不同的交点，y=mx+1表示过点1,0，斜率为m的直线，绘制函数fx的图像如图所示，考查临界情况：首先考查经过点1,0且与y=1x+13相切的直线方程的斜率：由y=1x+13可得y=1(x+1)2，故切点坐标为x0,1x0+13，切线的斜率k=1x0+12，切线方程为：y1x0+13=1(x0+1)2xx0,切线过点1,0，故01x0+13=1(x0+1)21x0，解得：x0=13，故切线的斜率k=113+12=94，由K(1,0),B(0,2)可得kKB=200(1)=2，由K(1,0),C(1,3)可得kKC=301(1)=32，结合图形可得实数m取值范围是94,20,32.【点睛】本题主要考查已知函数零点求参数取值范围的方法，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且(2ac)cosB=bcosC.()求角B的大小及cos(2B+3)的值；()若ABC的面积为22，求a+c的最小值.【答案】（1）B=4，cos2B+3= 32；（2）42。【解析】【分析】（1）利用正弦定理实现边角转化，逆用两角和的正弦公式简化等式，再利用三角形内角和定理，求出角B的余弦值，最后求出角B，利用诱导公式可以求出cos2B+3的值。（2）通过面积的计算，可以得到ac的值，利用基本不等式，可以求出a+c的最小值。【详解】（1）由正弦可知：asinA=bsinB=csinC，代入2a-ccosB=bcosC中，得(2sinAsinC)cosB=sinBcosC2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB2sinAcosB=sin(B+C),而A+B+C= 2sinAcosB=sin(A)2sinAcosB=sinA,A(0,)sinA0cosB=22,B(0,)B=4,cos2B+3=cos(24+3)=cos(2+3)=sin3=32.（2）因为ABC的面积为22，所以12acsinB=22ac=8,由基本不等式可知a+c2ac=42（当且仅当a=c时，等号成立），因此a+c的最小值是42。【点睛】本题考查了正弦定理、面积公式、基本不等式.属于中档题。16.某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.() 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；() 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析：列出所有可能抽取的结果；求抽取的2所学校没有大学的概率.【答案】() 3,2,1所；()见解析； 23【解析】【分析】（）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有15种，按规律列举即可；先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果【详解】() 解: 学校总数为21+14+7=42，分层抽样的比例为642=17计算各类学校应抽取的数目为：2117=3，1417=2，717=1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1所. () 解: 在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为a1,a2,a3；2所中学分别记为b1,b2；1所大学记为.则应抽取的2所学校的所有结果为：a1,a2，a1,a3，a1,b1，a1,b2，a1,c，a2,a3，a2,b1，a2,b2，a2,c， a3,b1，a3,b2，a3,c， b1,b2，b1,c，b2,c，共15种. 设“抽取的2所学校没有大学”作为事件A.其结果共有10种.所以，P(A)=1015=23.【点睛】本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题.17.如图，已知AB平面ACD，AB/DE AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=3.（1）求证：AF/平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE；（3）求CB与平面CDE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）155。【解析】【分析】（1）取CE的中点G，可以利用中位线定理，根据已知的平行关系和长度关系，可以得到一个平行四边形，利用平行四边形的对边平行，这样得到线线平行，也就能证明出线面平行；（2）通过已知和（1）可知AFCD，通过线面垂直和平行线的性质，可以DEAF,这样可以证明出线面垂直，而AFBG,从而证明出BG平面CDE,利用面面垂直的判定定理可以证明出平面BCE平面CDE；（3）通过（2）证明出的线面垂直关系，找到线面角，利用勾股定理、平行四边形的性质，求出相关的边，利用正弦的定义，求出CB与平面CDE所成角的正弦值。详解】（1）如上图，取CE的中点G，连接BG,FG,由F是CD的中点，FGDE,且FG=12DE,又AB/DE，且AB=12DE,FG=AB, 且FGAB. ABGF是平行四边形，从而FAGB，又AF平面BCE，BG平面BCE, 因此AF/平面BCE；（2）证明：AD=AC,F是CD的中点，AFCD，因为AB平面ACD，ABDE，所以DE平面ACD，又AF平面ACD, DEAF,而DECD=D, AF平面CDE,由AFBG,可知BG平面CDE, BG平面BCE，平面BCE平面CDE；（3）由（2）知BG平面CDE, CG是CB在平面CDE的射影，则CB与平面CDE所成的角为BCG，因为AB平面ACD，所以ABACBC=5,由（1）可知：ABGF是平行四边形，从而GB=AF=3，在RtCBG中，sinBCG=BGBC=35=155,CB与平面CDE所成角的正弦值是155。【点睛】本题考查了线面平行、面面垂直的判定以及线面角的求法。18.设椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B已知|AB|=32|F1F2|（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线与该圆相切，求直线的斜率【答案】（1）e=22；（2）直线的斜率为4+15或415【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)，由已知|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2，结合b2=a2c2，可得c2a2=12，从而可求得椭圆的离心率；（2）在（1）的基础上，可先利用F1PF1B=0及数量积的坐标运算求出P点的坐标，再求出以线段PB为直径的圆的方程（圆心坐标和半径），最后设经过原点O的与该圆相切的直线的方程为y=kx，由圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即可得求得直线的斜率（1）设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)由|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2，又b2=a2c2，则c2a2=12，椭圆的离心率e=22（2）由（1）知a2=2c2，b2=c2，故椭圆方程为x22c2+y2c2=1设P(x0,y0)由F1(c,0)，B(0,c)，有F1P=(x0+c,y0)，F1B=(c,c)由已知，有F1PF1B=0，即(x0+c)c+y0c=0又c0，故有x0+y0+c=0又点P椭圆上，故x022c2+y02c2=1由和可得3x02+4cx0=0而点P不是椭圆的顶点，故x0=4c3，代入得y0=c3，即点P的坐标为设圆的圆心为4+15，则，进而圆的半径设直线的斜率为，依题意，直线的方程为y=kx由与圆相切，可得，即，整理得，解得直线的斜率为或考点：1椭圆的标准方程和几何性质；2直线和圆的方程；3直线和圆的位置关系【此处有视频，请去附件查看】19.已知数列an是正项等比数列，a1+a3=10,a42a2=a3,数列bn满足条件a1a2a3an=(2)bn.() 求数列an、bn的通项公式；() 设cn=1an1bn,记数列cn的前n项和Sn.求Sn； 求正整数k，使得对任意nN，均有SkSn.【答案】（1）an=2n，bn=n(n+1);（2）Sn=1n+1-(12)n; k=4。【解析】【分析】（1）根据a1+a3=10，a4-2a2=a3，列出方程组，求出等比数列an的首项及公比，求得数列an的通项公式；a1a2a3an=(2)bn，利用等比数列an的通项公式对等式进行化简，求出bn的通项公式；（2）分别求出an、bn的前n项和公式，再一相减，求出Sn；利用函数的单调性，判断Sn的单调性，从而求出正整数k。【详解】（1）设数列an是正项等比数列的公比为q0，因为a1+a3=10，a4-2a2=a3所以有a1+a1q=10a1q32a1q=a1q2a1=2q=2，所以an=2n;a1a2a3an=(2)bn 222232n=(2)bn21+2+3+n=(2)bn2n(n+1)2=2bn2bn=n(n+1);（2）因为 cn=1an-1bn，所以，Sn=c1+c2+c3+cn，S