广东佛山第一中学高二数学下学期第一次段考理

广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二数学下学期第一次段考（4月）试题 理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数f(x)=x3+x在点x=1处的切线方程为（）A. 4xy+2=0B. 4xy2=0C. 4x+y+2=0D. 4x+y2=02. 函数f(x)=lnxx，则（）A. x=e为函数f(x)的极大值点B. x=e为函数f(x)的极小值点C. x=1e为函数f(x)的极大值点D. x=1e为函数f(x)的极小值点3. （理）01(1(x1)2x2)dx的值是（）A. 413B. 41C. 213D. 214. 函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x+3)f(x)0的解集为 ( ) A. (,3)(1,1)B. (,3)C. (,1)(1,+)D. (1,+)5. 若y=f（x）在（-，+）可导，且x0limf(a+2x)f(a)3x=1，则f(a)=（）A. 23B. 2C. 3D. 326. 已知f（x）=x2+3xf（1），则f（2）=（）A. 1B. 2C. 4D. 87. 已知y=13x3+bx2+（b+6）x+3在R上存在三个单调区间，则b的取值范围是（）A. b2或b3B. 2b3C. 2b3D. b38. 如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=所围成的阴影部分的面积为（）A. 1B. 2C. 2D. 229. 下列说法正确的是：（）设函数y=f(x)可导，则x0limf(1+x)f(1)3x=f(1)；过曲线y=f(x)外一定点做该曲线的切线有且只有一条；已知做匀加速运动的物体的运动方程是s(t)=t2+t(米)，则该物体在时刻t=2秒的瞬时速度是5米/秒；一物体以速度v=3t2+2t(米/秒)做直线运动，则它在t=0到t=2秒时间段内的位移为12米；已知可导函数y=f(x)，对于任意xa,b时，f(x)0是函数y=f(x)在a,b上单调递增的充要条件A. B. C. D. 10. 若函数f(x)在R上可导,f(x)xf(x)则 ( )A. ef(1)f(e)C. ef(1)=f(e)D. f(1)=f(e)11. 已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD=2”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A-BCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 把非零自然数按定的规则排成了下面所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)，设（aij，ijN+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42=8，若i=65，j=3，则aij的值为( ) 12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A. 2053B. 205lC. 2049D. 2047二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x332x2+m在（0，2）上有极值32，则实数m的值为_14. 函数fx=x2,0x0，其它的三个边角地块每单位面积价值a元 求等待开垦土地的面积；如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大20. 一种十字绣作品由相同的小正方形构成，如图，图分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n). (1)求出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f(n+1)与f(n)的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程.21. 已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（）求函数f（x）的单调递增区间（）已知g（x）=4x-32x+1，若对任意的m（0，+），存在n0，1，使得f（m）g（n），求实数a的取值范围22. 设函数f(x)=(x1)exk2x2（其中kR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k0时，讨论函数f（x）的零点个数答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，首先求出函数f(x)在点x=1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【解答】解：，切线斜率，又f(1)=2，切点为（1，2），切线方程为y-2=4（x-1），即4x-y-2=0.故选B.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础题求导，令f（x）0，求得函数的单调递增区间，令f（x）0，求得函数的单调递减区间，根据单调性得到函数的极值问题.【解答】解：的定义域（0，+），f（x）=，令f（x）=0，解得：0xe，令f（x）=0，解得：xe，函数在（0，e）上递增，在（e，+）上递减，当x=e时，函数有极大值.故选A.3.