山西省太原市第五中学届高三数学下学期阶段性检测（4月）试题文 (1)

山西省太原市第五中学2019届高三数学下学期阶段性检测（4月）试题 文（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1.已知集合，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，即， 故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础2.下面关于复数的四个命题：的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为的虚部为-1其中的真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：，命题为假命题；，其在复平面内对应的点的坐标为命题为真命题；的虚部为，命题为假命题；，命题为真命题；综上可得：真命题是.本题选择C选项.3.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ）A. 计算数列的前10项和B. 计算数列的前9项和C. 计算数列的前10项和D. 计算数列的前9项和【答案】B【解析】框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i9不成立，执行S=1+20=1，i=1+1=2；判断i9不成立，执行S=1+21=1+2，i=2+1=3；判断i9不成立，执行S=1+2（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；判断i9不成立，执行S=1+2+22+28，i=9+1=10；判断i9成立，输出S=1+2+22+28算法结束故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：由题意可知：两人选课的方案有 种，满足他们选择的两门功课都不相同的事件有 种，由古典概型公式可得：他们选择的两门功课都不相同的概率为 .本题选择A选项.5.已知点在幂函数的图象上，设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】点在幂函数的图象上，,解得,且在上单调递增,又,故选A.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离， 故球半径，故球的表面积，故选D.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.7.若变量，满足约束条件，且最小值为7，则的值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论可得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得a值【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得A（2，1），B（4，5），C（1，2），化目标函数zax+3y为y当a0时，由图可知，当直线y过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值若过A，则2a+37，解得a2；若过C，则a+67，解得a1不合题意当a0时，由图可知，当直线y过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值若过A，则2a+37，解得a2，不合题意；若过B，则4a+157，解得a2，不合题意a的值为2故选：B【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题8.已知函数，则A. 在（0，2）单调递增B. 在（0，2）单调递减C. 的图像关于直线x=1对称D. 的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C【名师点睛】如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心9.函数图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B考点：函数的奇偶性及函数的图象10.若双曲线 上存在一点P满足以为边长正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由条件，又P为双曲线上一点，从而，又，考点：双曲线的离心率11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D. 方程的两个不同的解分别为，则最小值为【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、和的值，写出f（x）的解析式，求出f（x），写出g（x）f（x）+f（x）的解析式，再判断题目中的选项是否正确【详解】根据函数f（x）Asin（x+）的图象知，A2，T2，1；根据五点法画图知，当x时，x+，f（x）2sin（x）；f（x）2cos（x），g（x）f（x）+f（x）2sin（x）+2cos（x）2sin（x）2sin（x）；令xk，kZ，解得xk，kZ，函数g（x）的对称轴方程为xk，kZ，A正确；当x2k，kZ时，函数g（x）取得最大值2，B正确；g（x）2cos（x），假设函数g（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得在P点处的切线与直线l：y3x1平行，则kg（x0）2cos（x0）3，解得cos（x0）1，显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程g（x）2，则2sin（x）2，sin（x），x2k或x2k，kZ；方程的两个不同的解分别为x1，x2时，|x1x2|的最小值为，D正确故选：C【点睛】本题考查了由yAsin（x+）的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，也考查了导数的几何意义的应用以及命题真假的判断问题，属于难题12.已知函数，若函数在上无零点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为f（x）0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x（0，），f（x）0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值【详解】解：因为f（x）0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x（0，），f（x）0恒成立，即对x（0，），a2恒成立令l（x）2，x（0，），则l（x），再令m（x）2lnx2，x（0，），则m（x）0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）m（）22ln20，从而l（x）0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）l（）24ln2，故要使a2恒成立，只要a24ln2，+），【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.已知，是互相垂直的单位向量，若与夹角为30o，则的值为_【答案】【解析】【分析】由已知可得，再由与夹角为30o列式求得实数的值【详解】解：，是互相垂直的单位向量，又与夹角为30o，（）（），|，|cos30，解得：故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角得求法，是中档题14.埃及数学家发现了一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他形如 (n5，7，9，)的分数都可写成若干个单分数(分子为1的分数)和的形式，例如.