普通高等学校招生全国统一考试数学理精品解析山东卷

20152015 年高考山东卷理数试题解析（精编版）年高考山东卷理数试题解析（精编版） 本试卷分第本试卷分第卷和第卷和第卷两部分，共卷两部分，共 4 4 页页. .满分满分 150150 分分. .考试用时考试用时 120120 分钟分钟. .考试结束后，将将本试卷考试结束后，将将本试卷 和答题卡一并交回和答题卡一并交回. . 注意事项：注意事项： 1.1.答卷前，考生务必用答卷前，考生务必用 0.50.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上写在答题卡和试卷规定的位置上. . 2.2.第第卷每小题选出答案后，用卷每小题选出答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. .答案卸载试卷上无效答案卸载试卷上无效. . 3.3. 第第卷必须用卷必须用 0.50.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能 使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效. . 4.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件,A B互斥，那么互斥，那么 P ABP AP B. . 第第卷（共卷（共 5050 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的合要求的 （1） 【2015 高考山东，理 1】已知集合 2 430Ax xx，24Bxx,则AB （ ） （A） （1，3） （B） （1，4） （C） （2，3） （D） （2，4） 【答案】C 【解析】因为 2 43013Ax xxxx， 所以 132423ABxxxxxx. 故选：C. 【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本 题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力. （2） 【2015 高考山东，理 2】若复数z满足 1 z i i ，其中i为虚数为单位，则z=（ ） （A）1 i （B）1 i （C）1 i （D）1 i 【答案】A 【考点定位】复数的概念与运算. 【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性. （3）【2015 高考山东，理 3】要得到函数sin 4 3 yx 的图象，只需要将函数sin4yx的图象（ ） （A）向左平移 12 个单位 （B）向右平移 12 个单位 （C）向左平移 3 个单位 （D）向右平移 3 个单位 【答案】B 【考点定位】三角函数的图象变换. 【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正 确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. （4） 【2015 高考山东，理 4】已知菱形ABCD的边长为a ，60ABC ,则BD CD （ ） （A） 2 3 2 a （B） 2 3 4 a （C） 2 3 4 a （D） 2 3 2 a 【答案】D 【考点定位】平面向量的线性运算与数量积. 【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌 握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题. （5） 【2015 高考山东，理 5】不等式152xx的解集是（ ） （A） （-，4） （B） （-，1） （C） （1，4） （D） （1，5） 【答案】A 【考点定位】含绝对值的不等式的解法. 【名师点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式 转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题. （6） 【2015 高考山东，理 6】已知, x y满足约束条件 0 2 0 xy xy y ，若zaxy的最大值为 4，则a （ ） （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B 【解析】不等式组 0 2 0 xy xy y 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示， 若zaxy的最大值为 4，则最优解可能为1,1xy 或2,0 xy ，经检验，2,0 xy是最优 解，此时2a ；1,1xy不是最优解.故选 B. 【考点定位】简单的线性规划问题. 【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a的值，考查学生对线性规划的方法理解的 深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. （7） 【2015 高考山东，理 7】在梯形ABCD中， 2 ABC ，/ /,222ADBC BCADAB .将梯 形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A） 2 3 （B） 4 3 （C） 5 3 （D）2 【答案】C 【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结 构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题. （8） 【2015 高考山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2 0,3N，从中随机 取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量 服从正态分布 2 ,N ，则68.26%P ， 2295.44%P。 ） （A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74% 【答案】B 【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质. 【名师点睛】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态 密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力. （9） 【2015 高考山东，理 9】一条光线从点2, 3射出，经y轴反射后与圆 22 321xy相切， 则反射光线所在直线的斜率为（ ） （A） 5 3 或 3 5 （B） 3 2 或 2 3 （C） 5 4 或 4 5 （D） 4 3 或 3 4 【答案】D 【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及 直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的 运算求解能力. （10） 【2015 高考山东，理 10】设函数 31,1, 2 ,1 x xx f x x 则满足 2 f a ff a的a取值范围是（ ） （A） 2 ,1 3 （B）0,1 （C） 2 , 3 （D）1, 【答案】C 【考点定位】1、分段函数；2、指数函数. 【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对 指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题. 