广东廉江第三中学高考数学必修内容复习 高考中常用函数模型归纳及应用

广东省廉江市第三中学2014届高考数学必修内容复习中常用的函数模型总结与应用在高中数学中，函数是重点内容，函数思想遍及数学的各个领域，函数图像是数形结合的常用工具。 复杂的函数问题也是简单的基本初等函数组合，熟悉常见的函数模型对解决函数综合问题有很大帮助。 在高考问题中，函数问题是“大男子”，各问题集所占比例在30%以上。 总结了目前一般函数模型及其一般应用。1 .常数函数y=a如果a=0，则判决函数的奇偶校验最常使用的模型是奇函数，如果a0，则判决函数的奇偶校验也是偶函数。 关于方程解的个数问题经常被使用。例1 .已知的x(0，)，方程式2sin(x )=a有2个不同的实数解的话，实数a的采植范围为()a.-2，2 b.，2 C.(，2)d.(，2 )设解析y=2sin(x )、y=a绘制函数y=2sin(x )、y=a的图像如图所示，如果方程式具有两个不同的解，则两个函数图像具有两个不同的交点，并且从图像中选择(2)、d )二.线性函数y=kx b (k0 )函数图像是一条直线，容易分析性质的变化。 常用于在几何结合中解决问题，利用“变量”或“变换”分类为初级函数问题。 如果存在定义域限制，则考虑区间的端点值。例2 .不等式2x 1m(x-1 )全部对于m2恒定成立，x的范围为()a.- 2x2b .x0 c.0xd .x分析：不等式为m(x-1)- 2x 10设定f(m)=m(x-1)- 2x 1x=1，f(m)=-30(舍场)时x1f(m )是关于m的一次函数，仅通过求解就可以得到答案d，使不等式在m2的条件下恒定成立3 .二次函数y=ax bx c (a0 )二次函数是应用最广泛的函数，是连接一次二次不等式和一次二次方程式的纽带。 许多问题可以转化为回归和二次函数问题。 举例来说，三维函数的最大值问题仍是二维函数的问题，因为其导数为二维函数。例3.(1)如果x方程x ax a-1=0具有正根和负根，则a的可取值范围为()解析：设为f(x)=x ax a-1由于问题，f(0)=a-1 0，即-1a1即可。一次二次方程的根分布问题可以通过二次函数图像解决，通常考虑二次函数的开口方向、判别式对称轴与根的位置关系、端点函数值四个方面。 韦达定理也可以利用。将函数f(x)=x-4x-4闭区间t，t 1 tR上的最小值设为g(t )，求出g(t )的式子。解： f(x)=(x-2)-8当t2时，f(x )是在t，t 1处增加的函数g(t)=f(t)=t-4t-4t2t 1即1t2时g(t)=f(2)=-8t 12即t1时f(x )在t，t 1中是减法函数g(t)=f(t 1)=t-2t-7且g(t)=评价：二次函数闭区间的最大值问题是常年高考的热点，其对称轴可以确定二次函数的单调区间，二次函数和对数函数的综合主题是常考的交点之一。 在该问题中，对称轴x=2是确定的，但区间t，t 1是未确定的“定轴不定区间”，两者的位置关系有三种。 类似问题也有“定区间不定轴”“不定轴不定区间”的问题，但方法与“研究对称轴和区间的位置关系”相同。例5 .如果函数y=a 2a-1(a0且a1 )的区间-1，1 中的最大值为14，则求出a的值。.f(x)=-sinxa，如果对于1f (x )所有的xR都成立一定的话，求出a的可取得的范围。以上两个问题可以通过把兑换法转换成二次函数来解决，在兑换过程中要注意等价性，即保证“旧元”和“新元”取值范围的统一。 解题的过程很少。答案：.a=3或3a4例6 .已知a、b是常数，且a0、f(x)=x (1-a)x-3ax b(1) .如果函数f(x )的极大值为2，则求出a和b的关系式。(2)求出函数f(x )的极大值为2，且区间 0，3 中的最小值为-、a和b的值。省略解答的过程。 答案： (1).3a 2b=3 (2).a=2，b=-4 .绝对值函数y=22222222卡卡卡卡卡卡卡卡埃耶653例7 .函数y=卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653y=卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653y=卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6例8 .如果函数y=ax和y=x a图像恰好有两个交点，则a的可能值范围为()A.(1，) b.(-1，1 ) c.(-、-1)22222铮铮铮铮6分析： (I)a=0时，y=ax=0和y=x只有一个交点(ii )如果0 a1，则y=ax和y=x a只有一个交点(iii)a1时，y=ax和y=x a有两个交点(iv )如果- 1a 0，那么y=ax和y=x a只有一个交点(a-1的话，y=ax和y=x a选择有两个交点的d5 .折线函数y=|x-a|x-b|和y=|x-a|x-b|(a b )根据绝对值的定义，可以先将这两个函数作为成分段函数的形状。 例如，y=x-a；x-b=绘制函数图像。 每幅图片也可以进一步把握绝对值的意义，y=|x-a|x-b|表示从轴上的任意点x到a和b的距离之和。例9 .不等式|x3|x-2|a有解时，求出a值范围分析：方法:可卡可卡可卡可卡可卡可卡可卡可卡可卡可卡可卡方法2图像法，省略6 .函数y=ax (a0，b0 )a0，b0时，函数图像如下图所示，从图像中可以看出单调性(-，-，)单调增加，在(-，0 )和(0)单调减少。