数学复习点拨利用导数的定义解题

利用导数的定义解题学习导数的定义，要结合瞬时速度、光滑曲线的切线、斜率等实际背景，从物理和几何两方面入手，熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，求导的本质是求极限，在求极限的过程中，要准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键。例1、求函数在x1处的导数。解析1：（导数定义法），。解析2：（导函数的函数值法），。点评：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法。确定y=f(x)在点x= x0处的导数有两种方法：一是导数定义法，二是导函数的函数值法。例2、对于函数f（x），已知f（3）=2，=-2，则= 。解析：=-2，=-2点评：解答本题的关键是通过对进行恒等变形，将其化为可以利用已知导数的定义形式。例3、设函数y=f(x)在点x= x0处可导，试求下列各极限的值。（1）；（2）（3）(4)若，则等于（ ）A.-1 B.-2 C.1 D.解析：（1）（2）（3）（4），故选C. 点评：在导数的定义中，增量x的形式是多种多样，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式。解决此类问题不能盲目地套用导数的定义，要准确地分析和把握给定的极限式与导数的关系，利用函数f(x)在x=x0处可导的条件，将所求极限的形式恒等变形转化为已知极限的结构形式，即导数的定义，这是解决这类问题的关键，因此，必须深刻理解导数的概念。例4、设，试问f（x）在x=0处是否可导？解析：函数f（x）在x=0的两侧（不包括x=0在内）虽然其对应法则是用同一个式子表示的，但在x=0处其对应值为零，对应法则和两侧的不同，故按导数定义：由已知f（0）=0，即f（x）在x=0处有定义。所以f（x）在x=0处可导，即f（0）=0。点评：对分段表示的非初等函数，在判断函数在区间的交接点处是否可导时，都应该从定义出发求其导数，当交接点的两侧函数的对应法则用不同式子表示时，应分别求函数在该点处的左右导数，看其是否存在且相等，从而决定在该点处函数是否可导。请读者判断函数，在x=0处是否连续、可导？例5、设f（x）x(2|x|)，则的值等于（ ）A.0 B.1 C.2 D.不存在解析：由导数的定义知f（0）2，故应选C.点评：此题也是求分段函数在分段点处的导数，一般要用定义求解，应防止出现以下错误： ， 从而f（0）0。例6、设函数在x处可导，证明：= f（x） 证明：= f（x）+ f（x）= f（x）点评：值得注意的是，若极限存在，f(x)在x处的导数不一定存在，读者可以从函数y=x在x=0处的可导性来说明这一点。但若极限存在，则f(x)在x处可导，读者可自行证明。例7、(2006年湖南卷)曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是_.解析：由方程组 得曲线的交点是A(1,1).对曲线求导数， 曲线在点A处的切线斜率K1=，切线方程是l1：y=x+2。对曲线求导数，。曲线在点A处的切线斜率K1=，切线方程是l2：y=2x1。又l1、l2与x轴的交点坐标分别为(2,0)，（,0）它们与轴所围成的三角形的面积为：点评：本题先求曲线的交点，再由导数求过该交点曲线的切线方程，最后求得所围成的图形面积。例8、求过点（2，0）与曲线相切的直线方程。错解：设所求切线的斜率为K，则，故所求直线方程为：，即。若作出曲线及直线的图象，就可以看出所求的直线和曲线不相切。错因在于一开始就没有判定所给的点（2，0）是否在曲线上，而想当然的把该点当作切点来考虑了。事实上点（2，0）根本不在曲线上。正解：设平面上通过点（2，0）的所有直线方程（y轴除外）为：y=K（x-2），切点为（x0，y0），则在切点处，直线和曲线的纵坐标相等且具有相同的斜率，因此有：，解得：K=-1，x0=1，故所求直线方程为：y=-（x-2）即y=-x+2。点评：解答此类问题常见的错误是：不能确定所给点的位置，或忽略切点既在曲线上，也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大。数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系。本节中