山东实验中学等四校高三数学联合考试文

山东省山东省实验中学 淄博实验中学 烟台中学 莱芜一中四校2019届高三联考文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解即可【详解】是纯虚数，即，故选C【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.Z(M)表示集合M的子集个数，设集合A=，B=，则=A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】B【解析】【分析】求出集合A,B，取交集得到AB，从而得出Z（AB）【详解】；B= ；集合的子集有：Z（AB）4故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的子集个数问题以及解对数不等式和分式不等式，属于基础题.3.过椭圆C： (ab0)的上顶点与右焦点的直线方程为x+2y4=0，则椭圆C的标准方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过直线方程可得椭圆的上，右顶点坐标，从而可确定椭圆方程.【详解】直线方程为，令x=0,则y=2,得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b=2,令y=0,则x=4,得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a=4,从而得到椭圆方程为：故选：A【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，属于简单题.4.设实数满足则的大小关系为A. cabB. cbaC. acbD. bc0)，且，若恒成立，则m的最大值_【答案】【解析】【分析】在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论【详解】不等式两边同时取对数得，即x2lnx1x1lnx2，又即成立，设f（x），x（0，m），x1x2，f（x1）f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数，由f（x）0得1lnx0得lnx1，得0xe，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故答案为：e【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答。17.设正项等比数列且的等差中项为(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意，得，解得，所以.（2）由（1）得，.【思路点拨】（1）根据等比数列的公式得到求得基本量，进而得到通项；（2）根据第一问得到，从而得到，再裂项求和即可.18.如图所示的矩形ABCD中，AB=AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF/AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60，连接BD，FD(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM/平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥GBDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度【答案】（1）见解析；（2）,2【解析】【分析】（1）取线段EF的中点M，得GMDF，由线面平行的判定定理可得GM平面BDF；（2）由题意可得AE与DE的夹角为60，过D作DP垂直于AE交AE于P，可得DP为点D到平面ABFE的距离，设DEx，则AEBF4x，利用等积法写出三棱锥GBDF的体积，再由基本不等式求最值，并求出DE的长度【详解】（1）取线段EF的中点M，有GM平面BDF证明如下：如图所示，取线段EF的中点M，G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，GM为EDF的中位线，故GMDF，又GM平面BDF，DF平面BDF，故GM平面BDF；（2）CFDE，且AE与CF的夹角为60，故AE与DE的夹角为60，即，过D作DPAE交AE于P，由已知得DEEF，AEEF，EF平面AED，EFDP,又AEEF=E,DP平面AEFB，即DP为点D到平面ABFE的距离，且，设DEx，则AEBF4x，由（1）知GMDF， ，当且仅当4xx时等号成立，此时xDE2故三棱锥GBDF的体积的最大值为，此时DE的长度为2【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，考查利用等体积法求多面体的体积和利用基本不等式求最值问题，考查空间想象能力与计算能力，是中档题19.“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购2019年春节期间，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.2元，2.9元，3.3元，5.9元，4.8元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送饮水杯(1)求获得饮水杯的三人中至少有一人的红包超过5元的概率；(2)统计一周内每天使用支付宝付款的人数x与商家每天的净利润y元，得到7组数据，如表所示，并作出了散点图(i)直接根据散点图判断，与出哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型(ii)根据(i)的判断，建立y关于x的回归方程；若商家当天的净利润至少是1400元，估计使用支付宝付款的人数至少是多少?(a，b，c，d的值取整数)参考数据：附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】（1）；（2）（）ya+bx，（），至少是116人【解析】【分析】（1）记“获得水杯的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件M，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为A1，A2，不足5元的三人分别记为B1，B2，B3，利用古典概型概率公式求解即可；（2）（i）根据散点图判断，ya+bx适合；（ii）求出回归直线方程，推出结果即可【详解】（1）记“获得水杯的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件M，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为A1，A2，不足5元的三人分别记为B1，B2，B3，从这5名顾客中随机抽取3人，抽取情况如下：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，共10种，其中至少有一人的红包超过5元的是前9种情况，所以（2）（）根据散点图可判断，选择ya+bx作为每天的净利润的回归方程类型比较适合（）由最小二乘法求得系数，所以，所以y关于x的回归方程为103+13x若商家当天的净利润至少是1400元，则1400=-103+13x，解得故使用支付宝付款的人数至少是116人.【点睛】本题考查回归直线方程的应用和古典概型概率的求法，考查分析和计算能力，属于中档题.20.已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于，两点，且点在轴上方，点在轴下方，若，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 由条件知从而解得，即可得到椭圆的方程；（2）设，则，设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得，由韦达定理及可建立关于未知量的方程，解之即可.【详解】（1）由条件知解得因此椭圆的方程为.（2）解法一：设，则，设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得，由韦达定理得，由知，即，带入上式得，所以，解得，结合图形知，故直线斜率为.解法二：设，则，设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得，因此，由知，代入上式得 ，解得，结合图形知，故直线的斜率为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，考查韦达定理的应用，考查转化能力与计算能力，属于中档题.21.设，.(1)求的单调区间；(2)当时，设恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】(1)，解，0得单调区间；(2)不等式恒成立转化为,，利用零点存在定理得，结合的单调性确定其最小值为,解不等式即可【详解】(1).，当时，递增，当时，递减。故的单调递增区间为，单调递减区间为。(2).，因为设的根为，即有，可得，当时，递减，当时，递增所以,令单增；单减，又故的解为.【点睛】本题考查函数的单调区间及最值，利用导数研究不等式恒成立，转化思想，零点存在定理的应用，考查计算能力，是中档题22.在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程为 (为参数)，过原点O且倾斜角为的直线交M于A、B两点(1)求和M的极坐标方程；(2)当时，求的取值范围【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合消去参数，得到极坐标方程，即可。（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到，用表示，结合三角函数的性质，计算范围，即可。【详解】（）由题意可得，直线的极坐标方程为.曲线的普通方程为，因为，所以极坐标方程为.（）设，且，均为正数，将代入，得，当时，所以，根据极坐标的几何意义，分别是点，的极径.从而： .当时，故的取值范围是.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大。23.已知函数，(1)当时，解不等式；(2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1