第一轮复习数学：7.4简单的线性规划

7.4简单线性编程梳理知识1.二进制一阶不等式表示平面面积平面直角座标系统已知Ax By C=0，座标平面内的点P(x0，y0)线。B 0时如果ax0 by0 c 0，则点P(x0，y0)位于直线上；如果ax0by0c 0，则点P(x0，y0)位于直线下方。对于任意二进制不等式ax by c 0(或0)，无论b是正值还是负值，都可以将y项的系数转换为正值。B 0到 ax by c 0表示线Ax By C=0上方的区域。 ax by c 0表示直线Ax By C=0以下的区域。2.线性规划线性目标函数线性约束下求最大值或最小值的问题统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解决方案(x，y)称为可执行解决方案，所有可能的解决方案集称为可执行域(相似函数的域)。获得目标函数的最大或最小值的可行解决方案称为最优解决方案。生产现实中有很多问题归结为线性编程问题。线性编程问题通常使用图形方法，其步骤如下：(1)根据标题设置变量x，y。(2)寻找线性约束。(3)确定线性目标函数z=f(x，y)；(4)绘制可执行域(每个约束条件中显示的区域的公共区域)。(5)线性目标函数为平行直线系统f(x，y)=t(使用t作为参数)；(6)查看图形，找出直线f(x，y)=t在确定最佳解决方案并给出答案的可行区域中使t成为最高值的位置。双击低音1.以下命题中正确的是A.点(0，0)位于区域x y0内B.点(0，0)位于区域x y 10内C.点(1，0)位于区域y2x内D.点(0，1)位于区域x-y 10内分析：通过替换x y0的(0，0)进行设置。答案：a2.(2005年海淀区期末练习题)移动点坐标(x，y)得到满足X2 y2的最小值为(x-y 1)(x y-4)0，X3，A.B. C. D.10解析：当x=3、y=1时，x2 y2的最小值为10。答案：d显示的平面区域包括3.不等式组2x-y 1 0，X-2y-1 0，X y1A.等边三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.第一象限的无限区域D.不包含第一个象限内的点的边界区域分析：将(0，0)赋给不等式组。在不平等组中替换(，)适合于d。还知道2x-y 1=0和x-2y-1=0 y=x对称，且夹角满足tanalia=。alphaalpha。答案：b4.如果点(-2，t)位于直线2x-3y6=0上方，则t的值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：如果(-2，t)位于2x-3y 6=0之上，则为2 (-2)-3t 6 。答案：t 5.不等式组表示的平面区域内的整个点(横坐标和纵坐标都是整数的点)为总计_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，全部3。答案：3典型事例分析示例1由“查找不等式| x-1 | | y-1 | 2”表示的平面区域的面积。分析：根据条件绘制表示区域，然后根据该区域的属性查找区域。解决方案：可以转换为| x-1 | | y-1 | 2或者或者或者X1，x1，x1，x1，Y1，y1，y1，y1，X y 4 x-y 2 y-x 2 x y 0。那个平面区域如图所示。面积S=44=8。意见：绘制平面区域时，应尽可能精确地绘制，并保持警惕。深化扩张如果再：；价值，你会做吗？答案： (-)，- ，； 1，5。例2有人在上午7点钟正速度v n英里/h(4 同一天下午4点到9点必须到达c点。乘汽车、摩托艇去的时间分别为x，h，y，h。(1)表示符合上述条件的x，y范围的映射；(2)所需资金已知的情况P=100 3 (5-x) 2 (8-y)(元)，v，w最经济地需要多长时间？这个时候需要多少钱？语法分析：可以从p=100 3 (5-x) 2 (8-y)看出影响成本是3x 2y的值范围。解法：(1)按问题v=，w=，4v20，30w0; 100。3x10，y乘汽车或摩托艇所需的时间和x y介于9到14小时之间，因此满足的点(x，y)的存在范围是图的阴影部分(包括边界)。(2)p=100 3(5-x)2(8-y)，3x2y=131-p如果设置131-p=k，则k最大时p最小。p使通过图的阴影部分(包括边界)和坡率为-的直线3x 2y=k中k值最大的直线通过点(10，4)。也就是说，x=10，y=4时，p最小。此时v=12.5，w=30，p的最小值为93元。意见：线性编程问题首先根据实际问题列出表示约束的不等式，然后分析要求的几何意义。一辆矿山押运车是4辆10 t的a卡车和7辆6 t的b卡车，9名司机。每天至少将360 t矿石运到冶炼厂的车辆。据悉，a卡车一天可以往返6次，b卡车一天可以往返8次。a卡车一天的费用为252元，b卡车一天的费用为160元。如果问一天送几辆a卡车和b车，车辆费用最低吗？分析：确定问题的含义，确定与运输成本相关的变量中的每辆车的数量，查找约束条件，列出目标函数，并使用图形方法查找整数最优解决方案。解决方案：每天花x辆a车，y车。车辆费用是z韩元X y9、106x 68x360，0x4、0y7。Z=252x 160y，其中x，y-n .通过创建不等式组表示的平面区域，可以按如下方式创建域：直线l0: 252 x 160 y=0将直线l平移到右上方，以通过可行字段的整个点，并将y轴上的终止点最小化。如果查看图形，可以看到线252x 160y=t通过点(2，5)时满足了上述要求。z=252x 160y获取最小值。也就是说，如果x=2，y=5，则zmin=2522 1605=1304。a:一天2辆，b车5辆，团队费用最低。探讨：使用图形方法解决线性规划问题时，寻找整数最优解是困难的。贴图精度高，平行线系统f(x，y)=t的斜度必须准确，要找到可行区域内的整个点，最好先使用“点方法”创建可行区域内的每个点。冲破关卡，接受训练打下基础1.