请记住，这种情况下的图像常用于通常的练习问题。当a0，b0时，函数以(-，0 )和(0，)单调递增当a0时，函数以(-，0 )和(0，)单调递减当a0，b0时，函数以(-，- )和()单调递减，以(-，0 )和(0)单调递增。 其中最简单最常用的函数是y=x，可以利用平均不等式求出最大值，可以利用平均不等式，不可以通过函数的单调性来解决。函数y=ax的渐近线是y=ax，可以帮助图形化。例10 .一家大型企业的员工每日饮食需要4000kg公斤米，该企业购买米的市场价格为每公斤3元，企业仓库储存最多56000公斤米，一次购买米超过32000kg公斤，不超过56000公斤，需要支付运费256元。 米的保管费是每1000kg公斤每天2元，企业一次购买的米，员工可以用餐的天数为x，企业每天支付的米费用(包括购买米的费用、运费、保管费)之和为y元。(1)试着写出y和x的函数关系式。(2)该企业一次购买需要多少天的米，将每天支付的米费用降到最低？了解：企业x日所需美国4000xkg的保管费用为(x x-1 2 1)=4x(x 1)(1)i0x8，xN时y=4x(x 1) 196 3*4000=4x 120049x14xn时y=4x(x 1) 256 3*4000=4x 12004因此，y=xN(2)i.0x8、xN时y=4x 120042 12004=12060 (元)另外，只在=4x，即x=7时取等号，y的最小值为12060元。ii.9x14xn时y=4x 12004在 9，14 处使用函数的单调性来定义易证函数是递增函数，并且如果x=9，则该函数为最小值12068元。由于1206012068，该企业一次购买7天所需的大米，可将每天的费用降至最低。7 .指数函数y=a(a0且a1 )对数函数y=logx (a0且a1 )如同指数函数一样，对数函数记住y=logx和y=logx的函数图像和性质，两者的图像是x轴对称的。 与指数函数不同，定义域(0，)容易忽略。 记忆函数值的分布，有助于判断比较函数的大小或数值的正负例12 .函数y=log(2-ax )在区间 0，1 内是减法函数，求出实数a能够取得的范围。解：要使函数有意义，必须满足2-ax0、ax2a0，a1x函数的定义域为(-，)-函数的减少区间 0，1 必定在定义域内因此，2-a0，即a210中的图像是向上凸或向下凸的分水岭。 函数在初中教材中反复出现即被删除，但前面的y=y=x，y=一直被应用。示例1-3 .函数y=的图像是点对称的分析：分离常数： y=-1，组合函数y=的对称中心是(0，0 )，并且通过将函数y=的图像从y=向右下逐个移位一个单位获得的。因此，y=的对称中心是(1，1 )请再说一遍通过以下的函数的值域：y=y=、变形处理、变换，可以利用函数模型y=评价域。 答案： -，1 ，1 10 .正弦函数馀弦函数正切函数记住的y=sinx、y=cosx、y=tanx的图像和性质(包括周期性、单调性、奇偶校验、码元区间、对称轴和对称中心)是y=Asin() b、y=Acos() b、y=Atan() b (其中，a、0、bR )这3种函数图像和性质的基础。 运用整体思想，作为整体来说，处理这样的问题是通法。三角变换源充分利用这三种函数，适当选择角度范围，取-，、0，、0，。例14.(2005年全国高考卷f(x)=sin(2x )(-0 )时，y=f(x )的对称轴为直线x=。求出的值。求出函数y=f(x )的单调增加区间。解：直线x=是函数y=f(x )的对称轴。sin(2* )=1时=k kZ2222222222222222226=-，知道=-，因此y=sin(2x-)根据题意，2k-2x-2kz可以得到解： kxkz因此，函数单调增加区间是k，k kZ .例15 .获得的函数y=x值域解： x=5sin(-)为y=sin cos=sin ()，22222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡6函数的值域为-，评估：此问题还可以相应地将x=cos的可能值范围改变为0，大学入学考试的联系：1. (2007年辽宁文科9.)函数的单调增加区间为()A.B.C.D2.(2007年江苏文科9.) .二次函数的导数在有任意实数时，最小值为A. B. C. D3.(2007年山东文科11.) .与函数的图像交点那个区间是()A.B.C.D4.(2007年山东文科6 ) .给出以下3个方程式：以下函数中，不满足任何方程式的是()A.B.C.D5.(2007年福建理科11 ) .对于任意实数，有，有，时，时()A.B .C.D6(2007年福建文科5 ) .已知函数最小正周期是该函数的图像()关于a .点对称b .关于线性对称关于c .点对称d .关于线性对称7.(2007年四川文科7 ) .作为以上的减法函数被知道，满足的实数的可取值的范围是()A.B.C.D8.(2007年北京理科8 )关于函数、，判断以下三个命题的真伪命题a :偶然函数命题b :上为减法函数，上为加法函数命题c :上面是递增函数命题甲、乙、丙可设为真的所有函数的编号为()A.B.C.D.答案：1.D 2.C 3. B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D分段函数和抽象函数是当前高考的热点，因为分段函数可以推动不同的函数，所以有调查函数性质的方面。 另外，可以调查分类讨论、数形结合的思想方法，因此受到关