【答案】A【解析】解：=，设，则（x-1）2+y2=1，（,y0），表示为圆心在（1，0），半径为1的圆，所以由积分的几何意义可知,而，所以=故选A根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计算即可本题主要考查微积分的基本公式以及微积分的几何意义，要求熟练掌握基本函数的微积分公式4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题根据函数图象分别讨论x（-，-1）时，x（-1，1）时，x（1，+）时的情况，从而得出答案【解答】解：x（-，-1）时，f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，得x-3，x（-1，1）时，f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，得；-1x1，x（1，+）时，f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，无解综合得x（-，-3）（-1，1），故选A5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键根据导数的定义进行求解即可【解答】解：，=1，即=1，则=.故选D.6.【答案】A【解析】【分析】先求出f（x）=2x+3f（1），令x=1，求出f（1 ）后，导函数即可确定，再求f（2）本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解本题求出f（1 ） 是关键步骤【解答】解：f（x）=2x+3f（1），令x=1，得f（1）=2+3f（1），f（1）=-1，f（x）=2x-3f（2）=1故选A7.【答案】D【解析】解：若y=+（b+6）x+3在R上存在三个单调区间， 只需y=x2+2bx+（b+6）=0有2个不相等的实数根， 即只需=4b2-4（b+6）0，解得：b-2或b3， 故选：D 问题转化为只需y=x2+2bx+（b+6）=0有2个不相等的实数根即可 本题考查了函数的单调性问题，考察二次函数的性质，是一道基础题8.【答案】D【解析】【分析】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求【解答】解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选D9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可.【解答】解：对于选项，设函数,则，故错.对于选项，过曲线y=f(x)外一定点做该曲线的切线有且只有一条，故错.对于选项，已知做匀速运动的物体的运动方程为，则，所以,故正确.对于选项，一物体以速度做直线运动，则它在t=0到t=2时间段内的位移为，故正确.对于选项，已知可导函数，对于任意时，是函数在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，故错.故选B.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，是基础题.利用f（x）xf（x），证明是R上的单调增函数，即可得出结论【解答】解：f（x）xf（x），f（x）-xf（x）0， 0,是R上的单调增函数， ，ef（1）f（e）故选A11.【答案】C【解析】【分析】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想属于基础题【解答】解：推广到空间，则有结论：“”设正四面体ABCD边长为1，过A作面BDC的垂涎AM, AM交面BDC于M,则四面体体积由对称性可知，棱长都相等的四面体A-BCD的内切球心O在垂线AM上，内切球半径为r=OM又O到四面体各面的距离都相等，则所以AM=4OM，所以故答案为：312.【答案】A【解析】【分析】本题考查简单的演绎推理及数列的特点，属于中档题.【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，aij是第65行第3个数，由图知，第65行都是奇数，设奇数为2n-1，它是第1+3+.+63+3=1027个，因此aij为21027-1=2053.故选A.13.【答案】2【解析】【分析】本题考查了函数的极值，属于中档题对函数求导，令导函数等于0，求出x=0，1，根据函数在在（0，2）上有极值，可知，即可求解.【解答】解：f（x）=3x2-3x，令f（x）=0，得x=0，1，函数在（0，2）上有极值，m=2，故答案为214.【答案】56【解析】【分析】先作出f（x）的图象，它与x轴所围成的封闭图形的面积问题用定积分求解本题考查分段函数的图象问题、利用定积分求面积问题，难度不大【解答】解：由下图可知s=x2dx+=+=故答案为.15.【答案】-3，+）【解析】【分析】本题主要考查函数单调性和单调区间的应用，求函数的导数利用导数研究单调性是解决本题的关键求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：函数f（x）=x3+ax-2在区间1，+）上单调递增，f（x）=3x2+a0，在区间1，+）恒成立，即a-3x2，-3x2-3，a-3，故实数a的取值范围是-3，+）故答案为-3，+）16.【答案】a12【解析】解：不妨设x1x2，则x1-x20，f（x1）-f（x2）4（x1-x2），4，可得y=f（x）-4x=alnx+（x+1）2-4x在x0递增，y=+2（x+1）-4+2（x+1）4，a-2x2+2x-2x2+2x=-2（x-）2+a，故答案为：a不妨设x1x2，则x1-x20，由f（x1）-f（x2）4（x1-x2），可得4，即函数f（x）=alnx+（x+1）2（x0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x1）-f（x2）4（x1-x2）的几何意义，是解答的关键17.【答案】解：（1）f（x）=3x2-6ax+2b，函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1，f（1）=-1，f（1）=0 1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0 解得a=13，b=-12 f（x）=x3-x2-x （2）f（x）=3x2-2x-1 由f（x）=3x2-2x-10得x（-，-13）或（1，+）由f（x）=3x2-2x-10得x（-13，1）函数f（x）的单调增区间为：（-，-13），（1，+），减区间为：（-13，1）【解析】（1）已知函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1，即f（1）=-1，f（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值； （2）分别解不等式f（x）0和f（x）0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间 本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题18.