(x-1) 2 (y-1) 2=1表示| x-1 | | y-1 | 1的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1A.充分的、不必要的b .必要的、不充分的C.充分且必要的d .充分或不必要的分析：合并数字。答案：b2.(x 2y 1) (x-y 4) 0显示的平面区域为分析：可以转换为或者X 2y 10，x 2y 10，x-y 40 x-y 40。答案：b3.(2004年全国圈，14)设置x，y以满足限制X0，Xy，在2x-y 1的情况下，z=3x 2y的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：例如，如果x=y=1，则zmax=5。答案：5如果设置Z=，则z的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，最大值为X-4y 3 0，4.满足变量x，y条件3x5y-25 0、X1，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：例如，如果将z视为常数，则线y=zx的斜率表示线y=zx的斜率，因此线y=zx穿过点a时z最大。线y=zx通过点b时，z最小。原因X=1，3x 5y-25=0，A(1，)。得到B(5，2)。原因X-4y3=0，3x5y-25=0，zmax=，zmin=。回答：5.以A(3，-1)、b (-1，1)、c B(-1，3)为顶点的ABC的区域(包括每个面)，然后创建此区域表示的二进制一级不等式组，并将此区域用作可执行域的目标函数z=分析：此范例包含三个问题。画出指定的区域。写出绘制区域的代数表示不等式组。寻找以写好的不等式组作为约束的给定目的函数的最大值。解决方案：如果与图a、b、c连接，则由线AB、BC、CA包围的区域为ABC区域。线AB的方程式为x 2y-1=0，BC和CA的直线方程式分别为x-y 2=0，2x y-5=0。在ABC中，分别乘以x 2y-1、x-y 2和2xy-5，即可得出x 2y-10、x-y 20和2x y-50。因此，所需区域的不平等组如下X 2y-1 0，X-y 2 0，2xy-5 0。与直线3x-2y=0平行的直线是3x-2y y=x-t (t是参数)。也就是说，当线y=x-t经过A(3，-1)时，垂直截距-t最小。此时t最大，tmax=33-2(-1)=11；直线y=x-t通过点b (-1，1)时的垂直截断点-t最大，此时t的最小值为tmin=3 (-1)-21=-5。因此，函数z=3x-2y位于约束条件中下一个最大值为11，最小值为-5。X 2y-1 0，X-y 2 0，2xy-506.一所学校的伙食长期以面粉和大米为主食，面食为100克，蛋白质6单位，淀粉为4单位，价格为0.5韩元，美式蛋白质100克，蛋白质3单位，淀粉为7单位，价格为0.4韩元，学校要求学生准备便当，便当蛋白质至少为8单位，淀粉为10单位，如何制作便当才是科学解决方案：每盒盒饭中的意大利面x (100克)，美式y (100克)，所需成本为S=0.5x 0.4y，x，y满足6x 3y8，4x 7y10，X0，Y0，如图所示，如果直线y=-x s超过a(，)，则垂直截断点s为最小值，即s为最小值。因此，一盒盒饭，一盒，大米100克时科学费用最低。培养能力7.制造a，b两种药剂需要甲和乙两种原料，配制a一种药剂需要甲材料3毫克，乙材料5毫克；据悉需要。b种药服一次，a料号5 mg，b料号4 mg。现在a料20毫克，b料25毫克，a，b两种药物至少增加一次以上，总共有多少种配制方法？解决方案：每开一种x，y (x，y/n)的药X1，Y1，3x 5y20、5x 4y25。上述不等式组是以直线x=1、y=1、3x 5y=20和5x 4y=25的边界为边界的区域，此区域中的总点为(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，1)8.一家公司计划今年内销售变频空调和智能洗衣机，这两种产品的市场需求很大，多少钱能卖，公司要根据实际情况(如资金、劳动力)决定产品的月供应量，使总利润最大化。据悉两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，有关这两种产品的资料如下表所示。资金每单位所需资金(100元)每月资金供应(100元)空调洗衣机本展3020300劳动(工资)510110单位利润68如何决定两种商品的月供应量，总利润最大，最大利润是多少？解决方案：空调和洗衣机的月供应分别为x比、y比和P，如果总利润为P，则P=6x 8y30x 20y300、5x 10y110、X0，Y0，x，y是整数。在图形中，如果y=-x p超过M(4，9)，则垂直截断点最大。此时，p也取最大值Pmax=64 89=96 (100圆)。因此，本月的供应量为4台空调，9台洗衣机，最大利润为9600元。探索创新9.实数系数方程式f(x)=x2 ax 2b=0的一个布线位于(0，1)上，另一个布线位于(1，2)上。(1)的范围；(2) (a-1) 2 (b-2) 2的范围；(3) a b-3的范围。解决方法：由问题的意义知道F (0) 0F (1) 0F (2) 0B 0，A b 1 0，A b 2 0。如图所示。a (-3，1)、b (-2，0)、c (-1，0)等。根据所需数量的几何意义，范围分别为(1)(，1)。(2)(8，17)；(3) (-5，-4)。启蒙摘要简单的线性编程在实际生产生活中使用很广，主要解决的问题是如何利用资源在资源的约束下完成最多的生产任务。或者指定合理计划和计划工作的方法，用最少的资源完成。一般工作安排问题、材料问题、下料问题、布局问题、库存问题等一般实际问题转换成数学模型，汇总成线性计划，用图形方法解决。以图形方式解决线性编程问题时，根据约束绘制可行域是一个重要步骤。通常，可执行的域可以是闭合多边形，也可以是一侧开放的非闭合平面区域。二是绘制与线性目标函数相对应的平行直线系统。特别是坡率和可行域边界线坡率的大小关系必须判断准确性。