我们可以这样理解：假定有2个面包，要平均分给5人，如果每人得，不够分，每人得，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得故我们可以得出形如 (n5，7，9，11，)的分数的分解：，按此规律_【答案】【解析】试题分析：假设有个面包，要分给个人每人分不够，每人分则余，再将分成份，每人得这样每人分得，故答案为.考点：归纳推理应用.15.若圆锥的内切球和外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_【答案】【解析】试题分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意的半径为，的边长为，圆锥的底面半径为，高为，考点：圆锥的体积.16.各项均为正数的数列和满足：，成等差数列， 成等比数列，且，则数列的通项公式为_【答案】【解析】由题设可得，代入，即，则是首项为的等差数列。又，故，则公差，所以，即，则，所以，应填答案。点睛：本题的求解思路是充分借助题设条件，巧妙地将已知条件等价转化为，进而运用等差数列的定义证明数列是首项为2，公差为的等差数列，然后再运用等差数列的通项公式求出，进而借助求出使得问题获解。三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，在中，内角，的对边分别为，已知，分别为线段上的点，且，（1）求线段的长；（2）求的面积【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（I）在ABC中，利用余弦定理计算BC，再在ACD中利用余弦定理计算AD；（II）根据角平分线的性质得到，又，所以，所以，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.试题解析：（1）因为，所以由余弦定理得，所以，即，在中，所以，所以（2）因为是的平分线，所以，又，所以，所以，又因为，所以，所以18.在四棱锥中，底面为平行四边形，点在底面内的射影在线段上，且，M在线段上，且 （）证明：平面；（）在线段AD上确定一点F，使得平面平面PAB，并求三棱锥的体积【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）根据余弦定理结合勾股定理可得，由平面，得。从而由线面垂直的判定定理可得结果；（）取是的中点，先证明平面，即可证明平面，然后根据棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（）证明：在中，由余弦定理得所以，从而有. 由平面，得. 所以平面. （）取是的中点，作交于点，则四边形为平行四边形，则.在中，分别是，的中点，则，所以.因为平面，所以平面.又平面，所以平面平面. . V = . 【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直及棱锥的体积公式，属于中档题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用直线和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.（1）若甲、乙两人共付费元，则甲、乙下车方案共有多少种？（2）若甲、乙两人共付费元，求甲比乙先到达目地的概率.【答案】(1)9；(2)【解析】【分析】（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过站，前站设为， ， ，（2），甲、乙两人共有种下车方案；（2）设站分别为， ， ， ， ， ， ， ， ，因为甲、乙两人共付费元，共有甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元三类情况. 由（1）可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元共有种方案. 而甲比乙先到达目的地的方案有共种，从而得到甲比乙先到达目的地的概率.【详解】（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过站，前站设为， ， ，甲、乙两人共有， ， ， ， ， ， ， ， 种下车方案.（2）设站分别为， ， ， ， ， ， ， ， ，因为甲、乙两人共付费元，共有甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元三类情况.由（1）可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元共有种方案.而甲比乙先到达目的地的方案有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共种，故所求概率为.所以甲比乙先到达目的地的概率为.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20.已知抛物线，直线 与抛物线交于，两点（1）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；（2）若直线与轴负半轴相交，求(为坐标原点)面积的最大值【答案】（）; （）.【解析】试题分析：（）联立，消并化简整理得,利用圆与轴相切的位置关系得弦从而确定的值，进而求得该圆的方程；（）首先根据直线与抛物线的位置关系将弦的长度和原点到直线的距离均表示为的函数，并确定的取值范围，从而把的面积也表示为的函数，最后利用函数的最值求出的最大值.试题解析：（）联立，消并化简整理得依题意应有，解得设，则，设圆心，则应有因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又所以，解得所以，所以圆心为故所求圆的方程为（）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离，所以 令，0极大由上表可得的最大值为所以当时，的面积取得最大值考点：1、直线与抛物线的位置关系；导数在研究函数性质中的应用.21.已知函数.（1）当时，设函数，求函数的单调区间和极值；（2）设是的导函数，若对任意的恒成立，求的取值范围；（3）若，求证：【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】分析】（1）当a1，求得函数g（x）的解析式，求导，g（x）0和g（x）0，求得函数g（x）的单调递减区间和单调递增区间，g（x）0，x，由函数的单调性可知x为函数g（x）的极小值；（2）求得f（x），将原不等式转化成，2lnax2lnx1在x0上恒成立，构造辅助函数，h（x）x2lnx1，求导，根据函数单调性求得h（x）有最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）由（1）可知，根据函数的单调性可知1，可知g（）g（）ln，则ln+ln（2）ln（），由基本不等式的关系可知24，ln（）0，即ln+ln4ln（），根据对数函数的性质即可得到【详解】(1)当a=1时，g(x)=xln x，g(x)=1+ln x.令g(x)=0得x=.当x时，g(x)0，g(x)单调递增，当x=时，g(x)取得极小值-.(2)f(x)=2x(ln x+ln a)+x，1，即2ln x+2ln a+1x，所以2ln ax-2ln x-1在x0上恒成立，设u(x)=x-2ln x-1，则u(x)=1-.令u(x)=0，得x=2.当0x2时，u(x)2时，u(x)0，u(x)单调递增，当x=2时，u(x)有最小值u(2)=1-2ln 2.2ln a1-2ln 2，解得0a.a的取值范围是.(3)由(1)知g(x)=xln x在内是减函数，在上是增函数.g()=ln ，即ln x1ln().同理ln ln().ln +lnln(x1+x2)=ln().又2+4，当且仅当“=”时，取等号.又，1，ln()0，ln()4ln()，ln+ln4ln（）.【点睛】本题考查根据利用导数求函数单调区间，极值的方法，以及构造函数解决问题的方法，根据导数符号求函数最值的方法，根据单调