第一轮复习数学：7.3对称问题

7.3对称问题梳理知识1.点中心对称的对称中心是两点作为端点的线段的中点，因此中心对称问题是线段中点坐标公式的应用问题。P(x0，y0)，如果镜像中心为A(a，b)，则A的p的镜像点为p (2a-x0，2b-y0)。线轴对称问题的点对称轴称为“垂直平分线”(对称点连接在一起)的轴对称定义。使用垂直平分条件建立方程式，可以取得顶点的座标。典型情况如下：点P(x0，y0)线y=k3b的镜射点为P 可以找到x ，y 。K=-1，=k b，特别是，点P(x0，y0)相对于直线x=a的对称点为P (2a-x0，y0)；点P(x0，y0)线y=b的镜射点为P (x0，2b-y0)。3.曲线关于点、曲线、线的中心或轴对称问题，通常转换为点的中心对称或轴对称(此处特殊点和可选随机点均执行转换)。一般结论如下：(1)曲线f(x，y)=0已知点A(a，b)的对称曲线的方程式为f (2a-x，2 b-y)=0。(2)直线y=k3b的对称曲线的曲线f(x，y)=0方法：曲线f(x，y)=0处的任意点为P(x0，y0)，直线y=k3b的P点的镜像点为P (y，x)，P和P 的坐标为(2)X0，y0，K=-1，=k b，已知曲线f(x，y)=0，f(x0，y0)=0。使用坐标替换方法，可以获得曲线f(x，y)=0线y=k3b的对称曲线表达式。4.两点点对称，两点线对称的一般结论：(1)点(x，y)关于x轴的镜像点为(x，-y)。(2)点(x，y) y轴的镜像点为(-x，y)。(3)点(x，y)原点的对称点为(-x，-y)。(4)点(x，y)线x-y=0的对称点为(y，x)。(5)点(x，y)线x y=0的对称点为(-y，-x)。双击低音1.已知点M(a，b)和n镜像x轴，点p和点n镜像y轴，点q和点p镜像线x y=0，点q的坐标为A.(a，b) B.(b，a)C.(-a，-b) D. (-b，-a)解决方法：N(a，-b)、p (-a，-b)、Q(b，a)。答案：b2.(2004年浙江，rb4)曲线y2=直线x=2对称的4x曲线方程式A.y2=8-4xb.y2=4x-8C.y2=16-4xd.y2=4x-16分析：如果对于直线y2=4x，直线x=2对称的曲线为c，对于曲线c，指定了点P(x，y)，则直线x=2的P(x，y)的镜像点为q (4-x，y)。因为q (4-x，y)位于曲线y2=4x上。所以y2=4 (4-x)，也就是y2=16-4x。答案：c3.如果已知直线L1: x my 5=0和直线L2: x nyp=0，则y轴对称的L1、L2的先决条件如下A=B.p=-5C.m=-n和p=-5D.=-和p=-5分析：直线L1的y轴对称的直线表达式为(-x) my 5=0，即x-my-5=0，与L2进行比较。m=-n和p=-5。反之也验证成立。答案：c4.如果直线l的点A(4，5)的对称点为b (-2，7)，则l的方程式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：镜像轴是以两个镜像点为端点的线段的垂直线。答案：3x-y 3=05.如果将线x 4y-5=0的推拔角度设定为，则线y-3=0对称的推拔角度为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：合并数字。答案：-典型事例分析范例1寻找线a: 2xy-4=0线l: 3x4y-1=0对称的线b的方程式。分析：平面几何知识表明，如果直线a，b关于直线l对称，则它具有以下几何特性：(1)如果a，b相交，则l是a，b相交角度的平分线。(2)如果点a位于直线a上，则直线l上a的镜像点b必须位于直线b上，但AB的中点d位于l上。(3)a绕轴旋转180，并且必须与b匹配。这些性质可让您寻找线b的方程式。解决这个问题的方法有很多。通常有两类。一是寻找确定线方程式的两个条件，选择适当线方程式的形式，寻找直线方程式；另一类是在轨迹上直接求方程。a和l的交点E(3，-2)，E点也在b。解决方案：由2xy-4=0，3x4y-1=0，方法1:将直线b的坡率设定为k，将直线a的坡率设定为-2，将直线l的坡率设定为-。如果是=。解决方案k=-。直线b(而不是点)的方程式为Y-(-2)=-(x-3)、2x 11y 16=0。方法2:在直线a: 2xy-4=0上查找点a (2，0)，点a相对于直线l的镜像点b的坐标为(x0，y0)。原因3 4-1=0，=、b(，-)。两点式线性b的方程式如下=、2x 11y 16=0。方法3:关于线b的转至点P(x，y)l:3x4y-1=0的对称点Q(x0，y0)为3 4-1=0，=。X0=，y0=。Q(x0，y0)位于直线a: 2xy-4=0。2-4=0，2x 11y 16=0是求直线b的方程式。方法4:设定线b的goto点P(x，y)、线a的点Q(x0，4-2 x0)以及线l: 3x4y-1=0对称的P，Q的两个点=、=。删除X0。2x 11y 16=0或2xy-4=0(假定)。意见：这个问题是求直线方程的两种不同方法，方法1和方法2，除了点e，分别确定直线位置的另一个条件，即通过点坡度或两点来求方程的方法3和方法4使用直线运动点的几何特性来求直接轨迹的方程的方法，使用此方法时，要注意区分运动点坐标和参数。这个问题既要全面，对坐标法有深刻的理解，又要有比较大的组合能力，才能更好地解决这个问题。示例2光线从点a (-3，4)发射，通过x轴反射，通过y轴反射，光线通过点b (-2，6)发射y轴，以获得反射线的方程式。分析：法线可以通过物理学的光学知识来知道。解决方案：a(-3，4) x轴上的对称点a1 (-3，-4)通过x轴反射的光此外，关于a1 (-3，-4) y轴的镜像点A2(3，-4)位于通过y轴的反射线上。