山东威海高三数学第二次模拟理

山东省威海市2019届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据复数的乘除法求出复数的代数形式，然后再求出即可【详解】，故选C【点睛】本题考查复数的运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数的代数形式，属于基础题2.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数的单调性求出集合，解不等式得到集合，然后再求出即可得到答案【详解】由题意得，又，故选B【点睛】本题考查集合的交集，解题的关键是根据题意得到集合，属于基础题3.下图所示茎叶图中数据的平均数为89，则的值为( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图中的数据及平均数的定义得到关于的方程，解方程可得所求【详解】茎叶图中数据为：，由数据平均数为89得，解得故选B【点睛】解答本题时首先要由茎叶图得到相关数据，解题的关键是要明确茎叶图中茎中的数字表示十位数字，叶中的数字表示各位数字，属于基础题4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据三角函数的定义求出，然后再根据二倍角的余弦公式求出【详解】为角终边上一点，故选D【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基础知识的掌握情况和转化能力的运用，属于基础题5.若满足约束条件 则的最大值为( )A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】A【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由得，平移直线并结合的几何意义得到最优解，进而可得所求最大值【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示由得，所以表示直线在轴上截距的相反数平移直线，结合图形可得当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值由解得，所以，所以故选A【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力6.函数的图象可由的图象如何变换得到( )A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意化简得，然后再把函数的图象经过平移后可得到所求答案【详解】由题意得，所以将函数的图象向右平移个单位可得到函数，即函数的图象故选B【点睛】在进行三角函数图象的变换时要注意以下几点：变换的方向，即由谁变换到谁；变换前后三角函数名是否相同；变换量的大小特别注意在横方向上的变换只是对变量而言的，当的系数不是1时要转化为系数为1的情况求解7.若为所在平面内一点，且，则的形状为( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】由条件可得，即，进而得到，所以为直角三角形【详解】，即，两边平方整理得，为直角三角形故选C【点睛】由于向量具有数和形两方面的性质，所以根据向量关系式可判断几何图形的形状和性质，解题时需要对所给的条件进行适当的变形，把向量的运算问题转化为几何中的位置关系问题，解题中要注意向量线性运算的应用，属于中档题8.已知函数的图象关于直线对称，则函数的值域为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象关于直线对称可得，由此可得，所以，再结合函数的单调性和定义域求得值域【详解】函数的图象关于直线对称，即，整理得恒成立，定义域为又，时，函数的值域为故选D【点睛】解答本题时注意两点：一是函函数的图象关于对称；二是求函数的值域时首先要考虑利用单调性求解本题考查转化及数形结合等方法的利用，属于中档题9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为( )A. 6B. 8C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出四棱锥的直观图，然后再结合四棱锥的特征并根据体积公式求出其体积即可【详解】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体中的四棱锥，其中在长方体中，点分别为的中点由题意得，所以可得，又，所以平面即线段即为四棱锥的高所以.故选B【点睛】本题考查三视图还原几何体和几何体体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，解题的关键是由三视图得到几何体的直观图，属于中档题10.在中，向量 在上的投影的数量为，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量 在上的投影的数量为可得，由可得，于是可得，然后再根据余弦定理可求得的长度【详解】向量 在上的投影的数量为，由得，为的内角，在中，由余弦定理得，故选C【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和解三角形，解题的关键是根据题意逐步得到运用余弦定理时所需要的条件，考查转化和计算能力，属于中档题11.已知函数的定义域为，对任意的满足.当时，不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意构造函数，则，所以得到在上为增函数，又然后根据可得，于是，解三角不等式可得解集【详解】由题意构造函数，则，函数在上为增函数，又，不等式的解集为故选D【点睛】解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解，构造时要结合所求的结论进行分析、选择，然后根据所构造的函数的单调性求解本题考查函数和三角函数的综合，难度较大12.设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设的重心和内心分别为，则设，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得，于是，所以然后由点在双曲线上可得，于是可得离心率【详解】画出图形如图所示，设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得不妨设点在第一象限内，是的重心，为的中点，点坐标为由双曲线的定义可得，又，为双曲线的右顶点又是的内心，设点的坐标为，则由题意得轴，故，点坐标为点在双曲线上，整理得，故选A【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点的坐标，考查转化和计算能力，难度较大第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中，的系数是_【答案】80.【解析】【分析】先求出二项展开式的通项，然后可求出的系数【详解】由题意得，二项展开式的通项为，令得的系数为故答案：【点睛】解答此类问题的关键是求出二项展开式的通项，然后再根据所求问题通过赋值法得到所求，属于基础题14.已知抛物线上一点到轴的距离为4,到焦点的距离为5,则_【答案】2或8.【解析】【分析】设，则，由题意可得，两式消去后解方程可得所求值【详解】设，则，又点到焦点的距离为5，由消去整理得，解得或故答案为：2或8【点睛】本题考查抛物线定义的应用，即把曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，属于基础题15.