第第卷（共卷（共 100100 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分. . （11） 【2015 高考山东，理 11】观察下列各式： 00 1 4C 011 33 4CC 0122 555 4 ;CCC 01233 7777 4CCCC 照此规律，当 nN 时， 0121 21212121 n nnnn CCCC . 【答案】 1 4n 【考点定位】1、合情推理；2、组合数. 【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观 察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从 而得到结论.此题属基础题. (12) 【2015 高考山东，理 12】若“0,tan 4 xxm ”是真命题，则实数m的最小值为 . 【答案】1 【考点定位】1、命题；2、正切函数的性质. 【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综 合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题. （13） 【2015 高考山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的T的值为 . 【答案】 11 6 所以答案应填： 11. 6 【考点定位】1、程序框图；2、定积分. 【名师点睛】本题考查了循环结构与定积分的计算，意在考查学生对程序框图的理解和基本的计算能力， 以程序框图为载体，可以展开对数列、函数、不等式、定积分等多种知识点的考查，此题是一个范例.解 题中要注意运算的准确性. (14) 【2015 高考山东，理 14】已知函数( )(0,1) x f xab aa 的定义域和值域都是1,0 ，则 ab . 【答案】 3 2 【考点定位】指数函数的性质. 【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方 程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用. （15） 【2015 高考山东，理 15】平面直角坐标系xoy中，双曲线 22 1 22 :10,0 xy Cab ab 的渐近线与 抛物线 2 2: 20Cxpy p交于点, ,O A B，若OAB的垂心为 2 C的焦点，则 1 C的离心率为 . 【答案】 3 2 【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质. 【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把 握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是 突破此题的关键. 三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分. （16） （本小题满分 12 分） 【2015 高考山东，理 16】设 2 sin coscos 4 f xxxx . （）求 f x的单调区间； （）在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,若0,1 2 A fa ,求ABC面积的最大值. 【答案】 （I）单调递增区间是, 44 kkkZ ； 单调递减区间是 3 , 44 kkkZ （II）ABC 面积的最大值为 23 4 【考点定位】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 【名师点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考 查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成 熟的思路. (17) (本小题满分 12 分) 【2015 高考山东，理 17】如图，在三棱台DEFABC中，2,ABDE G H分别为,AC BC的中点. （）求证：/ /BD平面FGH； （）若CF 平面ABC，,ABBC CFDE ，45BAC ,求平面FGH与平面ACFD 所成 的角（锐角）的大小. 【答案】 （I）详见解析；（II）60 又OH 平面,FGH BD 平面,FGH 所以/ /BD平面FGH 由FC 平面ABC ，得HMFC 又FCACC 所以HM 平面ACFD 因此GFNH 所以MNH 即为所求的角 【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的 应用. 【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立几何中的证明与求解， 意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注 意建立适当的空间直角坐标系以及运 算的准确性. （18） （本小题满分 12 分） 【2015 高考山东，理 18】设数列 n a的前 n 项和为 n S.已知233 n n S . （I）求 n a的通项公式； （II）若数列 n b满足 3 log nnn a ba，求 n b的前 n 项和 n T. 【答案】 （I） 1 3,1, 3,1, n n n a n ; （II） 1363 124 3 n n n T . 【考点定位】1、数列前n 项和 n S 与通项 n a 的关系；2、特殊数列的求和问 题. 【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的 严密性和运算的准确性，在利用 n S与通项 n a的关系求 n a的过程中，一定要注意1n 的情况，错位相减 不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求. （19） （本小题满分 12 分） 【2015 高考山东，理 19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数 字，则称n为“三位递增数” （如 137,359,567 等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三 位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之 积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1分；若能被 10 整除，得 1 分. （I）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 【答案】 （I）有：125，135，145，235，245，345； （II）X 的分布列为 X0-11 P 2 3 1 14 11 42 4 21 EX 【考点定位】1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用. 【名师点睛】本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识， 意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的 关键是从实际问题中抽象出数学模型. （20） （本小题满分 13 分） 【2015 高考山东，理 20】平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 左、右焦点分别是 12 ,F F，以 1 F为圆心以 3 为半径的圆与以 2 F为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C上. ()求椭圆C的方程； （）设椭圆 22 22