【答案】解：（1）由f（x）=x3+x-16，得f（x）=3x2+1，f（2）=322+1=13，曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y-6=13（x-2），即13x-y-20=0；（2）设切点为（x0，x03+x016），f(x0)=3x02+1，切线方程为y(x03+x016)=(3x02+1)(xx0)，切线经过原点，(x03+x016)=x0(3x02+1)，2x03=16，x0=-2则f（-2）=13，所求的切线方程为y=13x；切点为（-2，-26）【解析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案； （2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题19.【答案】解：（1）如图所示：由111x2dx=x13x3|11=43，故等待开垦土地的面积为43;（2）设点C的坐标为（x，0），则点B（x，1-x2）其中0x1，SABCD=2x1x2,土地总价值y=3a2x1x2+a432x1x2=4ax1x2+43a,由y=4a（1-3x2）=0得x=33或x=33(舍去),故当x=33时，y取得最大值，答：当点C的坐标为33,0时，整个地块的总价值最大【解析】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，解题的关键是利用定积分知识求面积，从而构建函数，同时考查利用导数求最值（1）先由定积分可求等待开垦土地的面积；（2）进而可得工业用地面积，三个边角地块面积，由此可得土地总价值，利用导数的方法可求函数的最值20.【答案】解：（1）图中只有一个小正方形，得f（1）=1，图中有3层，以第2层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f（2）=5，图中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f（3）=13，图中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f（4）=25，图中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f（5）=41.（2）f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，f（5）=41，f（2）-f（1）=4=41，f（3）-f（2）=8=42，f（4）-f（3）=12=43，f（5）-f（4）=16=44，f（n）-f（n-1）=4（n-1）=4n-4，f（n+1）与f（n）的关系式：f（n+1）-f（n）=4n.（3）猜想f（n）的表达式：2n22n+1，由（2）可知:f（2）-f（1）=4=41，f（3）-f（2）=8=42，f（4）-f（3）=12=43，f（5）-f（4）=16=44，f（n）-f（n-1）=4（n-1）=4n-4，将上述n-1个式子相加，得f（n）-f（1）=4（1+2+3+4+（n-1）=4(n1)1+(n1)2，f（n）=2n22n+1，即f（n）的表达式为：2n22n+1.【解析】本题给出成一定规律排列的图形，找出第n个图形中小正方形的个数，着重考查了等差数列的通项与求和，及简单归纳推理等知识，（3）也可以利用数学归纳法证明，属于中档题（1）根据前4个图形进行归纳，求出f（2），f（3），f（4）.（2）利用（1）的结果，归纳推理，通过相邻两个函数值的关系，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式.（3）猜想f（n）的表达式，利用（2）的推导方法，即可写出推导过程.21.【答案】解（）f（x）=ax+lnx，x（0，+），f（x）=a+1x，当a0时，f（x）=a+1x0f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）=a+1x01x-ax-1a，f（x）在（0，-1a）上单调递增，综上：当a0时，f（x）的增区间是（0，+），当a0时，f（x）的增区间是（0，-1a）；（）g（x）=4x-32x+1，x0，1，令2x=t1，2，y=t2-3t+1，t1，2，当t=1或2时，ymax=-1，由（）知，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，无最值，不可能满足f（m）g（n），当a0时，在（0，-1a）上递增，在（-1a，+）上递减；f（x）max=f（-1a）=-1+ln（-1a），对任意的m（0，+），存在n0，1，使得f（m）g（n），f（x）maxg（x）max，-1+ln（-1a）-1，ln（-1a）0，-1a1，a-1【解析】（）先求出函数导数，通过讨论当a0时，当a0时的情况，从而求出函数的单调区间； （）分别求出f（x），g（x）的最大值，问题转化为f（x）maxg（x）max，即-1+ln（-）-1，从而求出a的范围 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了转化思想，是一道中档题22.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（-，+），f（x）=ex+（x-1）ex-kx=xex-kx=x（ex-k），当k0时，令f（x）0，解得x0，所以f（x）的单调递减区间是（-，0），单调递增区间是0，+），当0k1时，令f（x）0，解得xlnk或x0，所以f（x）在（-，lnk）和（0，+）上单调递增，在lnk，0上单调递减，当k=1时，f（x）0，f（x）在（-，）上单调递增，当k1时，令f（x）0，解得x0或xlnk，所以f（x）在（-，0）和（ln