直三棱柱中，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为，则球表面积的最小值为_【答案】.【解析】【分析】设，由三棱锥的体积为可得然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值【详解】如图，在中，设，则分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心连，则为外接球的半径，设半径为三棱锥的体积为，即，在中，可得，当且仅当时等号成立，球表面积的最小值为故答案为：【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大16.“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为_【答案】10或64.【解析】【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出的所有可能的取值【详解】如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64所以正整数的值为10或64故答案为：10或64【点睛】本题考查推理应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知是递增的等比数列，成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列满足，求数列的前项和.【答案】() .() .【解析】【分析】()由条件求出等比数列的首项和公比，然后可得通项公式()由题意得，再利用累加法得到，进而可求出【详解】()设等比数列的公比为，成等差数列，即，解得或（舍去）又，.()由条件及（）可得，又满足上式，【点睛】对于等比数列的计算问题，解题时可转化为基本量（首项和公比）的运算来求解利用累加法求数列的和时，注意项的下标的限制，即注意公式的使用条件考查计算能力和变换能力，属于中档题18.如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，与平面所成角的正切值为.()证明：平面；()若是的中点，求二面角的余弦值.【答案】（）见解析.（）.【解析】【分析】()先证明为与平面所成的角，于是可得，于是又由题意得到，故得，再根据线面平行的性质可得所证结论 () 取的中点，连接，可证得建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值【详解】()证明：因为平面，平面，所以又,所以平面，所以为与平面所成的角在中，所以所以在中，,.又，所以在底面中，,又平面，平面，所以平面()解：取的中点，连接，则,由()知，所以，分别以，为，轴建立空间直角坐标系.则， 所以，设平面的一个法向量为，由，即，得，令，则设平面的一个法向量为，由，即，得，令，则所以，由图形可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论19.某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），己知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100 元.现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表: 以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在 甲、乙两市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，(单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润.()当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的槪率；()以销售利润的期望为决策依据，判断与应选用哪个.【答案】()解析式见解析；槪率为0.71；() .【解析】【分析】() 根据题意可得解析式为分段函数分析题意可得当时可满足利润不少于8900元，求出的概率后再根据对立事件的概率公式求解即可 () 结合题意中的销售情况，分别求出当和时的销售利润的期望，比较后可得结论【详解】()由题意可知，当，；当，所以与的函数解析式为.由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3.设销售的利润不少于8900元的事件记为.当，当，解得，所以由题意可知，；所以.()由题意得，当时，；当时，因为，所以应选【点睛】本题考查应用概率解决生活中的实际问题，解题的关键是深刻理解题意，然后再根据题中的要求及数学知识进行求解，考查应用意识和转化、计算能力，是近年高考的热点之一，属于中档题20.在直角坐标系中，设椭圆的左焦点为,短轴的两个端点分别为，且，点在上.()求椭圆的方程；()若直线与椭圆和圆分别相切于,两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.【答案】() .() .【解析】【分析】() 由，可得；由椭圆经过点，得，求出后可得椭圆的方程()将直线方程与椭圆方程联立消元后根据判别式为零可得，解方程可得切点坐标为，再根据直线和圆相切得到，然后根据在直角三角形中求出，进而得到，将代入后消去再用基本不等式可得当三角形面积最大时，于是可得，于是直线方程可求【详解】()由，可得，由椭圆经过点，得，由得，所以椭圆的方程为()由消去整理得（*），由直线与椭圆相切得，整理得，故方程（*）化为，即，解得，设，则，故，因此又直线与圆相切，可得所以， 所以，将式代入上式可得，由得，所以，当且仅当时等号成立，即时取得最大值 由，得，所以直线的方程为【点睛】解决解析几何问题的关键是将题中的信息坐标化，然后再利用一元二次方程根与系数的关系进行转化处理，逐步实现变量化一的目的由于解题中要涉及到大量的计算，所以要注意计算的合理性，通过“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解，考查转化和计算能力，属于难度较大的问题21.已知函数.()讨论函数的单调性；()证明：当时，函数有最大值.设的最大值为，求函数的值域.【答案】()答案见解析.()答案见解析.【解析】【分析】()，令，然后根据判别式的符号讨论函数函数值的情况，进而得到的符号，于是可得函数的单调情况()由题意得，结合（）得当时，在上单调递减，且，因此得到对任意，存在唯一的，使，且在单调递增，在单调递减，所以的最大值设，则在单调递减，可得，进而可得所求值域详解】()由，得令，则，（1）当时，所以，所以在上单调递减（2）当或时，设的两根为且，则，若，可知，则当时，单调递减；当时，单调递增若，可知，则当时，单调递减；当时，单调递增综上可知：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增()由，得 ，由()可知当时，在上单调递减，且，所以对任意，存在唯一的，使（反之对任意，也存在唯一，使）.且当时，在单调递增；当时，在单调递减.因此当时，取得最大值，且最大值，令，则，所以在单调递减，所以，即，所以的值域为【点睛】解答关于导数的综合问题时要熟练掌握函数单调性的判断方法，理解函数单调性与导数的关系在解题中，对于含参数问题要注意对隐含条件的挖掘，利用函数的单调性解不等式，注意对参数的讨论；对于函数的最值问题首先要考虑利用函数的单调性求解本题综合考查利用导数研究单调性、求函数的最值等，难度较大22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线