数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解（提高）

选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 中考总复习：特殊的四边形中考总复习：特殊的四边形知识讲解（提高）知识讲解（提高） 【考纲要求】考纲要求】 1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形； 2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题 3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考点一、几种特殊四边形性质、判定考点一、几种特殊四边形性质、判定 性 质 四边形 边角对角线 判 定 矩形对边平行 且相等 四个角是直 角 相等且互相平分 有一组邻边相等的平行四边形是菱 形； 四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形 . 中 心、 轴对 称图 形 菱形四条边相 等 对角相等， 邻角互补 垂直且互相平 分，每一条对角 线平分一组对角 有一个角是直角的平行四边形是矩 形； 有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形 中心 对称 图形 正方形 四条边相 等 四个角是直 角 相等、垂直、平 分，并且每一条 对角线平分一组 对角 1、邻边相等的矩形是正方形 2、对角线垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、对角线相等的菱形是正方形 中 心、 轴对 称 等腰梯形两底平 行，两腰 相等 同一底上的 两个角相等 相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 2、在同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形； 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 轴对 称图 形 【要点诠释】【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质. 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 考点二、中点四边形相关问题考点二、中点四边形相关问题 1.1. 中点四边形的概念：中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 2.2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直； 若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等； 若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等 【要点诠释】【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定 考点三、考点三、重心重心 1.线段的中点是线段的重心； 三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边 中点的距离的 2 倍. 平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。 【典型例题】【典型例题】 类型一、特殊的平行四边形的应用类型一、特殊的平行四边形的应用 1.（2012湛江）如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF、再以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH，如此下去若正方形 ABCD 的边长记为 a1，按上述 方法所作的正方形的边长依次为 a2，a3，a4，an，则 an=_ 【思路点拨】求 a2的长即 AC 的长，根据直角ABC 中 AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算 a3、a4由求出 的 a2=a1，a3=a2，an=an-1=（）n-1，可以找出规律，得到第 n 个正方形边长的表达2222 式 【答案】 （）n-1.2 【解析】a2=AC，且在直角ABC 中，AB2+BC2=AC2， a2=a1=，同理 a3=a2=2，,222 a4=a3=2，22 由此可知：an=an-1=（）n-122 故答案为：（）n-1.2 【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能 力，本题中找到 an的规律是解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】(2011 德州)长为 1，宽为 a 的矩形纸片（1 2 1 a） ，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形 宽度的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 度的正方形（称为第二次操作） ；如此反复操作下去若在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则 操作终止当 n=3 时，a 的值为_ 【答案】或. 3 5 3 4 2 （2015 秋宝安区校级期中）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC=6，BD=8， 点 P 是 AC 延长线上的一个动点，过点 P 作 PEAD，垂足为 E，作 CD 延长线的垂线，垂足为 E，则 |PEPF|= 【思路点拨】延长 BC 交 PE 于 G，由菱形的性质得出 ADBC，OA=OC= AC=3，OB=OD= BD=4， ACBD，ACB=ACD，由勾股定理求出 AD，由对顶角相等得出PCF=PCG，由菱形的面积的两种 计算方法求出 EG，由角平分线的性质定理得出 PG=PF，得出 PEPF=PEPG=EG 即可 【答案】4.8 【解析】解：延长 BC 交 PE 于 G，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，OA=OC= AC=3，OB=OD= BD=4，ACBD，ACB=ACD， AD=5，PCF=PCG， 菱形的面积=ADEG= ACBD= 68=24， EG=4.8， PEAD， PEBG， PFDF， PG=PF， PEPF=PEPG=EG=4.8 第一次操作第二次操作 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 故答案为：4.8 【总结升华】本题考查了菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、菱形面积的计算等知识；本 题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证出 PG=PF 是解决问题的关键 类型二、梯形的应用类型二、梯形的应用 3 （2011资阳）如图，在梯形 ABCD 中，已知 ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12，在线段 BC 上任取一点 E，连接 DE，作 EFDE，交直线 AB 于点 F （1）若点 F 与 B 重合，求 CE 的长； （2）若点 F 在线段 AB 上，且 AF=CE，求 CE 的长； （3）设 CE=x，BF=y，写出 y 关于 x 的函数关系式（直接写出结果可） 【思路点拨】 （1）先证明四边形 ABED 为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案； （2）设 AF=CE=x，则 HE=x-3，BF=7-x，再通过证明BEFHDE，根据对应边成比例，然后代入求解 即可； （3）综合（1） （2）两种情况，然后代入求出解析式即可 【答案与解析】 （1）F 与 B 重合，且 EFDE，DEBC， ADBC，B=90，A=B=90， 四边形 ABED 为矩形， BE=AD=9， CE=12-9=3 （2）作 DHBC 于 H，则 DH=AB=7，CH=3 设 AF=CE=x， F 在线段 AB 上， 点 E 在线段 BH 上，CH=3，CE=x， HE=x-3，BF=7-x， BEF+90+HED=180，HDE+90+HED=180， 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 BEF=HDE， 又B=DHE=90， BEFHDE =， BF HE BE DH =， 7 3 x x 12 7 x 整理得 x2-22x+85=0， （x-5） （x-17）=0， x=5 或 17， 经检验，它们都是原方程的解，但 x=17 不合题意，舍去 x=CE=5 （3）作 DHBC 于 H， ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y， 则 HE=x-3，BF=y， 当 3x12 时， 易证BEFHDE， =， 12 y x 3 7 x y=-x2+x-， 1 7 15 7 36 7 当 0x3， 易证BEFHDE， 则 HE=3-x，BF=y， =， 12 y x 3 7 x y=x2x 1 7 15 7 36 7 【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质， 是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用 举一反三：举一反三： 【变式变式】 （2011台湾）如图为菱形 ABCD 与正方形 EFGH 的重迭情形，其中 E 在 CD 上，AD 与 GH 相交于 I 点，且 ADHE若A=60，且 AB=7，DE=4，HE=5，则梯形 HEDI 的面积为（ ）. 