河北保定容城高级中学高考数学怎样正确解答不等式证明有关 人教

河北省保定市容城高级中学高考数学怎样正确解答不等式证明有关试题张上沃http:/www.DearEDU.com不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.本文略谈不等式证明的错解成因,揭示应对策略.一、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应例1 (2003年江苏新课程高考试题)已知,为整数.()设,证明: ;()设,对任意,证明: .分析 这是一道江苏考生错误率较高的一道考题,考生对导数法证明不等式这一思考方法很不适应,以致于丢分现象极其严重,这反映学生未能真正把握新教材的思想内涵,不能做到学以致用,融会贯通,这一现象值得注意.证明 () , .()对函数求导数,得 ,所以 .当0时, .故当时,是关于的增函数,因此,当时, .即对任意, .评述 导数及其它向量、方差等知识点的引入,使相应的数学方法、教学工具和数学语言更加丰富,应用形式更加灵活多样,新课程卷将导数与传统的不等式有机结合在一起设问,这是一种新颖的命题模式,它体现了导数作为工具分析和解决一些性质问题的方法,在教学中应予以重视.二、忽视向量不等式等号成立条件,造成范围失真向量不等式等号成立的条件为,当向量且与方向相同时“+”不等式取等号; 当向量且与方向相反时“-”不等式取等号.例2 .错解 设 ,由得 . .成因分析 向量不等式等号成立的条件是 ,且向量与方向相反,而当时,得,此时方向相同,故等号不成立,使不等式范围缩小了.正解 设 ,由 ,得 . 当即时,方向相同,故等号成立.评述 向量作为新教材中的另一个新增知识点,利用数量积不等式与和差不等式证明不等式,有着其它方法所不能比拟的优越性,在教学中应适当推广及应用.三、多元不等式的元认知障碍当不等式含有好几个元(变量)时,需将这些元分别虚拟定位为“常量”、“参元”、“变元”等.若定位点不到位,解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序,从而形成元认知障碍.例3 设、0,2 , 证明 .分析 此不等式有三个元,且每项次数不全相同,学生常因元太多不易定位,而陷入误区,实际上原等式中、三个元中只有是一次的,故可将视作变元,其余、视作常量即可解决问题.证明 设 .则为关于元的一次函数,且、0,2 .要证0,即要证0,且0 .而0 ,且0 .当、0,2时, 0 .即 .评述 元的定位问题往往不是绝对的,定位切入点不同,解题的途径也不同,处理好元的定位问题,不但可以开辟问题解决的新途径,给解题带来极大的简便,而且能培养学生的分析问题的思维能力.四、忽视题设条件或隐含条件有些题设条件看似平淡,但在解题中就会显示出其隐蔽性,学生往往由于忽视了隐含条件,或对隐含条件的挖掘只浮于表面,而未能展示其真正的面目,从而在解题过程中误入陷阱.例4 设,为偶数,证明 .错解 .为偶数, ,又与同号 , ,故 .成因分析 实际上,为偶数时, 与不一定同号,这里忽略了题设条件,在没有明确字母的具体值情况下,要考虑分类讨论,即需分和有一个负值的两种情况加以分类讨论.正解 .当时, ,0 ,0 ,故 ;当有一个负值时,不妨设,且,即 .为偶数时,0 ,且0 ,故 .综合可知,原不等式成立 .五、分式不等式分母较复杂时,不能灵活变形而形成思维障碍证明分式不等式需要去分母,去分母的方法有很多,如轮换法、添加分母法、添加分式法、添加和积式法等等,在添加代数式时需考虑均值不等式等号成立条件,并最终利用均值不等式去掉分式或部分分母,但学生对于这一灵活的变形常常无法领悟,觉得在解题时处处均可下手,但又无从下手,从而形成分式变形障碍.例5已知,证明 .分析 这是一道技巧性较强的分式不等式证明题,其分子与分母差别太大,学生往往不能注意其整体联系,而想省事处理,想一步到位地消去所有分式,从而进入了繁忙的运算程序中,最后不得结果,反而觉得此题处处都是切入点,又处处陷于被动.实际上,由 .可添加分式,使得 ,由时,不等式取等号,得 .故可考虑添加分式来解决问题.证明 ; .+(+) .评述 在证明分式不等式时,要看准所要消的分式结构特征与整个式子的完整性,分清是“和”式还是“积”式、含有几个字母、各字母的次数,然后应用均值不等式等号成立条件确定待添加式的系数,然后从整体上消去分母.六、忽视一般化与特殊化之间的转化障碍一般化与特殊化的思维方向正好相反,它们相辅相成,是变更问题的两种基本原则.例6 证明 .分析 直接通过计算或用对数来比较不等式两边的大小,是难以办到的,也是证明中的障碍体现.如注意到,则可技巧性地将问题转化为如下一个一般化命题:“设n是大于1的正整数,证明不等式”.而原命题仅是此命题的一个特殊化的结论.证明 由 . 令 ,即得 .评述 某些特殊化的结论,其中往往蕴藏着一般化结论的线索,而由一般化的结论得出某些特殊化的结论是非常自然的.由特殊化联想到一般化是此类问题解决的一个突破口,教学中要加强这方面的训练,这有助于培养学生联想及变通的数学直觉意识能力.七、不能由此及彼的想象探究,揭示不等式间的内在联系如果说由特殊到一般是纵向引申,解决深度问题,那么由此及彼则是横向推广,解决广度问题.例7 求证 ： 分析 此题可用数学归纳法加以证明,但新教材中部分省市已将之删去,学生面对此题,常不能对已有表象进行加工改造,创造出新的形象,对此不等式的递推感到无能为力,其原因主要在于不能由此及彼地探究此不等式与数列通项递推关系,形成障碍.其实,若令,则(k2), 可用迭加法来证明.证明 令,则 (k2) .令,可得个同向不等式,把这个同向不等式相加,并整理得 . , .故原不等式成立 .评述 利用迭加法来证明数列型不等式,把不等式的一端设为,若经过化简、变形、放缩能化成该数列的通项,便可用此法证明,这一证明技巧也简洁地替代了数学归纳法的应用.另外,在不等式证明的教学中部分教师在处理教学内容时,过分强调了数学解题的技巧,学生没有理解仅靠“模仿”的训练,这也是不等式证明错误产生的一个主要原因.因此在学习中必需从实际出发,注重基础知识和基本技能的教学,突破障碍.在不等式证明的学习中可思考以下几点:降低起点,减小坡度,将不等式人为设置出由浅入深的梯度来;对有从属关系的不等式系列题,可采取分散和集中相结合法,切实地使学生既接受得了,又不失系统性和规律性;培养联想能力,学会从已有感知入手,剖析不等式新旧信息源的联系与异同,寻找其内在因素和从属关系,领悟到“数”与“式”之间发展更替的规律及必然,并逐步地学会在新旧知识的对比中去联想、猜想和想象;在不等式证明障碍点和学生的不足之处,应进行必要的循环和反复,并注重对一些重要方法的浓缩,掌握重点,突破难点,克服不足;在学习的过程中,要精心选择数学题,使双基中见综合,综合中见双基,将双基训练与数学能力的培养有机地结合起来,以帮助切实掌握不等