k=-2。线方程式为y-6=-2 (x 2)。2xy-2=0。意见：注意知识之间的相互关系和学问之间的相互渗透。示例3在已知点M(3，5)、直线l: x-2y 2=0和y轴上分别查找点p和q，使MPQ的周长最小。分析：使用关于直线l的对称点M1、关于y轴的对称点m、链接MM1、MM2、连接MM1、MM2和l、y轴关于p和q的两点m、轴对称和平面几何知识，可以得出结果MPQ的周长最小。解法：用点M(3，5)和线l求出点M在l上的对称点M1(5，1)，也可以很容易地求出点M在y轴上的对称点m2 (-3，5)。根据M1和M2的两点，M1M2的方程式为x 2y-7=0。Ip(，)。X=0，得到M1M2和y轴的交点Q(0，)。解方程X 2y-7=0，X-2y2=0，因此，需要p(，)，Q(0，)。解说：适当地运用平面几何的知识，可以做更多的事情来解决问题。深化扩张适当地利用平面几何的知识来解决问题。请再试一次这个问题。A(1，3)、B(5，2)，在x轴上找到一点p，|PA| |PB|最小值为答案： (，0)冲破关卡，接受训练打下基础1.(2004年完整体积，4)如果您知道圆c和圆(x-1) 2 y2=1线y=-x对称，则圆c的方程式为A.(x 1)2 y2=1 B.x2 y2=1C.x2 (y 1) 2=1 d.x2 (y-1) 2=1分析：y=-x的M(x，y)的镜像点是(-y，-x)、X2 (y 1)2=1。答案：c2.直线x 2y-1=关于0点(1，-1)对称的直线表达式为A.2x-y-5=0 b.x 2y-3=0C.x 2y 3=0 d.2x-y-1=0解决方法：x 2y-1=0时，x，y分别为2-x，-2-y，结果(2-x) 2 (-2-y)-1=0，即x 2y 3=0。c.答案：c3.关于两条直线y=x和x=1条直线l的镜像，直线l的表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：l上的点是两个直线y=x和x=1的距离相同的点集，即=| x-1 |，缩写的x y-2=0或3x-y-2=0。答案：x y-2=0或3x-y-2=04.如果直线2x-y-4=0具有与两个点A(4，-1)、B(3，4)的距离最大的点p，则点p的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：A(4，-1)，B(3，4)位于直线l: 2x-y-4=0的两侧。线l的镜射点A1(0，1)是A1、b、p共线时最大距离的差值。答案：(5，6)5.已知ABC的顶点a (-1，-4)、b、c的平分线的线的方程式分别是具有L1: y 1=0、L2: x y 1=0、边BC的线的方程式。解法：如果点a (-1，-4)线y1=0的镜射点为a ，则(x1，y1)，x1=-1，y1=2 (-1)-(-4)在线BC上，点a (-1，-4)和L2: x y 1=0的对称点为a(x2，y2)(-1)=-1，1=0。可以解开X2=3，Y2=0，a(3，0)也是直线BC上直线方程式的两点=，x 2y-3=0是边BC所在的直线方程式。培养能力寻找函数y=的最小值。解决方案：y=，因此，函数y是x轴上的点P(x，0)和两个固定点A(0，3)、B(4，3)距离的总和。y的最小值是|PA| |PB|的最小值。通过平面几何知识，A相对于x轴的对称点为A (0，-3)、|PA| |PB|的最小值是|AB|，范例=4。所以ymin=4。7.得出抛物线y=2x2的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)线y=x m对称和x1x 2=-，m的值。解决方案：如果将线AB设置为y=-x b，替换y=2x2，则将线AB设置为2x2 x-b=0。x1x2=-，x1x2=-。b=1，即AB的方程式为y=-x 1。将AB的中点设定为M(x0，y0)的步骤不是X0=-=-，y0=-x01，Y=x m，y0=。m (-，)。m .m=-m .m=8.(文本)直线y=2x是ABC中 c的平分线所在的直线。a，B坐标分别获得a (-4，2)、B(3，1)、点c的坐标，然后确定ABC的外观。解法：将点A相对于标题，线y=2x的镜射点A 设定为BC所在线的A 点座标(x1，y1)，即可满足x1，y1=-，即x1=-2y1。=2，即2x1-y1-10=0。解决方案 两个方程X1=4，Y1=-2。bc所在的直线方程式为=、3x y-10=0。是的解方程3x y-10=0，x=2，Y=2x，y=4。c点坐标为(2，4)。问题|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10， ABC是直角三角形。(Rb)如果抛物线y=ax2-1中始终存在关于直线x y=0对称的两个点，则得出a的值范围。解决方案：通过设置抛物线上的两点(直线x y=0对称)A(x1，y1)、B(x2，y2)，可以将AB的表达式设置为y=x b。联立方程式Y=x b，Y=ax2-1，Ax2-x-b-1=0，=14a (b 1) 0。另外=，=-。线段AB的中点m(，-)。m点位于直线AB上875-=b，即b=-。用1 4a (1-) 0代替。a .探索创新9.(2003年新课程，rb10)4个顶点A(0，0)、B(2，0)、C(2，1)和D(0，1)，AB的中点P0到AB的将P4的坐标设定为(x4，0)。如果1 .煤。启蒙摘要1.对称问题分为点对称和轴对称。点对称只能用中点坐标公式解决。轴对称是由对称点连接的垂直线是对称轴，因此根据中点坐标公式和斜率的关系解决。特别要熟悉原点对称、坐标轴对称和线xy=