10- 10+ 6 38 32 32 3 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 【答案】B. 类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用 【高清课堂【高清课堂: : 多边形与特殊平行四边形多边形与特殊平行四边形 例例 7】 4.（2014 秋莒南县期末）正方形 ABCD 边长为 2，点 E 在对角线 AC 上，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90至 DF 的位置，连接 AF，EF （1）证明：ACAF； （2）设 AD2=AEAC，求证：四边形 AEDF 是正方形； （3）当 E 点运动到什么位置时，四边形 AEDF 的周长有最小值，最小值是多少？ 【思路点拨】 （1）由已知条件及正方形的性质易证CDEADF，所以可得ECD=DAF=45， CE=AF，进而可得CAF=90，即 ACAF； （2）若 AD2=AEAC，再由条件CAD=EAD=45，易证EADDAC，所以AED=ADC=90，即有 AED=EDF=EAF=90，又 DE=DF，继而证明四边形 AEDF 为正方形； （3）当 E 点运动到 AC 中点位置时，四边形 AEDF 的周长有最小值，由（2）得 CE=AF，则有 AE+AF=AC=2，又 DE=DF，所以四边形 AEDF 的周长 l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则 DE 最小四边形的周长最 小，问题得解 【答案与解析】 解：（1）四边形 ABCD 是正方形， CDA=90，CD=AD，ED=FD，CAD=45， 将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90至 DF 的位置， EDF=90， CDE=ADF， 在CDE 和ADF 中， ， CDEADF， ECD=DAF=45，CE=AF， CAF=90， 即 ACAF； （2）AD2=AEAC， CAD=EAD=45， EADDAC， AED=ADC=90，即有AED=EDF=EAF=90，又 DE=DF， 四边形 AEDF 为正方形 （3）当 E 点运动到 AC 中点位置时，四边形 AEDF 的周长有最小值， 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 理由如下： 由（2）得 CE=AF，则有 AE+AF=AC=2， 又 DE=DF，则当 DE 最小时，四边形 AEDF 的周长 l=AE+AF+DE+DF=4+2DE 最小， 当 DEAC 时，E 点运动到 AC 中点位置时，此时 DE=2 四边形 AEDF 的周长最小值为 8 【总结升华】本题用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性 质以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题压 轴题 5 （2012自贡）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合 （1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BE=CF； （2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 【思路点拨】 （1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得4=60，AC=AB 进而求证 ABEACF，即可求得 BE=CF； （2）根据ABEACF 可得=,故根据 S四边形 AECF =+=+= ABESVACFSVAECSVACFSVAECSVABESV 即可解题；当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短AEF 的面积会随着 AE 的变化 ABCSV 而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据=S四边形 AECF-，则CEF 的 CEFSVAEFSV 面积就会最大 【答案与解析】 （1）证明：连接 AC，如下图所示， 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，1+EAC=60，3+EAC=60， 1=3， BAD=120， ABC=60， ABC 和ACD 为等边三角形， 4=60，AC=AB， 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 在ABE 和ACF 中， 13 4 ABAC ABC ABEACF（ASA） BE=CF； （2）解：四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化 理由：由（1）得ABEACF， 则 SABE=SACF， 故 S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值， 作 AHBC 于 H 点，则 BH=2， S四边形 AECF=SABC=BCAH=BC=， 1 2 1 2 22 ABBH4 3 由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短 故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小， 又 SCEF=S四边形 AECF-SAEF，则此时CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形 AECF-SAEF=-=4 3 1 2 2 3 22 (2 3)( 3)3 【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证ABEACF 是 解题的关键，有一定难度 6.（2012苏州）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合，在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合，连 接 CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD已知正方形 ABCD 的边长为 1cm，矩形 EFGH 的边 FG，GH 的长分别为 4cm，3cm，设正方形移动时间为 x（s） ，线段 GP 的长为 y（cm） ，其 中 0x2.5 （1）试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 y=3 时相应 x 的值； （2）记DGP 的面积为 S1，CDG 的面积为 S2试说明 S1-S2是常数； （3）当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长 【思路点拨】 （1）根据题意表示出 AG、GD 的长度，再由GCDAPG，利用对应边成比例可解出 x 的 值 （2）利用（1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2，然后作差即可 （3）延长 PD 交 AC 于点 Q，然后判断DGP 是等腰直角三角形，从而结合 x 的范围得出 x 的值，在 Rt 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 DGP 中，解直角三角形可得出 PD 的长度 【答案与解析】 （1）CGAP，GCDAPG， =， CD GD PG GA GF=4，CD=DA=1，AF=，x GD=3-，AG=4-，xx =，即 y=， 1 3x4 y x 4 3 x x y 关于 x 的函数关系式为 y=， 4 3 x x 当 y=3 时，=3，解得 x=2.5， 4 3 x x 经检验的 x=2.5 是分式方程的根故 x 的值为 2.5； （2）S1=GPGD=（3-）=， 1 2 1 2 4 3 x x x 4 2 x S2=GDCD=（3-x）1=， 1 2 1 2 3 2 x S1-S2=-= 4 2 x3 2 x1 2 即为常数； （3）延长